第七章 压杆稳定共31页
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压杆稳定教学课件PPT1
=69 kN
FNBC 4.5q ≤Fcr =69
得：q=15.3 kN/m
例 图示矩形截面压杆，h=60mm，b=40mm，杆长l=2m， 材料为Q235钢，E=206GPa 。两端用柱形铰与其它构件 相连接，在正视图的平面（xy平面）内两端视为铰支； 在俯视图的平面（xz平面）内两端为弹性固定，长度因
当x=0时，w=0。
0 A0 Bcoskx
得：B=0，
w Asin kx
w Asin kx
又当x=l时， w=0。
得 Asin kl = 0
要使上式成立，
x
1）A=0
w=0；
Fcr
代表了压杆的直线平衡状态。
A
2） sin kl = 0
w
Fcr
此时A可以不为零。
w
M (x)= Fcrw
l x x
sin
30 20Fra bibliotekFNBC 4.5q
2）求BC杆的临界力
I (D4 d 4 ) (50 4 40 4 ) =181132mm4。
64
64
2m
1m
q
Fcr
2EI ( l ) 2
A
30°
B
Ⅰ Ⅰ C
2 206103×181132
(1.0×2/cos30°×103 )2
[FNBC ] 120kN
例：托架的撑杆为钢管，外径D=50mm，内径d=40mm，
2m
A 30°
Ⅰ Ⅰ C
1m q
B
两端球形铰支，材料为Q235钢， E=206GPa。试根据该杆的稳定性 要求，确定横梁上均布载荷集度 q之许可值。
Ⅰ-Ⅰ截面
解：1）求BC杆的轴力
压杆稳定解析课件
160.3
查表13-1,得 0.276， 与 0.289 相差不大
故可选28a工字钢,校核其稳定性
F 45.1MPa [ ] 46.92MPa
A
例6： 图示梁杆结构，材料均为Q235钢。AB梁为14号
工字钢，BC杆为 d＝20mm的圆杆。已知： F=25kN，
l1=1.25m，l2=0.55m，E=206GPa，p=200MPa， s=235MPa，n=1.4，nst=1.8。求校核该结构是否安全。
二﹑欧拉公式应用中的几个问题
（1）Fcr与EI成正比，与l2 成反比，且与杆端约束有 关。 Fcr越大，压杆稳定性越好，越不容易失稳；
（2）杆端约束情况对Fcr的影响，是 通过长度系数μ来实现的。要根据实 际情况选择适当的μ 。
（3）当压杆在两个形心主惯性平面内 的杆端约束情况相同时，则失稳一定 发生在最小刚度平面，即I 最小的纵 向平面。
y z x
轴销
y z
x
轴销
解：xy面内，两端视作铰支，μ = 1，iz = 4.14 cm
z
l
iz
1 2 4.14 102
48.3
y z
x
轴销
xz面内，两端视作固定端，μ = 0.5，查表iy= 1.52cm
y
l
iy
0.5 2 1.52 102
65.8
显然 z y
压杆将在xz平面内失稳 而 p 100，u s 60
lw
x
O
y
M(x) Fcr=F
w
w = Asinkx +Bcoskx （d）
Fcr
k2=Fcr / EI 两个边界条件:
w = Asinkx +Bcoskx
查表13-1,得 0.276， 与 0.289 相差不大
故可选28a工字钢,校核其稳定性
F 45.1MPa [ ] 46.92MPa
A
例6： 图示梁杆结构，材料均为Q235钢。AB梁为14号
工字钢，BC杆为 d＝20mm的圆杆。已知： F=25kN，
l1=1.25m，l2=0.55m，E=206GPa，p=200MPa， s=235MPa，n=1.4，nst=1.8。求校核该结构是否安全。
二﹑欧拉公式应用中的几个问题
（1）Fcr与EI成正比，与l2 成反比，且与杆端约束有 关。 Fcr越大，压杆稳定性越好，越不容易失稳；
（2）杆端约束情况对Fcr的影响，是 通过长度系数μ来实现的。要根据实 际情况选择适当的μ 。
（3）当压杆在两个形心主惯性平面内 的杆端约束情况相同时，则失稳一定 发生在最小刚度平面，即I 最小的纵 向平面。
y z x
轴销
y z
x
轴销
解：xy面内，两端视作铰支，μ = 1，iz = 4.14 cm
z
l
iz
1 2 4.14 102
48.3
y z
x
轴销
xz面内，两端视作固定端，μ = 0.5，查表iy= 1.52cm
y
l
iy
0.5 2 1.52 102
65.8
显然 z y
压杆将在xz平面内失稳 而 p 100，u s 60
lw
x
O
y
M(x) Fcr=F
w
w = Asinkx +Bcoskx （d）
Fcr
k2=Fcr / EI 两个边界条件:
w = Asinkx +Bcoskx
第七章压杆稳定
第七章压杆稳定一、压杆稳定的基本概念受压直杆在受到干扰后，由直线平衡形式转变为弯曲平衡形式，而且干扰撤除后，压杆仍保持为弯曲平衡形式，则称压杆丧失稳定，简称失稳或屈曲。
压杆失稳的条件是受的压力P P cr。
P cr称为临界力。
二、学会各种约束情形下的临界力计算压杆的临界力P cr cr A，临界应力cr 的计算公式与压杆的柔度所处的范围有关。
以三号钢的压杆为例：p ，称为大柔度杆，cr 22Es p ，称为中柔度杆，cr a b s ，称为小柔度杆，crs 。
三、压杆的稳定计算有两种方法1）安全系数法n P P cr n st，n st为稳定安全系数。
2）稳定系数法PP [ ] st [ ] ，为稳定系数A四、学会利用柔度公式，提出提高压杆承载能力的措施根据l，i A I，愈大，则临界力（或临界应力）愈低。
提高压杆承载能力的措施为：1）减小杆长。
2）增强杆端约束。
3）提高截面形心主轴惯性矩I。
且在各个方向的约束相同时，应使截面的两个形心主轴惯性矩相等。
4）合理选用材料。
§15-1 压杆稳定的概念构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。
例如，受轴向压力的细长杆，当压 力超过一定数值时， 压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯 （图 15-1a ），致使结构丧失承载能力；又如，狭长截面梁在横向载荷作用下，将发生平面弯曲，但当载荷超过一定数值时， 梁的平衡形式将突然变为弯曲和扭转 （图 15-1b ）；受均匀压力的薄圆环， 当压力超过一定数 值时， 圆环将不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式 （图 15-1c ）。
上 述各种关于 平衡形式的突然变化 ，统称为 稳定失效 ，简称为 失稳或屈曲 。
工程中的柱、 桁架 中的压杆、薄壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都可能发生失稳。
由稳定平衡转变为不稳定平衡时所 受的轴向压力，称为临界载荷，或简称 为临界力 ，用 P cr 表示。
9-1压杆稳定-PPT精品文档-专业PPT文档
1
2 EI
0.7 L 2
0.7
2 EI
0.5 L 2
0.5
2 EI L2
1 16
压杆稳定
例9-2-1 试导出下图两端固定的细长压杆临界力公式。
P P
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
E yI M (x) Py M 0
L
M0 xP
M
令: k2 P
EI
x
得: yk2yM0
EI
通解 : 为
y
解：（1）、求T与P之间的关系:
T0 T L
LPLT
LTLT LPPL EA
Lt P
LP
PTEA
（2）判断杆的失效性质 （是稳定失效?还是强度失效?）
35
压杆稳定
T0 T L
Lt P
LP
（2）判断杆的失效性质
i D2 d2 4 402302 412.5mm
l i
0.52(1 .251 03)8 0
y
yAsiknx Bcoksx M0 P
M
P
0
边界条件为:
M0
P
x0 y0及y0
xL y0及y0
17
压杆稳定
解得:
A 0 B M0 / P coskL 1 sinkL 0
kL 2n ( n1,2,3...)
最小临界力为 n = 1 即取： kL2
所以，临界力为：
2EI
Pcr ( L / 2 )2
即： cr
2E 2
3、柔度(长细比)： L i
惯性半:径 i I A
27
压杆稳定
4、欧拉公式的分界与大柔度杆
c
r
2E 2
P
2 EI
0.7 L 2
0.7
2 EI
0.5 L 2
0.5
2 EI L2
1 16
压杆稳定
例9-2-1 试导出下图两端固定的细长压杆临界力公式。
P P
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
E yI M (x) Py M 0
L
M0 xP
M
令: k2 P
EI
x
得: yk2yM0
EI
通解 : 为
y
解：（1）、求T与P之间的关系:
T0 T L
LPLT
LTLT LPPL EA
Lt P
LP
PTEA
（2）判断杆的失效性质 （是稳定失效?还是强度失效?）
35
压杆稳定
T0 T L
Lt P
LP
（2）判断杆的失效性质
i D2 d2 4 402302 412.5mm
l i
0.52(1 .251 03)8 0
y
yAsiknx Bcoksx M0 P
M
P
0
边界条件为:
M0
P
x0 y0及y0
xL y0及y0
17
压杆稳定
解得:
A 0 B M0 / P coskL 1 sinkL 0
kL 2n ( n1,2,3...)
最小临界力为 n = 1 即取： kL2
所以，临界力为：
2EI
Pcr ( L / 2 )2
即： cr
2E 2
3、柔度(长细比)： L i
惯性半:径 i I A
27
压杆稳定
4、欧拉公式的分界与大柔度杆
c
r
2E 2
P
压杆稳定的概念及三种平衡状态-PPT
cr s
a s
b
令
2
a s
b
2 (小柔度杆)
cr s
令 1
2E p
目录
表 1 直线公式的系数 a 和 b
材料 低碳钢 优质碳钢 硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝 松木
a(MPa) 304 461 578
980.7 332.2
373 28.7
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
(b): 木杆的横截面与(a)相同，高为 1.4m(细长压杆），当压力为 0.1KN时杆被压弯，导致破坏。
(a)和(b)竟相差60倍，为什么？
(a)
(b)
平衡的三种状态
稳定平衡状态
随遇平衡状态
不稳定平衡状态
平衡刚性圆球受干扰力，刚球离开原位置；干扰力撤消：
稳定平衡 —— 凹面上，刚球回到原位置； 随遇平衡 —— 平面上，刚球在新位置上平衡； 不稳定平衡 —— 凸面上，刚球不回到原位置，
压杆的稳定校核 已知拖架D处承受载荷 例题F=10kN。AB杆外径D=50mm， 内径d=40mm，材料为Q235钢， E[=n2st0]0=G3P。a，校核A=B1杆01 0的，稳定性。
解： CD梁
MC 0
F 2000 FN sin 30 1500
得 FN 26.6kN
AB杆
l 1
dx
x l, v
B
Ak 0
Asin kl B coskl
cos kl 0
kl (2n 1) (n 1,2)
2 k2 F
EI
F
(2n
1)2
(2l)2
2 EI
取 n=1, 得：
压杆稳定
去后，不能恢复到直线平衡状态的现象，称为失稳或屈曲。
“ Such failures can be catastrophic and lead to a large loss of life as well as major economic loss”
临界载荷的概念
压杆的压力逐渐上升,使压杆的平衡由稳定的平 衡状态向不稳定的状态的质变的转折点,称为临
F 界载荷,以 表示. cr
临界载荷 Fc：r
压杆保持直线状态平衡的最大 力。
使压杆失稳（不能保持直线形式的稳 定平衡）的最小力。
7.2 细长压杆的临界力 1、两端铰支的细长压杆的临界力
考察微弯状态下局部压杆的平衡
w
FBx Fp
若 p 则压杆的弯曲变形为
EI
d 2w dx2
M (x)
Fp w
此时挠曲线的某点C为一拐点（弯矩为 零），因此B处反力FBy的矢向指向左方。 压杆距离A端x截面的弯矩为
M (x) Fv FBy (l x)
挠曲线微分方程为 EIv Fv FBy l x
方程的通解为 v C1 sin
kx
C2
cos kx
FBy EIk 2
l
x
其中
k2 F EI
压杆的位移边界条件为：
2、其他杆端约束细长压杆的临界力 1） 一端固定，一端自由
F
cr
=
2EI
（2l）2
0.7l
2） 一端固定，一端铰支
C w
BC段, 曲线上凸,
1 0;
CA段, 曲线下凸,
( 1
)C
0
即
1 0
MC 0
F
cr
=
2EI
“ Such failures can be catastrophic and lead to a large loss of life as well as major economic loss”
临界载荷的概念
压杆的压力逐渐上升,使压杆的平衡由稳定的平 衡状态向不稳定的状态的质变的转折点,称为临
F 界载荷,以 表示. cr
临界载荷 Fc：r
压杆保持直线状态平衡的最大 力。
使压杆失稳（不能保持直线形式的稳 定平衡）的最小力。
7.2 细长压杆的临界力 1、两端铰支的细长压杆的临界力
考察微弯状态下局部压杆的平衡
w
FBx Fp
若 p 则压杆的弯曲变形为
EI
d 2w dx2
M (x)
Fp w
此时挠曲线的某点C为一拐点（弯矩为 零），因此B处反力FBy的矢向指向左方。 压杆距离A端x截面的弯矩为
M (x) Fv FBy (l x)
挠曲线微分方程为 EIv Fv FBy l x
方程的通解为 v C1 sin
kx
C2
cos kx
FBy EIk 2
l
x
其中
k2 F EI
压杆的位移边界条件为：
2、其他杆端约束细长压杆的临界力 1） 一端固定，一端自由
F
cr
=
2EI
（2l）2
0.7l
2） 一端固定，一端铰支
C w
BC段, 曲线上凸,
1 0;
CA段, 曲线下凸,
( 1
)C
0
即
1 0
MC 0
F
cr
=
2EI
《压杆稳定》PPT课件_OK
因此，压杆的稳定性对各类结构都是非常重要的，要保证 压杆的正常工作，还必须对它进行稳定性计算。
2021/7/27
图7.2 压杆不稳定平衡状态
6
2021/7/27
7
2021/7/27
8
临界荷载和临界应力
表7-1中列出的杆端约束，都是典型的理想约束。但在工程实际中，杆端约束情况复杂，有 时很难简单地归结为哪一种理想约束。这时应根据实际情况具体分析，参考设计规范来确定 值。
图7.1 压杆稳定平衡状态
2021/7/27
5
压杆稳定的概念
当力P继续增大到某一特定值Pcr时，在与力P垂直的方向上给一微小干扰力，压杆处于微弯 曲状态(如图7.2(b)所示)，当干扰力撤去后，压杆不再恢复到如图7.2(a)所示的直线平衡状态，而 是处于弯曲的平衡状态(如图7.2(c)所示)，说明在没有施加外干扰力时，压杆所处的直线平衡状态 是不稳定的，即压杆处于不稳定的平衡状态，此时，杆件所受的力Pcr远小于按发生材料强度破 坏计算的承载力Pcu，即Pcr<Pcu，这就是为什么在其他条件相同的情况下，粗短杆的承载力大于 细长杆的原因。
值得注意的是：欧拉公式在推导过程中假定压杆在微弯平衡状态下，横截面上的应力在弹 性范围之内，因此本公式只适用于弹性范围，即只适用于弹性稳定性问题；另外在应用公式时， 公式中的I为截面对其中性轴的惯性矩，且当截面对不同主轴的惯性矩不相等时，应取其中最小 值。
【例7.1】 计算两端铰支情况下的欧拉临界力。 如图7.3所示压杆由14号工字钢制成，其两端铰支。已知钢材的弹性模量E＝210GPa，屈服 点应力σs ＝240MPa，杆长l＝3600mm。 (1) 试求该杆的临界力Pcr；(2) 计算屈服力Ps。 解 (1) 计算临界力，查型钢表得14号工字钢几何特性：
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图7.2 压杆不稳定平衡状态
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临界荷载和临界应力
表7-1中列出的杆端约束，都是典型的理想约束。但在工程实际中，杆端约束情况复杂，有 时很难简单地归结为哪一种理想约束。这时应根据实际情况具体分析，参考设计规范来确定 值。
图7.1 压杆稳定平衡状态
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压杆稳定的概念
当力P继续增大到某一特定值Pcr时，在与力P垂直的方向上给一微小干扰力，压杆处于微弯 曲状态(如图7.2(b)所示)，当干扰力撤去后，压杆不再恢复到如图7.2(a)所示的直线平衡状态，而 是处于弯曲的平衡状态(如图7.2(c)所示)，说明在没有施加外干扰力时，压杆所处的直线平衡状态 是不稳定的，即压杆处于不稳定的平衡状态，此时，杆件所受的力Pcr远小于按发生材料强度破 坏计算的承载力Pcu，即Pcr<Pcu，这就是为什么在其他条件相同的情况下，粗短杆的承载力大于 细长杆的原因。
值得注意的是：欧拉公式在推导过程中假定压杆在微弯平衡状态下，横截面上的应力在弹 性范围之内，因此本公式只适用于弹性范围，即只适用于弹性稳定性问题；另外在应用公式时， 公式中的I为截面对其中性轴的惯性矩，且当截面对不同主轴的惯性矩不相等时，应取其中最小 值。
【例7.1】 计算两端铰支情况下的欧拉临界力。 如图7.3所示压杆由14号工字钢制成，其两端铰支。已知钢材的弹性模量E＝210GPa，屈服 点应力σs ＝240MPa，杆长l＝3600mm。 (1) 试求该杆的临界力Pcr；(2) 计算屈服力Ps。 解 (1) 计算临界力，查型钢表得14号工字钢几何特性：
材料力学课件 压杆稳定
§9.1 压杆稳定的概念
一、工程中的压杆 二、压杆的失效形式 三、压杆失稳的实例 四、压杆稳定的概念
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 钢结构桥梁中的杆
一、工程中的压杆： 铁塔中的杆
一、工程中的压杆： 小亭的立柱
w k2 w k2
EI
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
一阶导数为 w A c k o k B x s s k i k ( n x 3 )
根据边界条件x=0，w =0 得 A＝0。
Fcr
π2EI l2
讨论：失稳挠曲线 ——半正弦波曲线
w Байду номын сангаасsinx
l
Awxl wmax
2
杆在任意微弯状态下保持平衡时为
不确定的值。 这是因为推导过程中是用的挠曲线
近似微分方程。
临界压力的精确解
w Mx
EI
2EI
Fcr l 2
（近似解） 欧拉解
精确失稳挠曲线微分方程？
失
l l 0.7 l l 0.5l
l 2l l 0.5 l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Fcr 欧拉公式
Fcr
2EI l2
Fcr
一、工程中的压杆 二、压杆的失效形式 三、压杆失稳的实例 四、压杆稳定的概念
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 钢结构桥梁中的杆
一、工程中的压杆： 铁塔中的杆
一、工程中的压杆： 小亭的立柱
w k2 w k2
EI
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
w A s k i B c n x k o x ( s 2 )
一阶导数为 w A c k o k B x s s k i k ( n x 3 )
根据边界条件x=0，w =0 得 A＝0。
Fcr
π2EI l2
讨论：失稳挠曲线 ——半正弦波曲线
w Байду номын сангаасsinx
l
Awxl wmax
2
杆在任意微弯状态下保持平衡时为
不确定的值。 这是因为推导过程中是用的挠曲线
近似微分方程。
临界压力的精确解
w Mx
EI
2EI
Fcr l 2
（近似解） 欧拉解
精确失稳挠曲线微分方程？
失
l l 0.7 l l 0.5l
l 2l l 0.5 l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Fcr 欧拉公式
Fcr
2EI l2
Fcr
工程力学压杆稳定ppt课件
.
Fcr 0.7l
F 0.5l
l l
一端固定，一端铰支 EI 2
Fcr (0.7l) 2
.
两端固定 EI 2
Fcr (0.5l) 2
不同约束情况下，细长杆的临 界压力欧拉公式可统一写成：
EI 2 Fcr (l )2
：长度系数 l：相当长度
.
两端铰支 一端固定，一端自由 一端固定，一端铰支 两端固定
[FN]156k N [F]52[FN]62.4k N
.
二、压杆稳定计算 ––– 折减系数法
工程中为了简便起见，对压杆的稳定计 算还常采用折减系数法。即将材料的压缩许 用应力[ ]乘上一个小于1的折减系数 作为 压杆的许用临界应力，即：
[ cr] = [ ]
< 1，称为折减系数
[ cr ] [ ]
L
v F v 0
EI
记k 2 F EI
F
x vM F x
y
v + k2v = 0
––– 二阶常系数齐次线性微分方程
.
通解： v = c1sinkx + c2coskx 边界条件：
x = 0 v( 0 ) = 0 x = l v( l ) = 0 v(0) = c1sin(k* 0) + c2cos(k* 0) = c2 = 0 v = c1sinkx v(l) = c1sinkl = 0
F：工作压力
Fcr：临界压力
nst：额定安全系数
nst
Fcr F
n
nFcr：工作安(实 全际 系安 数全 ) 系数
F
.
稳定计算的一般步骤：
① 分别计算各个弯曲平面内的柔度 y 、 z ，从而得到 max；
Fcr 0.7l
F 0.5l
l l
一端固定，一端铰支 EI 2
Fcr (0.7l) 2
.
两端固定 EI 2
Fcr (0.5l) 2
不同约束情况下，细长杆的临 界压力欧拉公式可统一写成：
EI 2 Fcr (l )2
：长度系数 l：相当长度
.
两端铰支 一端固定，一端自由 一端固定，一端铰支 两端固定
[FN]156k N [F]52[FN]62.4k N
.
二、压杆稳定计算 ––– 折减系数法
工程中为了简便起见，对压杆的稳定计 算还常采用折减系数法。即将材料的压缩许 用应力[ ]乘上一个小于1的折减系数 作为 压杆的许用临界应力，即：
[ cr] = [ ]
< 1，称为折减系数
[ cr ] [ ]
L
v F v 0
EI
记k 2 F EI
F
x vM F x
y
v + k2v = 0
––– 二阶常系数齐次线性微分方程
.
通解： v = c1sinkx + c2coskx 边界条件：
x = 0 v( 0 ) = 0 x = l v( l ) = 0 v(0) = c1sin(k* 0) + c2cos(k* 0) = c2 = 0 v = c1sinkx v(l) = c1sinkl = 0
F：工作压力
Fcr：临界压力
nst：额定安全系数
nst
Fcr F
n
nFcr：工作安(实 全际 系安 数全 ) 系数
F
.
稳定计算的一般步骤：
① 分别计算各个弯曲平面内的柔度 y 、 z ，从而得到 max；
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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挠曲线方程： w(x) C2 sin l x
半个正弦波。
注意：
因为压杆两端均为球铰，各方向约束相同，惯性矩应取其横截面的最小惯性矩。
目录
例7-1题 两端铰支的细长压杆，横截面直径 d=50 mm，材料为Q235 钢， 弹性模量E=200 GPa，σs=235 MPa，试求杆的临界应力。
解： 截面惯性矩
bh60mmIyIzb 13 h 2 6 140 2 m m 101840 mm
F C r ( π 2 l E ) I 2 π 2 2 0 (0 2 1 2 0 5 3 0 0 1 ) 0 2 8 1 0 4N 8 5 1 8 7 N 8 5 .1 9 k N
目录
例两7-杆3 均为细长杆的杆系如图示，若杆件在ABC面内因失稳而引起
一、实例
第一节 压杆稳定的基本概念
一根宽18mm，厚0.5mm，长150mm的钢板尺，设其材料的许用应力
300MPa，按照强度条件计算，其承载能力为 FA2.7kN
F F 但将尺竖在桌上用手压，不到40N的力就可以将它明显压弯。
F
F
由此可见，细长压杆的承载能力在某些情
况下并不取决于其压缩强度条件，而取决于其
解： 截面惯性矩
稳定临界力
500
F C rl 2 2 E I2 2 0 0 1 0 0 .5 9 2 3 0 7 1 0 9N 2 4 2 4 k N
502
强度临界力 FCr 235 4 N461kN
欧拉公式只适用于大柔度压杆
目录
令
Cr
π2E
2
P
P
π2E P
P ，欧拉公式有效。
稳定临界力
26910 3N269kN
强度临界力
FCr
235502N461kN
4
对于细长压杆，起控制作用的是杆的稳定性。
目录
二、其他约束条件下细长压杆的临界力
目录
两端铰支 一端固定一端自由
2 EI
Fcr (l )2
Fcr
2 EI
(2l)2
欧拉公式普遍形式
Fcr
2 EI (l)2
1 2
长度系数（长度因数）
保持直线平衡状态的能力。压杆保持原有直线
平衡状态的能力，称为压杆的稳定性。压杆丧
失直线平衡状态而破坏，这种现象称为丧失稳
定或失稳。
目录
二、稳定平衡和不稳定平衡
不稳定平衡
稳定平衡
微小扰动就使小球远离原 来的平衡位置
微小扰动使小球离开原来的 平衡位置，但扰动撤销后小球回 复到平衡位置
目录
三、工程实例
s
a s
b
S P 的压杆，称为中柔度杆。
对于Q235钢，
s
30423561.6 1.12
2.小柔度杆
s 的压杆，称为小柔度杆。 取 Cr s
目录
•截面惯性半径 i I A
•压杆柔度 l i
•临界柔度 P
2E P
P 比例极限；
s
a s
b
s 屈服极限。
•临界应力 P 大柔度杆
解：压杆一端固定，一端自由，长度因数 2
Iyh 13b 2 91 04230 m4m 4 8 140 m4m
Izb 13h 2 41 092 30 m4m 24 1340 m4m
F C r ( π 2 l E ) I 2 π 2 2 ( 0 2 0 2 1 0 5 3 0 0 4 )2 8 1 0 4N 3 7 8 6 0 N 3 7 .8 6 k N
破坏，试求载荷F为最大值时的θ角（设0＜θ＜π／2）。设AB杆和BC
杆材料截面相同。
F
B
y
x B F
解：1.节点B的平衡
FABFcos
FAB
FBC
FBCFsin
2.两杆分别达到临界力时F可达最大值
A l
tg FBC F AB
F
BC cr
F
AB cr
ctg2
C
F AB cr
2EI LAB 2
cr
2E 2
欧拉公式
P s 中柔度杆 crab 直线公式
s
小柔度杆
cr s
强度问题
目录
四、临界应力总图
cr
cr s
S P
crab
cr
2E 2
O 小柔度 S中柔度P 大柔度
目录
讨论题
图示三根圆截面压杆直径相同。材料相同，设杆均为细长杆，问哪
l 相当长度，微弯曲线两拐点之间的长度。
目录
目录
l
l i FcrcrA
目录
例7-2 图示一矩形截面细长压杆，一端固定，一端自由。材料为钢，
弹性模量E20G 0 P。a几何尺寸为：b40mm ，h90mm ，
l2.5m，试计算此压杆的临界压力。 若 bh60mm ，杆长度
相等，则此压杆的临界压力又为多少？
w (x) C 1sikn x C 2co kx s
边界条件为 w(0)w(l)0 C 10 , C 2sikn l0
目录
C 2 0 sinkl0
klnπ(n0,1,2,...
由此可得
n
k
Fn2πl22EI
l
(n0,1,2,......)
取
n 1
FCr
2 EI
l2
计算两端铰支压杆的临界压力的欧拉公式
i
b
i
截面的惯性半径 i: 矩形截面 h
圆截面
z
bh3
iz
Iz A
12 h2 h bh 12 2 3
y
iy
Iy b A 23
i
I A
d44 d 64d2 4
目录
二、欧拉公式的适用范围 引例 两端铰支的细长压杆，横截面直径 d=50 mm，材料为Q235 钢，
弹性模量E=200 GPa，σs=235 MPa，试求杆的临界应力。
对于Q235钢，取 E200GPa P196MPa
P
π2 200109 196106
100
上例中，0.5 2 40100，不可以用欧拉公式计算
d/4 0.05
临界压力。
P 的压杆，称为大柔度杆。
目录
三、中小柔度杆临界应力计算
1.中柔度杆
P 用经验直线公式计算临界应力： Cr ab
令 Cr s
目录
压杆的稳定性试验
目录
四、压杆稳定平衡的条件
F
压力小于临界力压杆稳定
目录
第二节 细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力
w
x面上的弯矩： M (x)Fw(x)
挠曲线近似微分方程
d2w(x) M(x)EI dx2 Fw(x)
令 k2w(x)
0
解微分方程得到通解为
2 EI
L cos
2
FcBr C
2EI LBC 2
arcc2 t tg g
2 EI
L sin 2
目录
第三节 临界应力 欧拉公式的适用范围
一、临界应力与柔度
Fcr
2 EI (l)2
Cr
FCr A
π2EI
(l)2 A
I i2A
Cr
FCr A
π2E
(l)2
π2E
2
压杆柔度或长细比： l