第五章 留数(答案)
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§2留数
一、选择题：
1．设 在 内解析， 为正整数，那么 [ ]
（A） （B） （C） （D）
2．在下列函数中， 的是[ ]
（A） （B）
（C） （D）
3． [ ]
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：
1．设 ，则 0。
2．设 为 的 级零点，那么 m。
3．设 ，则 -1/24。
三、解答题：
1．求下列各函数在各个有限奇点处的留数：
二、填空题
1．设 为函数 的 级零点，那么 9。
2．设 为函数 的 级极点，那么 2。
三、解答题
1．下列函数在有限点处有些什么奇点？如果是极点，指出它的级：
（1）
（2）
（3）
（4） （ 为正整数）
2．判断 点是下列函数的什么奇点？
wenku.baidu.com（1）
（2）
3． 是函数 的几级极点？( )
复变函数练习题第五章留数
系专业班姓名学号
不存在且不等于无穷，则a为本性奇点。
3、判断极点的方法
3.1 ，g(z)在点a解析且g(a)不等于零；
3.2 ;
3.3 h(z)在点a解析且h(a)不等于零
一、选择题
1．函数 在 内奇点的个数为[D]
（A） （B） （C） （D）
2．设 与 分别以 为可去奇点和 级极点，则 为 的[C]
（A）可去奇点（B）本性奇点（C） 级极点（D）小于 级的极点
（1）
（2）
2．求 的值，如果
（1）
（2）
（3）
（4）
法一：
法二：
法三：
3．计算下列各积分（利用留数，圆周均取正向）
（1）
（2）
复变函数练习题第五章留数
系专业班姓名学号
§3留数在定积分计算上的应用
一、选择题
1．设 为正整数，则 [ ]
（A）0（B） （C） （D）
2．积分 [ ]
（A）0（B） （C） （D）
复变函数练习题第五章留数
系专业班姓名学号
§1孤立奇点
孤立奇点类型的判别法
1、洛朗展开法
f(z)在点a处的洛朗展式中，
若无负幂项，则点a为可去奇点；
若负幂项最高次数为m，则点a为m阶极点；
若负幂项为无穷多个，则点a为本性奇点。
2、极限法
存在且有限，则点a为可去奇点；
等于无穷，则a为极点（无法判断阶数）；
(对f(z)和g(z)分别进行洛朗展开并求和)
3． 为函数 的 级极点，那么 [C]
（A） （B） （C） （D）
4． 是函数 的[B]
（A）可去奇点（B）一级极点（C）二级极点（D）本性奇点
5． 是函数 的[D]
（A）可去奇点（B）一级极点（C）一级零点（D）本性奇点
（将函数在z=1洛朗展开，含无穷多个负幂项）
二、填空题
1．积分 -2i。
2．设 ，则 在复平面上所有有限奇点处留数之和为0。
三、解答题
1．求函数 在 的留数。
2．计算积分 （ 为一正整数），
3．计算下列积分：
（1）
被积函数
在|z|=1内只有一个奇点 ，且为一阶极点.从而
（2）
被积函数
在|z|=1内具有两个奇点z=0,z=-1/2，它们分别是二阶极点和一阶极点。
3．积分 [ ]
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：
1．设 ，则 -2。
2．积分 。
三、解答题
1．求出下列函数 在有限孤立奇点处的留数：
（1）
（2）
2．计算下列各积分（ 为正向圆周）
（1）
（2）
3．利用留数定理计算下列积分：
（1）
（2）
从而原积分
（3） （4）
复变函数练习题第五章留数
系专业班姓名学号
综合练习
一、选择题
1．下列命题中，正确的是[ ]
（A）设 , 在 点解析, 为自然数，则 为 的 级极点。
（B）如果无穷远点 是函数 的可去奇点，那么
（C）若 为偶函数 的一个孤立奇点，则
（D）若 ，则 在 内无奇点
2． [ ]
（A） （B） （C） （D）
一、选择题：
1．设 在 内解析， 为正整数，那么 [ ]
（A） （B） （C） （D）
2．在下列函数中， 的是[ ]
（A） （B）
（C） （D）
3． [ ]
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：
1．设 ，则 0。
2．设 为 的 级零点，那么 m。
3．设 ，则 -1/24。
三、解答题：
1．求下列各函数在各个有限奇点处的留数：
二、填空题
1．设 为函数 的 级零点，那么 9。
2．设 为函数 的 级极点，那么 2。
三、解答题
1．下列函数在有限点处有些什么奇点？如果是极点，指出它的级：
（1）
（2）
（3）
（4） （ 为正整数）
2．判断 点是下列函数的什么奇点？
wenku.baidu.com（1）
（2）
3． 是函数 的几级极点？( )
复变函数练习题第五章留数
系专业班姓名学号
不存在且不等于无穷，则a为本性奇点。
3、判断极点的方法
3.1 ，g(z)在点a解析且g(a)不等于零；
3.2 ;
3.3 h(z)在点a解析且h(a)不等于零
一、选择题
1．函数 在 内奇点的个数为[D]
（A） （B） （C） （D）
2．设 与 分别以 为可去奇点和 级极点，则 为 的[C]
（A）可去奇点（B）本性奇点（C） 级极点（D）小于 级的极点
（1）
（2）
2．求 的值，如果
（1）
（2）
（3）
（4）
法一：
法二：
法三：
3．计算下列各积分（利用留数，圆周均取正向）
（1）
（2）
复变函数练习题第五章留数
系专业班姓名学号
§3留数在定积分计算上的应用
一、选择题
1．设 为正整数，则 [ ]
（A）0（B） （C） （D）
2．积分 [ ]
（A）0（B） （C） （D）
复变函数练习题第五章留数
系专业班姓名学号
§1孤立奇点
孤立奇点类型的判别法
1、洛朗展开法
f(z)在点a处的洛朗展式中，
若无负幂项，则点a为可去奇点；
若负幂项最高次数为m，则点a为m阶极点；
若负幂项为无穷多个，则点a为本性奇点。
2、极限法
存在且有限，则点a为可去奇点；
等于无穷，则a为极点（无法判断阶数）；
(对f(z)和g(z)分别进行洛朗展开并求和)
3． 为函数 的 级极点，那么 [C]
（A） （B） （C） （D）
4． 是函数 的[B]
（A）可去奇点（B）一级极点（C）二级极点（D）本性奇点
5． 是函数 的[D]
（A）可去奇点（B）一级极点（C）一级零点（D）本性奇点
（将函数在z=1洛朗展开，含无穷多个负幂项）
二、填空题
1．积分 -2i。
2．设 ，则 在复平面上所有有限奇点处留数之和为0。
三、解答题
1．求函数 在 的留数。
2．计算积分 （ 为一正整数），
3．计算下列积分：
（1）
被积函数
在|z|=1内只有一个奇点 ，且为一阶极点.从而
（2）
被积函数
在|z|=1内具有两个奇点z=0,z=-1/2，它们分别是二阶极点和一阶极点。
3．积分 [ ]
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：
1．设 ，则 -2。
2．积分 。
三、解答题
1．求出下列函数 在有限孤立奇点处的留数：
（1）
（2）
2．计算下列各积分（ 为正向圆周）
（1）
（2）
3．利用留数定理计算下列积分：
（1）
（2）
从而原积分
（3） （4）
复变函数练习题第五章留数
系专业班姓名学号
综合练习
一、选择题
1．下列命题中，正确的是[ ]
（A）设 , 在 点解析, 为自然数，则 为 的 级极点。
（B）如果无穷远点 是函数 的可去奇点，那么
（C）若 为偶函数 的一个孤立奇点，则
（D）若 ，则 在 内无奇点
2． [ ]
（A） （B） （C） （D）