微分几何第二章曲面论第六节曲面上的测地线复习概论

0,
注 (1)以上 定义的平行移动概念与所选曲线(C)有关.
((32))事即向DD实a把量aa上场0d，a向 da(at)投量(是(an影场平 add到行a(at)切))n向为 t平量平a0面场 行上向d与a量ad重a场(/合n/n.d. a)n
da
//
n.
(4)在平面上，向量的勒维 其维塔平行移动
6.6 曲面上向量的平行移动
一.曲面上的向量及其平行移动 问题：平 在移欧于氏始空点间为中P所，的谓向始量点v为,是P的指向将v量和vv的始点、终点
分别相连可得一平行四边形, (如图)
Q
Q
v
v
P
此时
也称v是由Pv
TP
P. v TP
P. v
平行移动得来的，
S
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在v和笛v卡的尔分坐量标相系等下. ， 能否把它应用到曲面上？答案：否.
定义 曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线， 另一族是这族测地线的正交轨线，则称这个坐标网为 半测地坐标网.
命题 (半测地坐标网的存在性) 给定曲面上一条曲线， 总存在一个半测地坐标网，
它的非测地坐标曲线族中
包含给定的一条曲线. (C )
命题
取曲面上的一条测地线(C)为v 曲线: u u0 , 另取与(C)正交的测地线族为u 曲线, 则得一半测地坐标网. 在此半测地坐标网下，
i
da
i
ri
i
ai(
i rijdu
j
)
i
da
i
ri
i
ai[
j
(
ikj
rk
Lij
n)du
j
]
i
da
i
ri
i
j
ikj aidu
kj rk
Lija
i
du
j
n
i
i, j,k
i, j
(dak
ikj aidu j
)rk
(
Lija
i
du
j
)n
k
i, j
i, j
即da
(即 三 条 测 地 线 围 成 的 三角 形)，
3
则有： Kd i .
G
i 1
S
2
3
3
G
2121
3 1
( i 是测地三角形的内角)
3
在平面上，K 0, i ;
欧氏几何
i 1
在K 0的曲面上,三角形内角之和小于 ； 罗氏几何
在K 0的曲面上,三角形内角之和大于 . 黎曼几何
如：任一个球面三角形内角之和大于 .
(k 1,2)
正交坐标网下，
d
ds du
ds
1 ln E
2 G v
1 cos
E
cos
2
1 E
ln G sin
u
dv ds
1 sin
G
定理1 给定曲面上任一点P0及曲面的一个切方向(d )，
则 存 在 唯 一 一 条 过 点P0的 测 地 线 切 于 该 方 向(d ).
三.半测地坐标网
第二章
曲面论
§6 曲面上的测地线
1.曲面曲线的测地曲率； 2.曲面上的测地线； 3.曲面上的半测地坐标网；
主要内容 4.曲面上测地线的短程性； 5.高斯-波涅(Gauss-Bonnet)公 式; 6.曲面上向量的平行移动； 7.极小曲面.
复习
一.测地线及其性质
定义 曲 面 上 的 一 条 曲 线 ， 如果 它 上 面 每 一 点 的 测 地曲 率
Da 称为相应的绝对微商.
注 (d1t)绝对微分Da就是通常微分da在点M处的 (2)切绝平对面微上分D的a投仍影为向曲量面. S上的向量. (3)在D绝a平对面微da上分，(是nn平da常 面)n上向普量da通，.由微n分 a在(t)曲面0得上n的 d推a 广.0,
定义
平 则 (设平行 称 a行向 向向a量 量(量 t )为 场 场场.a曲)此面时a(St也上)为称沿(勒a曲与维线a(C其d)a的 维是向塔平量意行场义向，下如量的 .果)Da
均 为 零 ， 则 称 为 测 地 线.
命题3曲 面 上 的 曲 线 是 测 地 线 或 者 是 直 线 推论 曲 面 上(不 含 逗 留 点)的 曲 线 是 测 地 线
，r //或n.者
//
n.
二.测地线的方程
一 般 坐 标 网 下,
d 2uk
ds2
i, j
ikj
dui ds
du j ds
0
五.高斯 波涅公式 定理 (Gauss-Bonnet公式)
n
Kd kgds i 2
G
G
i 1
推论1 若G是 一 条 光 滑 闭 曲 线 ，S
则有： Kd kgds 2 .
G
G
推论2 若G由n条 测 地 线 组 成 ，
n
则有： Kd i 2 .
G
i 1
3 2
G
n
1
n
12
推论3 若G是 一 个 测 地 三 角 形 ，
(dak
ikj a idu j
)rk
(
Lij
a
i
du
j
)n
k i, j
i, j
Da da (n da)n
(dak
ikj
a
i
du
j
)rk
(
Lija
i
du
j
)n
k
i, j
i, j
{n[
(dak
ikj a idu j
)rk
在 与通平常面意上义，D下a的 平da行. 移动是一致的.
平行移动的分析条件
向设量 a 场aa(t)为a(曲t)a的面(t坐S)上标a沿1是(曲ta)1r线1(t()C,aa)22(:(tut))r， i2即ui (t), (i 1,2)的向量场，
于是
da
d
ai
ri
da
i
ri
a
i
dri
使定如向v义果量(PM对(函曲)(与t曲数)面.aS面a在上 Sa点上的(at(P)任向 St(相)C称一量)切u为点场i ，则)P曲u，称 i指(面t)v定 S(沿P唯)曲是一a线M曲的((面 aCt一)(.)tS的)个上(C向向的).Mu量a量 一i ((v场 tt个(ud.Pai((t向))tt， t)))量 0a场(t.)
绝对微分
沿法线 方向的 投影向量为 [n (a da)]n (n da)n
a da
n
Da .M
a da
.M (C )
在切平面上的投影向量为
a
(a da)t a da (n da)n
S
定义 (绝对微分) Da (a da)t a a da (n da)n a 称为向d量a a从(n点 dMa)沿n 曲线(C)移动到M的绝对微分.
曲面的第一基本形式可简化为
ds2 du2 G(u, v)dv2 其中G(u,v)满足条件 测地线(C ) G(u0 , v) 1,Gu(u0 , v) 0.
四.测地线的短程性
定理 若给定曲面上充分小邻域内的两点P和Q, 则过P , Q两点在小邻域内的测地线段是连结P , Q
两点的曲面上的曲线中弧长最短的曲线.