第七章 压杆稳定共31页
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目录
压杆的稳定性试验
目录
四、压杆稳定平衡的条件
F
压力小于临界力压杆稳定
目录
第二节 细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力
w
x面上的弯矩： M (x)Fw(x)
挠曲线近似微分方程
d2w(x) M(x)EI dx2 Fw(x)
令 k2 F EI
d2w(x) dx2
k2w(x)
0
解微分方程得到通解为
cr
2E 2
欧拉公式
P s 中柔度杆 crab 直线公式
s
小柔度杆
cr s
强度问题
目录
四、临界应力总图
cr
cr s
S P
crab
cr
2E 2
O 小柔度 S中柔度P 大柔度
目录
讨论题
图示三根圆截面压杆直径相同。材料相同，设杆均为细长杆，问哪
s
a s
b
S P 的压杆，称为中柔度杆。
对于Q235钢，
s
30423561.6 1.12
2.小柔度杆
s 的压杆，称为小柔度杆。 取 Cr s
目录
•截面惯性半径 i I A
•压杆柔度 l i
•临界柔度 P
2E P
P 比例极限；
s
a s
b
s 屈服极限。
•临界应力 P 大柔度杆
对于Q235钢，取 E200GPa P196MPa
P
π2 200109 196106
100
上例中，0.5 2 40100，不可以用欧拉公式计算
d/4 0.05
临界压力。
P 的压杆，称为大柔度杆。
目录
三、中小柔度杆临界应力计算
1.中柔度杆
P 用经验直线公式计算临界应力： Cr ab
令 Cr s
解：压杆一端固定，一端自由，长度因数 2
Iyh 13b 2 91 04230 m4m 4 8 140 m4m
Izb 13h 2 41 092 30 m4m 24 1340 m4m
F C r ( π 2 l E ) I 2 π 2 2 ( 0 2 0 2 1 0 5 3 0 0 4 )2 8 1 0 4N 3 7 8 6 0 N 3 7 .8 6 k N
解： 截面惯性矩
稳定临界力
500
F C rl 2 2 E I2 2 0 0 1 0 0 .5 9 2 3 0 7 1 0 9N 2 4 2 4 k N
502
强度临界力 FCr 235 4 N461kN
欧拉公式只适用于大柔度压杆
目录
令
Cr
π2E
2
P
P
π2E P
P ，欧拉公式有效。
一、实例
第一节 压杆稳定的基本概念
一根宽18mm，厚0.5mm，长150mm的钢板尺，设其材料的许用应力
300MPa，按照强度条件计算，其承载能力为 FA2.7kN
F F 但将尺竖在桌上用手压，不到40N的力就可以将它明显压弯。
F
F
由此可见，细长压杆的承载能力在某些情
况下并不取决于其压缩强度条件，而取决于其
i
b
i
截面的惯性半径 i: 矩形截面 h
圆截面
z
bh3
iz
Iz A
12 h2 h bh 12 2 3
y
iy
Iy b A 23
i
I A
d44 d 64d2 4
目录
二、欧拉公式的适用范围 引例 两端铰支的细长压杆，横截面直径 d=50 mm，材料为Q235 钢，
弹性模量E=200 GPa，σs=235 MPa，试求杆的临界应力。
w (x) C 1sikn x C 2co kx s
边界条件为 w(0)w(l)0 C 10 , C 2sikn l0
目录
C 2 0 sinkl0
klnπ(n0,1,2,...
由此可得
n
k
Fn2πl22EI
l
(n0,1,2,......)
取
n 1
FCr
2 EI
l2
计算两端铰支压杆的临界压力的欧拉公式
挠曲线方程： w(x) C2 sin l x
半个正弦波。
注意：
因为压杆两端均为球铰，各方向约束相同，惯性矩应取其横截面的最小惯性矩。
目录
例7-1题 两端铰支的细长压杆，横截面直径 d=50 mm，材料为Q235 钢， 弹性模量E=200 GPa，σs=235 MPa，试求杆的临界应力。
解： 截面惯性矩
稳定临界力
26910 3N269kN
强度临界力
FCr
235502N461kN
4
对于细长压杆，起控制作用的是杆的稳定性。
目录
二、其他约束条件下细长压杆的临界力
目录
两端铰支 一端固定一端自由
2 EI
Fcr (l )2
Fcr
2 EI
(2l)2
欧拉公式普遍形式
Fcr
2 EI (l)2
1 2
长度系数（长度因数）
保持直线平衡状态的能力。压杆保持原有直线
平衡状态的能力，称为压杆的稳定性。压杆丧
失直线平衡状态而破坏，这种现象称为丧失稳
定或失稳。
目录
二、稳定平衡和不稳定平衡
不稳定平衡
稳定平衡
微小扰动就使小球远离原 来的平衡位置
微小扰动使小球离开原来的 平衡位置，但扰动撤销后小球回 复到平衡位置
目录
三、工程实例
破坏，试求载荷F为最大值时的θ角（设0＜θ＜π／2）。设AB杆和BC
杆材料截面相同。
F
B
y
x B F
解：1.节点B的平衡
FABFcos
FAB
FBC
FBCFsin
2.两杆分别达到临界力时F可达最大值
A l
tg FBC F AB
F
BC cr
F
AB cr
ctg2
C
F AB cr
2EI LAB 2
l 相当长度，微弯曲线两拐点之间的长度。
目录
目录
l
l i FcrcrA
目录
例7-2 图示一矩形截面细长压杆，一端固定，一端自由。材料为钢，
弹性模量E20G 0 P。a几何尺寸为：b40mm ，h90mm ，
l2.5m，试计算此压杆的临界压力。 若 bh60mm ，杆长度
相等，则此压杆的临界压力又为多少？
百度文库
2 EI
L cos
2
FcBr C
2EI LBC 2
arcc2 t tg g
2 EI
L sin 2
目录
第三节 临界应力 欧拉公式的适用范围
一、临界应力与柔度
Fcr
2 EI (l)2
Cr
FCr A
π2EI
(l)2 A
I i2A
Cr
FCr A
π2E
(l)2
π2E
2
压杆柔度或长细比： l
bh60mmIyIzb 13 h 2 6 140 2 m m 101840 mm
F C r ( π 2 l E ) I 2 π 2 2 0 (0 2 1 2 0 5 3 0 0 1 ) 0 2 8 1 0 4N 8 5 1 8 7 N 8 5 .1 9 k N
目录
例两7-杆3 均为细长杆的杆系如图示，若杆件在ABC面内因失稳而引起
压杆的稳定性试验
目录
四、压杆稳定平衡的条件
F
压力小于临界力压杆稳定
目录
第二节 细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力
w
x面上的弯矩： M (x)Fw(x)
挠曲线近似微分方程
d2w(x) M(x)EI dx2 Fw(x)
令 k2 F EI
d2w(x) dx2
k2w(x)
0
解微分方程得到通解为
cr
2E 2
欧拉公式
P s 中柔度杆 crab 直线公式
s
小柔度杆
cr s
强度问题
目录
四、临界应力总图
cr
cr s
S P
crab
cr
2E 2
O 小柔度 S中柔度P 大柔度
目录
讨论题
图示三根圆截面压杆直径相同。材料相同，设杆均为细长杆，问哪
s
a s
b
S P 的压杆，称为中柔度杆。
对于Q235钢，
s
30423561.6 1.12
2.小柔度杆
s 的压杆，称为小柔度杆。 取 Cr s
目录
•截面惯性半径 i I A
•压杆柔度 l i
•临界柔度 P
2E P
P 比例极限；
s
a s
b
s 屈服极限。
•临界应力 P 大柔度杆
对于Q235钢，取 E200GPa P196MPa
P
π2 200109 196106
100
上例中，0.5 2 40100，不可以用欧拉公式计算
d/4 0.05
临界压力。
P 的压杆，称为大柔度杆。
目录
三、中小柔度杆临界应力计算
1.中柔度杆
P 用经验直线公式计算临界应力： Cr ab
令 Cr s
解：压杆一端固定，一端自由，长度因数 2
Iyh 13b 2 91 04230 m4m 4 8 140 m4m
Izb 13h 2 41 092 30 m4m 24 1340 m4m
F C r ( π 2 l E ) I 2 π 2 2 ( 0 2 0 2 1 0 5 3 0 0 4 )2 8 1 0 4N 3 7 8 6 0 N 3 7 .8 6 k N
解： 截面惯性矩
稳定临界力
500
F C rl 2 2 E I2 2 0 0 1 0 0 .5 9 2 3 0 7 1 0 9N 2 4 2 4 k N
502
强度临界力 FCr 235 4 N461kN
欧拉公式只适用于大柔度压杆
目录
令
Cr
π2E
2
P
P
π2E P
P ，欧拉公式有效。
一、实例
第一节 压杆稳定的基本概念
一根宽18mm，厚0.5mm，长150mm的钢板尺，设其材料的许用应力
300MPa，按照强度条件计算，其承载能力为 FA2.7kN
F F 但将尺竖在桌上用手压，不到40N的力就可以将它明显压弯。
F
F
由此可见，细长压杆的承载能力在某些情
况下并不取决于其压缩强度条件，而取决于其
i
b
i
截面的惯性半径 i: 矩形截面 h
圆截面
z
bh3
iz
Iz A
12 h2 h bh 12 2 3
y
iy
Iy b A 23
i
I A
d44 d 64d2 4
目录
二、欧拉公式的适用范围 引例 两端铰支的细长压杆，横截面直径 d=50 mm，材料为Q235 钢，
弹性模量E=200 GPa，σs=235 MPa，试求杆的临界应力。
w (x) C 1sikn x C 2co kx s
边界条件为 w(0)w(l)0 C 10 , C 2sikn l0
目录
C 2 0 sinkl0
klnπ(n0,1,2,...
由此可得
n
k
Fn2πl22EI
l
(n0,1,2,......)
取
n 1
FCr
2 EI
l2
计算两端铰支压杆的临界压力的欧拉公式
挠曲线方程： w(x) C2 sin l x
半个正弦波。
注意：
因为压杆两端均为球铰，各方向约束相同，惯性矩应取其横截面的最小惯性矩。
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例7-1题 两端铰支的细长压杆，横截面直径 d=50 mm，材料为Q235 钢， 弹性模量E=200 GPa，σs=235 MPa，试求杆的临界应力。
解： 截面惯性矩
稳定临界力
26910 3N269kN
强度临界力
FCr
235502N461kN
4
对于细长压杆，起控制作用的是杆的稳定性。
目录
二、其他约束条件下细长压杆的临界力
目录
两端铰支 一端固定一端自由
2 EI
Fcr (l )2
Fcr
2 EI
(2l)2
欧拉公式普遍形式
Fcr
2 EI (l)2
1 2
长度系数（长度因数）
保持直线平衡状态的能力。压杆保持原有直线
平衡状态的能力，称为压杆的稳定性。压杆丧
失直线平衡状态而破坏，这种现象称为丧失稳
定或失稳。
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二、稳定平衡和不稳定平衡
不稳定平衡
稳定平衡
微小扰动就使小球远离原 来的平衡位置
微小扰动使小球离开原来的 平衡位置，但扰动撤销后小球回 复到平衡位置
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三、工程实例
破坏，试求载荷F为最大值时的θ角（设0＜θ＜π／2）。设AB杆和BC
杆材料截面相同。
F
B
y
x B F
解：1.节点B的平衡
FABFcos
FAB
FBC
FBCFsin
2.两杆分别达到临界力时F可达最大值
A l
tg FBC F AB
F
BC cr
F
AB cr
ctg2
C
F AB cr
2EI LAB 2
l 相当长度，微弯曲线两拐点之间的长度。
目录
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l
l i FcrcrA
目录
例7-2 图示一矩形截面细长压杆，一端固定，一端自由。材料为钢，
弹性模量E20G 0 P。a几何尺寸为：b40mm ，h90mm ，
l2.5m，试计算此压杆的临界压力。 若 bh60mm ，杆长度
相等，则此压杆的临界压力又为多少？
百度文库
2 EI
L cos
2
FcBr C
2EI LBC 2
arcc2 t tg g
2 EI
L sin 2
目录
第三节 临界应力 欧拉公式的适用范围
一、临界应力与柔度
Fcr
2 EI (l)2
Cr
FCr A
π2EI
(l)2 A
I i2A
Cr
FCr A
π2E
(l)2
π2E
2
压杆柔度或长细比： l
bh60mmIyIzb 13 h 2 6 140 2 m m 101840 mm
F C r ( π 2 l E ) I 2 π 2 2 0 (0 2 1 2 0 5 3 0 0 1 ) 0 2 8 1 0 4N 8 5 1 8 7 N 8 5 .1 9 k N
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例两7-杆3 均为细长杆的杆系如图示，若杆件在ABC面内因失稳而引起