高数全微分

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多元函数的极限存在、连续、可偏导、可微、 多元函数的极限存在、连续、可偏导、可微、 极限存在 偏导数连续之间的关系 偏导数连续之间的关系
极限存在 函数连续 函数可导
函数可微
偏导数连续
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1 , ( x, y) ≠ (0,0) xysin 2 2 【例 4】试证函数 f ( x, y) = 】 x +y 0, ( x, y) = (0,0)
各点处处可微分 处处可微分， 函数若在区域 D 内各点处处可微分，则称函数在 D 内 可微分. 可微分.
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【结论】如果函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y )可微分, 则函数 结论】 可微分, 在该点必连续 连续是可微的一个必要条件 必连续. 一个必要 在该点 必连续.连续是可微的一个 必要条件 即： 可微
1 xy sin 2 ≤ | x | ⋅ | y |→ 0 = f (0,0) 2 x +y
连续. 故f 在(0,0)连续 连续
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f ( ∆x ,0) − f (0,0) = lim 0 − 0 = 0, f x (0,0) = lim ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x 同理 f y (0,0) = 0.
故函数在点( 0,0)处不可微. 处不可微.
结论】多元函数的各偏导数存在并不能保证全微 偏导数存在并不能保证 【结论】多元函数的各偏导数存在并不能保证全微 分存在。故偏导数存在是可微分的必要条件 必要条件而不是 分存在。故偏导数存在是可微分的必要条件而不是 充分条件。 充分条件。 即 可微 可偏导 警惕】若偏导数存在， 【警惕】若偏导数存在，虽能从形式上写出
则
∆x ⋅ ∆y ( ∆x ) 2 + ( ∆y )2
ρ
1 ∆x ⋅ ∆ x = , = 2 2 ( ∆x ) + ( ∆ x ) 2
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说明它不能随着 ρ → 0 而趋于 0,
当 ρ → 0 时， ∆z − [ f x (0,0) ⋅ ∆x + f y (0,0) ⋅ ∆y ] ≠ o( ρ ),
∆ z = f x ( x , y )∆ x + ε 1 ∆ x + f y ( x , y )∆ y + ε 2 ∆y
当 ∆y → 0时 ，ε2 →0,
ε 1 ∆x + ε 2 ∆y ρ →0 ∵ ≤ ε 1 + ε 2 → 0 , ρ 处可微. 故函数 z = f ( x , y )在点( x , y ) 处可微.
∂z = 2e 2 , ∂y ( 2 ,1 )
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2 2 所求全微分 dz = e dx + 2e dy .
【例 2】求函数 z = y cos( x − 2 y ) ，当 x = ， y = π ， 】 4 π 时的全微分. dx = ， dy = π 时的全微分. 4 ∂z 【解】 = − y sin( x − 2 y ), ∂x ∂z = cos( x − 2 y ) + 2 y sin( x − 2 y ), ∂y 2 ∂z ∂z π (4 − 7π ). dz ( π ,π ) = ⋅ dx + ⋅ dy = 8 ∂x ( π ,π ) ∂y ( π ,π ) 4
2.【充分条件】 【充分条件】
∂ z ∂z 连续， 可微分． 、 在点( x , y ) 连续，则该函数在点( x , y ) 可微分． ∂x ∂y 即 偏导数连续 ⇒ 可微 【证】 ∆ z = f ( x + ∆ x , y + ∆ y ) − f ( x , y ) = [ f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y + ∆y )] + [ f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y )],
lim
f x ( x, y)
1 x3 1 , 不存在. cos = lim x sin − 3 不存在. x →0 2| x| 2 2| x| 2 | x |
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可导与可微的关系: ⑵可导与可微的关系: 一元函数： ①一元函数：在某点的导数存在 多元函数： ②多元函数：各偏导数存在
微分存在． 微分存在． 全微分存在． 全微分存在．
xy , x2 + y2 ≠ 0 x2 y2 + 举例说明】 【举例说明】f ( x, y ) = 在点(0,0)处有 在点 处有 2 2 0, x + y =0
连续且偏导数存在， 不连续， 在点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)不连续， 可微. 而 f 在点(0,0)可微.
思路】按有关定义讨论； 【思路】按有关定义讨论；对于偏导数需分
( x , y ) ≠ (0,0) ，( x , y ) = (0,0) 讨论. 讨论.
先证f( , ) 【证】先证 (x,y)在原点连续（法1）利用无穷小的性质 ） 1 = 0 = f (0,0),故函数在点(0,0) 连续, lim xy sin 2 连续, 2 ( x , y )→ ( 0 , 0 ) x +y （法2）利用夹逼准则 ）
⇒ 连续
ρ →0
事实上 ∆z = A∆x + B∆y + o( ρ ), lim ∆z = 0,
∆x → 0 ∆y → 0
lim f ( x + ∆x , y + ∆y ) = lim[ f ( x , y ) + ∆z ]
ρ →0
= f ( x, y)
处连续. 故函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 处连续.
有关， 而仅与 x, y 有关， ρ =
( ∆x )2 + Байду номын сангаас ∆y ) 2 ，则称函数
z = f ( x , y )在点( x , y ) 可微分， A∆x + B∆y 称为函数 可微分，
全微分， z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全微分，记为dz ，即
dz = A∆x + B∆y . 即 可微 ⇔ ∆z = A∆x + B∆y + (ρ)
= f x ( x , y )∆x + ε 1∆x （依偏导数的连续性） 依偏导数的连续性） 其中ε 1 为 ∆ x , ∆y 的函数, 且当 ∆ x → 0, ∆ y → 0 时，ε 1 → 0 . 机动 目录 上页
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同理 f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y ) = f y ( x , y )∆y + ε 2 ∆y ,
π
y yz 的全微分. 【例 3】计算函数 u = x + sin + e 的全微分. 】 2
∂u 【解】 = 1, ∂x
4
4
∂u y ∂u 1 yz = ye yz , = cos + ze , ∂z 2 ∂y 2 1 y du = dx + ( cos + ze yz )dy + ye yz dz . 故所求全微分为 2 2
当( x , y ) ≠ (0,0) 时， 1 1 x2 y cos 2 , − f x ( x , y ) = y sin 2 2 2 2 3 2 x +y (x + y ) x +y
当点 P ( x , y ) 沿直线 y = x 趋于( 0,0 ) 时,
( x , x )→ ( 0 , 0 )
∂z ∂z dx + dy 但它不一定是函数的全微分 但它不一定是函数的全微分. ∂x ∂y
但如果再假定多元函数的各个偏导数连续，则 如果再假定多元函数的各个偏导数连续， 各个偏导数连续 可微分的 即有下面的定理。 可以证明函数是可微分 可以证明函数是可微分的。即有下面的定理。
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du = ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz .
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定义） 3. 【充要条件】 （即是定义） 充要条件】 即是定义 ′ ′ ∆z − [ f x ( x, y)∆x + f y ( x, y)∆y] f ( x, y)可微 ⇔ lim =0 ρ→0 ρ
注意】 【注意】用全微分定义验证一个可导函数的可微性只需
f ( x ,0 ) − f ( 0 ,0 ) f x ( 0 , 0 ) = lim = 0 = f y ( 0 ,0 ) x→ 0 x ∆x ⋅ ∆y , 所以 ∆z − [ f x (0,0) ⋅ ∆x + f y (0,0) ⋅ ∆y ] = 2 2 ( ∆x ) + ( ∆y ) 如果考虑点 P ′( ∆ x , ∆ y ) 沿着直线 y = x 趋近于( 0,0 ) ，
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3.【全微分定义】 【全微分定义】
定义】 【定义】 如果函数 z = f ( x , y )在点( x , y ) 的全增量
∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 可以表示为
∆z = A∆x + B∆y + o( ρ ) ，其中 A, B 不依赖于∆x , ∆y
在第一个方括号内， 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
定理２ 充分条件） 【定理２】（充分条件）如果函数 z = f ( x , y ) 的偏导数
f ( x + ∆x , y + ∆ y ) − f ( x , y + ∆ y ) = f x ( x + θ 1∆x , y + ∆y )∆x (0 < θ1 < 1)
【注】 ∂z ∂z dx + dy . (1)习惯上，记全微分为 dz = 习惯上， 习惯上 ∂x ∂y (2)全微分符合叠加原理．即：全微分=各偏微分之和 全微分符合叠加原理 全微分= 全微分符合叠加原理． (3)全微分的定义（或叠加原理）可推广到三元及三 全微分的定义（ 叠加原理） 全微分的定义 元以上函数 ∂u ∂u ∂u
∆y ≈ dy
二元函数 二元函数 和对y的 和对y的 对x和对 的偏增量 和对 对x和对 的偏微分 和对 2. 【全增量的概念】 全增量的概念】 的某邻域内有定义， 若 z = f ( x, y)在点 P ( x, y)的某邻域内有定义， 为这邻域内的任意一点， 并设 P′( x + ∆x, y + ∆y)为这邻域内的任意一点，则 称这两点的函数值之差 f ( x + ∆x, y + ∆y) − f ( x, y) 全增量， 为函数在点 P 对应于自变量增量 ∆x, ∆y的全增量， 记为 ∆z，即 ∆z= f ( x + ∆x, y + ∆y) − f ( x, y)
一、全微分的定义 二、可微的条件 三、小结 思考题
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一、全微分的定义
1. 【偏增量与偏微分】 偏增量与偏微分】 由一元函数微分学中增量与微分的关系 f ( x + ∆x, y) − f ( x, y) ≈ f x ( x, y)∆x 得
f ( x, y + ∆y) − f ( x, y) ≈ f y ( x, y)∆y
验证 lim
ρ→0
∆z − f x ( x0 , y0 )∆x − f y ( x0 , y0 )∆y
ρ
∂z = xe xy , ∂y
== 0
【例 1】计算函数 z = e xy 在点( 2,1) 处的全微分. 1】 处的全微分.
【解】 ∂z = ye xy , ∂x
∂z = e2 , ∂x ( 2 ,1 )
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二、可微的条件
1. 【必要条件】 必要条件】 可微分， (1)【定理 1】若 z = f ( x, y)在点( x, y)可微分，则函数 ∂z ∂z 必存在， 函数在点 在点( x, y)的偏导数 、 必存在，且函数在点( x, y) ∂x ∂y
∂z ∂z 的全微分为 dz = ∆x + ∆y． ∂x ∂y 【证】 若 z = f ( x, y)在点 P( x, y)可微分, 可微分, P′( x + ∆x, y + ∆y)∈U(P), ∆z = A∆x + B∆y + o(ρ) 总成立, 总成立, 上式仍成立， 当 ∆y = 0时，上式仍成立，此时 ρ =| ∆x |, f ( x + ∆x, y) − f ( x, y) = A⋅ ∆x + o(| ∆x |), ∂z f ( x + ∆x, y) − f ( x, y) ∂z lim = A = , 同理可得 B = . ∆x→0 ∂y ∆x ∂x