1--二次函数的概念、图象和性质
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性质
a0
向上
0 ,0
x 0 时, y 随 x 的增大而增大; x 0 时, y 随
y轴
x 的增大而减小; x 0 时, y 有最小值 0 .
a0
向下
0 ,0
y ax2 c 的性质:上加下减
x 0 时, y 随 x 的增大而减小; x 0 时, y 随
y轴
x 的增大而增大; x 0 时, y 有最大值 0 .
⑥ y mx 2 nx p ;
⑦y 4; x
⑧ y 5x .
【例 2】已知一次函数 y x 1的图像和二次函数 y x2 bx c 的图像都经过 A 、 B 两点,且点 A 在
y 轴上, B 点的纵坐标为 5;求这个二次函数的解析式。
3
【知识点 2】求顶点坐标、对称轴 【例 3】二次函数 y x2 的对称轴为_________________;顶点坐标为_______
一、知识精要
一.二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如 y ax2 bx c ( a ,b ,c 是常数, a 0 )的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数 a 0 ,而 b ,c 可以为零.二次函数的定义域是全 体实数.
2. 二次函数 y ax2 bx c 的结构特征:
方法二:
⑴ y ax 2 bx c 沿 y 轴平移:向上(下)平移 m 个单位, y ax 2 bx c 变成
y ax 2 bx c m (或 y ax 2 bx c m )
⑵ y ax 2 bx c 沿轴平移:向左(右)平移 m 个单位, y ax 2 bx c 变成
二次函数的概念、图象和性质
(拔高练习第 1 讲)
教学目标: 1.理解二次函数的概念; 2.会求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域;
3. 会用描点法画出 y ax2 (a 0) 的图像,并掌握抛物线 y ax2 图像的基本性质(开口方向和大小、
对称轴、顶点坐标、增减性和对称性); 4、会用待定系数法求二次函数解析式。
X=h
x 的增大而增大; x h 时, y 有最大值 0 .
4. y a x h 2 k 的性质:
a 的符号 a0
a0
开口方向 向上
顶点坐标
h,k
对称轴 X=h
性质
x h 时, y 随 x 的增大而增大;x h 时, y 随 x 的增大而减小; x h 时, y 有最小值 k .
向下
2. 顶点式: y a(x h)2 k ( a , h , k 为常数, a 0 );
3. 两根式: y a(x x1)(x x2 ) ( a 0 , x1 , x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式, 只有抛物线与 x 轴有交点,即 b2 4ac 0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解 析式的这三种形式可以互化.
h,k
x h 时, y 随 x 的增大而减小;x h 时, y 随
X=h
x 的增大而增大; x h 时, y 有最大值 k .
三.二次函数 y ax2 bx c 的性质
1.
当 a 0 时,抛物线开口向上,对称轴为 x b 2a
,顶点坐标为
来自百度文库
b 2a
,4ac 4a
b2
.
当 x b 时, y 随 x 的增大而减小;当 x b 时, y 随 x 的增大而增大;
五、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:
2
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h2 k ,确定其顶点坐标 h,k ; ⑵ 保持抛物线 y ax2 的形状不变,将其顶点平移到 h,k 处,具体平移方法如下:
2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移; k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”.
【例 4】二次函数 y 2(x 1)2 2 的对称轴为_________________;顶点坐标为_______。
【例 5】抛物线 y x2 2x 1的顶点坐标是( )
y a(x m)2 b(x m) c (或 y a(x m)2 b(x m) c )
二、精解名题
【知识点 1】二次函数的定义和解析式的确定
【例 1】下列函数中,是二次函数的是
.
① y x2 4x 1;
② y 2x2;
③ y 2x2 4x ; ④ y 3 x ;
⑤ y 2x 1;
2a
2a
2.
当 a 0 时,抛物线开口向下,对称轴为 x b 2a
,顶点坐标为
b 2a
,4ac 4a
b2
.
当 x b 时, y 随 x 的增大而增大;当 x b 时, y 随 x 的增大而减小;
2a
2a
四.二次函数解析式的表示方法
1. 一般式: y ax2 bx c ( a , b , c 为常数, a 0 );
(1)等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式, x 的最高次数是 2. (2) a ,b ,c 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项. 二.二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式: y ax2 的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴
1
3. y a x h2 的性质:左加右减。
a 的符号 a0
开口方向 向上
顶点坐标
h ,0
对称轴 X=h
性质
x h 时, y 随 x 的增大而增大;x h 时, y 随 x 的增大而减小; x h 时, y 有最小值 0 .
a0
向下
h ,0
x h 时, y 随 x 的增大而减小;x h 时, y 随
2.
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴
性质
a0
向上
0 ,c
x 0 时, y 随 x 的增大而增大; x 0 时, y 随
y轴
x 的增大而减小; x 0 时, y 有最小值 c .
a0
向下
0 ,c
x 0 时, y 随 x 的增大而减小; x 0 时, y 随
y轴
x 的增大而增大; x 0 时, y 有最大值 c .