量子力学4态和力学量的表象

的表象不同波函数形式也不同, 但它们描写同一态。
经典力学 矢量
( Ax , Ay , Az )
普通三维空间
特定坐标系 i , j,k
比较：
量子力学
态矢量
a1 (t) a2 (t)
an (t)
希尔伯特（Hilbert）空间
特定 Q 表象
本征函数 u1 (x), u2 (x), ,un (x),
SS I
证明： (S S )kj Sk Sj Sk Sj
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u (x)uk (x)dx u (x)u j (x)dx
dxdx u (x)u (x)uk (x)u j (x)
dxdx
(
x
x)u
k
(
x)u
j
(
x)
dxu
k
(
x)u
j
(x)
kj
§4.2 力学量算符的矩阵表示与表象变换
设一力学量 F(x,i ) 作用于态 (x,t) 得到另一态 (x,t)
x 在坐标表象中的表示为：
(x,t) F(x,i )(x,t)
x
在任一表象 Q 中的表示为：
分立本征值：Q1,Q2 , Qn , 本征函数：u1 (x), u2 (x), ,un (x),
(x,t) am (t)um (x)
(x, t), i x
是波函数和力学量在坐标表象中的
表示，这种表示方法并不是唯一的。
（一）.态的表象 1． 特例 动量本征函数
p (r)
1
1
(2) 2
i px
e
组成完全基
任意态 (x,t) C( p,t) p (x)dp
p (x) p (x)dp ( p p)
C( p,t) p (x)(x,t)dx
m
两边 un (x) 左乘积分
(x,t) bm (t)um (x)
m
bm (t) dxun (x)um (x) am (t) dxun (x)Fˆum (x)
m
m
bm (t) nm Fnmam (t)
a
1
(t
)
a2 (t)
an (t)
a
1
(t)a1 (t)
a2
(t)a2
(t)
对于即有分立谱又有连续谱的情况：
(x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dx n
an (t) (un (x), (x,t))
aq (t) (uq (x), (x,t))
同一态可以在不同表象中用波函数来描写，所取
§4.5 狄拉克符号
§4.6 占有数表象
小结与习题
§4.1 态的表象
一. 矢量
矢量的表示 A 基矢
e1, e2
A
A1e1
A2 e2
e2
e2
A
e1
A1
(e1 ,
A)
A2
(e2 , A)
e1
( A1, A2 ) 矢量 A 在坐标系 对另一坐标系 , (x1, x2 )
(x1, x2 ) e1, e2
中的表示。
A
A1e1
A2 e2
( A1, A2 )是矢量 A 在
e1, e2 坐标系中的表示，同一矢量A 在
不同坐标系中表示有什么关系?
A
A1e1
A2 e2
A1e1
A2 e2
A1 A1 (e1, e1 ) A2 (e1, e2 ) cosA1 sinA2
A2 A1(e2, e1) A2 (e2, e2 ) sinA1 cosA2
第四章 态和力学量的表象
[教学目的]：本章主要介绍了表象概念、态和力学 量在具体表象下的表示、量子力学中的关系式在具 体表象下的表示、不同表象之间的变换、狄拉克符 号、占有数表象。
§4.1 态的表象
§4.2 力学量算符的矩阵表示与表象变换
§4.3 量子力学中一些关系式的矩阵表示 §4.4 表象变换下的不变量与不变式
（二） 态的表象变换
态矢量 (x,t) 在力学量 A 的完备基下，即 A 表象下
(x, t) an (t)un (x)
n
在力学量 A 的完备基下
A 表象 a1 (t), a2 (t), , an (t),
(x,t) am (t)um (x) A 表象
a1(t), a2 (t), , am (t),
nm
n
(x,t) 2 dx 1 an (t)an (t) 1
n
an 2 是 (x, t) 态 中测量力学量Q 所得结果为 Qn
a。1 (t), a2 (t), , an (t),
( x, t )
Q
的几率
为态
在 表象中的表示。
用矩阵表示：
a1 (t)
a2 (t)
an (t)
A1 A2
R(
)
A1 A2
R(
)
cos sin
sin cos
R( ) 有什么性质？
det R 1
R~R RR~ 1 (真正交矩阵)
R R RR 1 幺正矩阵
同一矢量在不同坐标系中的表示通过一个幺正矩阵联系起来。
二. 态的表象与表象变换
表象: 态和力学量的具体表示方式。
量子力学中，量子态可看成Hilbert空间一矢量。
n
n
即： ak (t) Sknan (t)
n
矩阵表示 a1 S11 S12 a1
a2
S 21
S 22
a2
a Sa
同一个量子态 (x,t)在 A A 表象中的不同表示的关系通过
一幺正矩阵 S 相联系。
么正矩阵 S S SS 1 S S 1
分立本征值：Q1,Q2 , Qn , 本征函数：u1 (x), u2 (x), ,un (x),
(x, t) an (t)un (x)
an (t) (un , ) un (x)(x,t)dx
n
(x,t) 2 dx am (t)an (t) um (x)un (x)dx
nm
am (t)an (t) nm an (t)an (t)
(x,t) 2dx 1
C( p,t) 2dp 1
C( p,t) 2 dp 是 (x, t)所描写的态中测量粒子动量在 p dp
范围的几率.C( p, t)与 (x, t) 描述的是同样的态,C( p, t)
为在动量表象中的波函数。
2、推广到一般情况
在任意力学量 Q 的表象中，态的表示：(x,t)
m
二表象 A ，A
之间的关系 (x,t)
n
an (t)un (x)
am (t)um (x)
m
左乘 uk(x)积分
am (t) uk (x)um (x)dx mk am (t) ak (t)
m
m
an (t) uk (x)un (x)dx Sknan (t) Skn uk (x)un (x)dx