小学数学常用的十一种解题思路

小学数学常用的十一种解题思路
一、直接思路
“直接思路”是解题中的常规思路。

它一般是通过分析、综合、归纳等方法，直接找到解题的途径。

【顺向综合思路】从已知条件出发，根据数量关系先选择两个已知数量，提出可以解决的问题；然后把所求出的数量作为新的已知条件，与其他的已知条件搭配，再提出可以解决的问题；这样逐步推导，直到求出所要求的解为止。

这就是顺向综合思路，运用这种思路解题的方法叫“综合法”。

例1 兄弟俩骑车出外郊游，弟弟先出发，速度为每分钟200米，弟弟出发5分钟后，哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度追赶弟弟，而狗以每分钟300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，见到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，这时狗跑了多少千米？
分析（按顺向综合思路探索）：
（1）根据弟弟速度为每分钟200米，出发5分钟的条件，可以求什么？
可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追赶弟弟的距离。

（2）根据弟弟速度为每分钟200米，哥哥速度为每分钟250米，可以求什么？
可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米。

（3）通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为1000米，每分钟可追上的距离为50米，根据这两个条件，可以求什么？
可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间。

（4）狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑，看起来很复杂，仔细想一想，狗跑的时间与谁用的时间是一样的？
狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是相同的。

（5）已知狗以每分钟300米的速度，在哥哥与弟弟之间来回奔跑，直到哥哥追上弟弟为止，和哥哥追上弟弟所需的时间，可以求什么？
可以求出这时狗总共跑了多少距离？
这个分析思路可以用下图（图2.1）表示。

例2 下面图形（图2.2）中有多少条线段？
分析（仍可用综合思路考虑）：
我们知道，直线上两点间的一段叫做线段，如果我们把上面任意相邻两点间的线段叫做基本线段，那么就可以这样来计数。

（1）左端点是A的线段有哪些？
有AB AC AD AE AF AG共6条。

（2）左端点是B的线段有哪些？
有BC、BD、BE、BF、BG共5条。

（3）左端点是C的线段有哪些？
有CD、CE、CF、CG共4条。

（4）左端点是D的线段有哪些？
有DE、DF、DG共3条。

（5）左端点是E的线段有哪些？
有EF、EG共2条。

（6）左端点是F的线段有哪些？
有FG共1条。

然后把这些线段加起来就是所要求的线段。

二、逆向分析思路
从题目的问题入手，根据数量关系，找出解这个问题所需要的两个条件，然后把其中的一个（或两个）未知的条件作为要解决的问题，再找出解这一个（或两个）问题所需的条件；这样逐步逆推，直到所找的条件在题里都是已知的为止，这就是逆向分析思路，运用这种思路解题的方法叫分析法。

例1 两只船分别从上游的A地和下游的B地同时相向而行，水的流速为每分钟30米，两船在静水中的速度都是每分钟600米，有一天，两船又分别从A、B两地同时相向而行，但这次水流速度为平时的2倍，所以两船相遇的地点比平时相遇点相差60米，求A、B 两地间的距离。

分析（用分析思路考虑）：
（1）要求A、B两地间的距离，根据题意需要什么条件？
需要知道两船的速度和与两船相遇的时间。

（2）要求两船的速度和，必要什么条件？
两船分别的速度各是多少。

题中已告之在静水中两船都是每分钟600米，那么不论其水速是否改变，其速度和均为（600+600）米，这是因为顺水船速为：船速+水速，逆水船速为：船速-水速，故顺水船速与逆水船速的和为：船速+水速+船速-水速=2个船速（实为船在静水中的速度）
（3）要求相遇的时间，根据题意要什么条件？
两次相遇的时间因为距离相同，速度和相同，所以应该是相等的，这就是说，尽管水流的速度第二次比第一次每分钟增加了30米，仍不会改变相遇时间，只是改变了相遇地点：偏离原相遇点60米，由此可知两船相遇的时间为60÷30=2（小时）。

此分析思路可以用下图（图2.3）表示：
例2 五环图由内径为4，外径为5的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等（如图2.4），已知五个圆环盖住的总面积是122.5，求每个小曲边四边形的面积（圆周率π取3.14）
分析（仍用逆向分析思路探索）：
（1）要求每个小曲边四边形的面积，根据题意必须知道什么条件？
曲边四边形的面积，没有公式可求，但若知道8个小曲边四边形的总面积，则只要用8个曲边四边形总面积除以8，就可以得到每个小曲边四边形的面积了。

（2）要求8个小曲边四边形的总面积，根据题意需要什么条件？
8个小曲边四边形恰好是圆环面积两两相交重叠一次的部分，因此只要把五个圆环的总面积减去五个圆环盖住的总面积就可以了。

（3）要求五个圆环的总面积，根据题意需要什么条件？
求出一个圆环的面积，然后乘以5，就是五个圆环的总面积。

（4）要求每个圆环的面积，需要什么条件？
已知圆环的内径（4）和外径（5），然后按圆环面积公式求就是了。

圆环面积公式为：
S圆环=π（R2-r2）
=π（R＋r）（R－r）
其思路可用下图（图2.5）表示：
三、一步倒推思路
顺向综合思路和逆向分析思路是互相联系，不可分割的。

在解题时，两种思路常常协同运用，一般根据问题先逆推第一步，再根据应用题的条件顺推，使双方在中间接通，我们把这种思路叫“一步倒推思路”。

这种思路简明实用。

例1 一只桶装满10千克水，另外有可装3千克和7千克水的两只空桶，利用这三只桶，怎样才能把10千克水分为5千克的两份？
分析（用一步倒推思路考虑）：
（1）逆推第一步：把10千克水平分为5千克的两份，根据题意，关键是要找到什么条件？
因为有一只可装3千克水的桶，只要在另一只桶里剩2千克水，利用3＋2=5，就可以把水分成5千克一桶，所以关键是要先倒出一个2千克水。

（2）按条件顺推。

第一次：10千克水倒入7千克桶，10千克水桶剩3千克水，7千克水倒入3千克桶，7千克水桶剩4千克水，3千克水桶里有水3千克；第二次：3千克桶的水倒入10千克水桶，这时10千克水桶里有水6千克，把7千克桶里的4千克水倒入3千克水桶里，这时7千克水桶里剩水1千克，3千克水桶里有水3千克；第三次：3千克桶里的水倒入10千克桶里，这时10千克桶里有水9千克，7千克桶里的1千克水倒入3千克桶里，这时7千克桶里无水，3千克桶里有水1千克；第四次：10千克桶里的9千克水倒入7千克桶里，10千克水桶里剩下2千克水，7千克桶里的水倒入3千克桶里（原有1千克水），只倒出2千克水，7千克桶里剩水5千克，3千克桶里有水3千克，然后把3千克桶里的3千克水倒10千克桶里，因为原有2千克水，这时也正好是5千克水了。

其思路可用下图（图2.6和图2.7）表示：
问题：
例2 今有长度分别为1、2、3……9厘米的线段各一条，可用多少种不同的方法，从中选用若干条线段组成正方形？
分析（仍可用一步倒推思路来考虑）：
（1）逆推第一步。

要求能用多少种不同方法，从中选用若干条线段组成正方形必须的条件是什么？
根据题意，必须知道两个条件。

一是确定正方形边长的长度范围，二是每一种边长有几种组成方法。

（2）从条件顺推。

①因为九条线段的长度各不相同，所以用这些线段组成的正方形至少要7条，最多用了9条，这样就可以求出正方形边长的长度范围为（1+2+……
②当边长为7厘米时，各边分别由1+6、2+5、3+4及7组成，只有一种组成方法。

③当边长为8厘米时，各边分别由1+7、2+6、3+5及8组成，也只有一种组成方法。

④当边长为9厘米时，各边分别由1+8、2+7、3+6及9；1＋8、2＋7、4+5及9；2＋7、3＋6、4+5及9；1＋8、3＋6、4＋5及9；1＋8、2+7、3＋6及4＋5共5种组成方法。

⑤当边长为10厘米时，各边分别由1+9、2＋8、3＋7及4＋6组成，也只有一种组成方法。

⑤当边长为11厘米时，各边分别由2+9、3＋8、4＋7及5+6组成，也只有一种组成方法。

⑥将上述各种组成法相加，就是所求问题了。

此题的思路图如下（图2.8）：
问题：
四、还原思路
从叙述事情的最后结果出发利用已知条件，一步步倒着推理，直到解决问题，这种解题思路叫还原思路。

解这类问题，从最后结果往回算，原来加的用减、原来减的用加，原来乘的用除，原来除的用乘。

运用还原思路解题的方法叫“还原法”。

例1 一个数加上2，减去3，乘以4，除以5等于12，你猜这个数是多少？
分析（用还原思路考虑）：
从运算结果12逐步逆推，这个数没除以5时应等于多少？没乘以4时应等于多少？不减去3时应等于多少？不加上2时又是多少？这里分别利用了加与减，乘与除之间的逆运算关系，一步步倒推还原，直找到答案。

其思路图如下（图2.9）：
条件：
例2 李白街上走，提壶去打酒；遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。

试问酒壶中，原有多少酒？
分析（用还原思路探索）：
李白打酒是我国民间自古以来广为流传的一道用打油诗叙述的
著名算题。

题意是：李白提壶上街买酒、喝酒，每次遇到酒店，便将壶中的酒量增添1倍，而每次见到香花，便饮酒作诗，喝酒1斗。

这样他遇店、见花经过3次，便把所有的酒全喝光了。

问：李白的酒壶中原有酒多少？
下面我们运用还原思路，从“三遇店和花，喝光壶中酒”开始推算。

见花前——有1斗酒。

第三次：见花后——壶中酒全喝光。

第三次：遇店前——壶中有酒半斗。

第一次：见花前——壶中有酒为第二次遇店前的再加1斗。

遇店前——壶中有酒为第一次见花前的一半。

其思路图如下
五、假设思路
在自然科学领域内，一些重要的定理、法则、公式等，常常是在“首先提出假设、猜想，然后再进行检验、证实”的过程中建立起来的。

数学解题中，也离不开假设思路，尤其是在解比较复杂的题目时，如能用“假设”的办法去思考，往往比其他思路简捷、方便。

我们把先提出假设、猜想，再进行检验、证实的解题思路，叫假设思路。

例1 中山百货商店，委托运输队包运1000只花瓶，议定每只花瓶运费0.4元，如果损坏一只，不但不给运费，而且还要赔偿损失5.1元。

结果运输队获得运费382.5元。

问：损坏了花瓶多少只？
分析（用假设思路考虑）：
（1）假设在运输过程中没有损坏一个花瓶，那么所得的运费应该是多少？
0.4×1000=400（元）。

（2）而实际只有383.5元，这当中的差额，说明损坏了花瓶，而损坏一只花瓶，不但不给运费，而且还要赔偿损失5.1元，这就是说损坏一只花瓶比不损坏一只花瓶的差额应该是多少元？
0.4＋5.1=5.5（元）
（3）总差额中含有一个5.5元，就损坏了一只花瓶，含有几个5.5元，就是损坏了几只花瓶。

由此便可求得本题的答案。

例2 有100名学生在车站准备乘车去离车站600米的烈士纪念馆搞活动，等最后一人到达纪念馆45分钟以后，再去离纪念馆900米的公园搞活动。

现在有中巴和大巴各一辆，它们的速度分别是每分钟300米和150米，而中巴和大巴分别可乘坐10人和25人，问最后一批学生到达公园最少需要多少时间？
分析（用假设思路思索）；
假设从车站直接经烈士纪念馆到公园，则路程为（600＋900）米。

把在最后1人到达纪念馆后停留45分钟，假设为在公园停留45分钟，则问题将大大简化。

（1）从车站经烈士纪念馆到达公园，中巴、大巴往返一次各要多少时间？
中巴：（600+900）÷300×2=10（分钟）
大巴：（600+900）÷150×2=20（分钟）
（2）中巴和大巴在20分钟内共可运多少人？
中巴每次可坐10人，往返一次要10分钟，故20分钟可运20人。

大巴每次可坐25人，往返一次要20分钟，故20分钟可运25人。

所以在20分钟内中巴、大巴共运45人。

（3）中巴和大巴20分钟可运45人，那么40分钟就可运
45×2=90（人），100人运走90人还剩下10人，还需中巴再花10分钟运一次就够了。

（4）最后可求出最后一批学生到达公园的时间：把运90人所需的时间，运10人所需的时间，和在纪念馆停留的时间相加即可。

六、消去思路
对于要求两个或两个以上未知数的数学题，我们可以想办法将其中一个未知数进行转化，进而消去一个未知数，使数量关系化繁为简，这种思路叫消去思路，运用消去思路解题的方法叫消去法。

二元一次方程组的解法，就是沿着这条思路考虑的。

例1 师徒两人合做一批零件，徒弟做了6小时，师傅做了8小时，一共做了312个零件，徒弟5小时的工作量等于师傅2小时的工作量，师徒每小时各做多少个零件？
分析（用消去思路考虑）：
这里有师、徒每小时各做多少个零件两个未知量。

如果以徒弟每小时工作量为1份，把师傅的工作量用徒弟的工作量来代替，那么师傅8小时的工作量相当于这样的几份呢？很明显，师傅2小时的工作量相当于徒弟5小时的工作量，那么8小时里有几个2小时就是几个5小时工作量，这样就把师傅的工作量换成了徒弟的工作量，题目里就消去了师傅工作量这个未知数；然后再看312个零件里包含了多少个徒弟单位时间里的工作量，就是徒弟应做多少个。

求出了徒弟的工作量，根据题中师博工作量与徒弟工作量的倍数关系，也就能求出师傅的工作量了。

例2 小明买2本练习本、2枝铅笔、2块橡皮，共用0.36元，小军买4本练习本、3枝铅笔、2块橡皮，共用去0.60元，小庆买5
本练习本、4枝铅笔、2块橡皮，共用去0.75元，问练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱？
分析（用消去法思考）：
这里有三个未知数，即练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱？我们要同时求出三个未知数是有困难的。

应该考虑从三个未知数中先去掉两个未知数，只留下一个未知数就好了。

如何消去一个未知数或两个未知数？一般能直接消去的就直接消去，不能直接消去，就通过扩大或缩小若干倍，使它们之间有两个相同的数量，再用加减法即可消去，本题把小明小军、小庆所购买的物品排列如下：
小明2本2枝2块0.36元
小军4本3枝2块0.60元
小庆5本4枝2块0.75元
现在把小明的各数分别除以2，可得到1本练习本、1枝铅笔、1块橡皮共0.18元。

接着用小庆的各数减去小军的各数，得1本练习本、1枝铅笔为0.15元。

再把小明各数除以2所得的各数减去上数，就消去了练习本、铅笔两个未知数，得到1块橡皮0.03元，采用类似的方法可求出练习本和铅笔的单价。

七、转化思路
解题时，如果用一般方法暂时解答不出来，就可以变换一种方式去思考，或改变思考的角度，或转化为另外一种问题，这就是转化思路。

运用转化思路解题就叫转化法。

各养兔多少只？
分析（用转化思路思索）：
题中数量关系比较复杂，两个分率的标准量不同，为了简化数量关系，
只呢？这时两人养的总只数该是多少只呢？假设后的数量关系，两人养的总只数应是：100-16×3=52（只）
分析（用转化思路分析）：
本题求和，题中每个分数的分子都是1，分母是几个连续自然数的和，好像不能把每个分数分成两个分数相减，然后相加抵消一些数。

但是只要我们按等差数列求和公式，求出分母就会发现，可将上面各分数的分母转化为两个连续自然数积的形式。

然后再相加，抵消中间的各个分数即可。

八、类比思路
类比就是从一个问题想到了相似的另一个问题。

例如从等差数列求和公式想到梯形面积公式，从矩形面积公式想到长方体体积公式等等；类比是一个重要的思想方法，也是解题的一种重要思路。

例1 有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，钟敲6下，5秒钟敲完；钟敲12下，几秒敲完？
分析（用类比思路探讨）：
有人会盲目地由倍数关系下结沦，误认为10秒钟敲完，那就完全错了。

其实此题只要运用类比思路，与植树问题联系起来想一想就通了：一条线路植树分成几段（株距），如果不包括两个端点，共需植（n-1）棵树，如果包括两个端点，共需植树（n＋1）棵，把钟点指数看作是一棵棵的树，把敲的时间看作棵距，此题就迎刃而解了。

例2 从时针指向4点开始，再经过多少分钟，时针正好与分钟重合。

分析（用类比思路讨论）：
本题可以与行程问题进行类比。

如图2.11，如果用时针1小时所走的一格作为路程单位，那么本题可以重新叙述为：已知分针与时针相距4格，分
如果分针与时针同时同向出发，问：分针过多少分钟可追上时针？这样就与行程问题中的追及问题相似了。

4为距离差，速度差为，重合的时间，就是追上的时间。

九、分类思路
把一个复杂的问题，依照某种规律，分解成若干个较简单的问题，从而使问题得到解决，这就是分类思路。

这种思路在解决数图形个数问题中经常用到。

例1 如图2.12，共有多少个三角形？
分析（用分类思路考虑）：
这样的图直接去数有多少个三角形，要做到能不重复，又不遗漏，是比较困难的。

怎么办？可以把图中所有三角形按大小分成几类，然
后分类去数，再相加就是总数了。

本题根据条件，可以分为五类（如图2.13）。

例2 如图2.14，象棋棋盘上一只小卒过河后沿着最短的路走到对方“将”处，这小卒有多少种不同的走法？
分析（运用分类思路分析）：
小卒过河后，首先到达A点，因此，题目实际上是问：从A点出发，沿最短路径有多少种走法可以到达“将”处，所谓最短，是指不走回头路。

因为“将”直接相通的是P点和K点，所以要求从A点到“将”处有多少种走法，就必须是求出从A到P和从A到K各有多少种走法。

分类。

一种走法：A到B、C、D、E、F、G都是各有一种走法。

二种走法：从A到H有两种走法。

三种走法：从A到M及从A到I各有三种走法。

其他各类的走法：因为从A到M、到I各有3种走法，所以从A 到N就有3＋3＝6种走法了，因为从A到I有3种走法，从A到D 有1种走法，所以从A到J就有3＋1=4种走法了；P与N、J相邻，而A到N有6种走法，A到J有4种走法，所以从A到P就有6+4=10种走法了；同理K与J、E相邻，而A到J有4种走法，到E有1
种走法，所以A到K就有4+1=5种走法。

再求从A到“将”处共有多少种走法就非常容易了。

十、等量代换思路
有些题的数量关系十分隐蔽，如果用一般的分析推理，难于找出数量之间的内在联系，求出要求的数量。

那么我们就根据已知条件与未知
条件相等的关系，使未知条件转化为已知条件，使隐蔽的数量关系明朗化，促使问题迎刃而解。

这种思路叫等量代换思路。

例1 如图2.15的正方形边长是6厘米，甲三角形是正方形中的一部分，乙三角形的面积比甲三角形大6平方厘米，求CE长多少厘米？
分析（用等量代换思路思考）：
按一般思路，要求CE的长，必须知道乙三角形的面积和高，而这两个条件都不知道，似乎无法入手。

用等量代换思路，我们可以求出三角形ABE的面积，从而求出CE的长，怎样求这个三角形的面积呢？设梯形为丙：
已知乙=甲+6
丙+甲=6×6=36
用甲+6代换乙，可得丙+乙=丙+甲+6=36+6=42
即三角形ABE的面积等于42平方厘米，这样，再来求CE的长就简单了。

例2 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑白两色棋子。

第一
这三堆棋子集中一起，问白子占全部棋子的几分之几？
分析（用等量代换的思路来探讨）：
这道题数量关系比较复杂，如果我们把第一堆里的黑子和第二堆的白子对换一下，那么这个问题就简单多了。

出现了下面这个等式。

第一堆（全部是白子）=第二堆（全部是黑子）
=第三堆（白子+黑子）（这里指的棋子数）
份，则第二堆（全部黑子）为3份，这样就出现了每堆棋子为3份，3堆棋子的总份数自然就出来了。

而第三堆黑子占了2份，白子自然就只有3—2=1份了。

第一堆换成了全部白子，所以白子总共是几份也可求出。

最后去解决白子占全部棋子的几分之几就非常容易了。

十一、对应思路
分数、百分数应用题的特点是一个数量对应着一个分率，也就是一个数量相当于单位“1”的几分之几，这种关系叫做对应关系。

找对应关系的思路，我们把它叫做对应思路。

例1 有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是91公亩，麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是84公亩，那么，菜地是几公亩？
分析（用对应思路分析）：
这是一道复杂的分数应用题，我们不妨用对应思路去思索。

如能找出91公亩、84公亩的对应分率，此题就比较容易解决了。

但题中有对应分率两个，究竟相当于总公亩数的几分之几呢？这是解题的关键。

而我们一时还弄不清楚，现将条件排列起来寻找。

求出总公亩数后，我们仍未找到菜地或麦地占总公亩数的几分之几，故还不能直接求出菜地或麦地的公亩数。

但我们把条件稍作组合，就可以求出
分析到这一步，那么再去求菜地有多少公亩，则就变成了一道很简单的分数应用题了。

例2 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时，要排完一池水，单开乙管
顺序，循环各开水管，每次每管开一小时，问多少时间后水开始溢出水池？
分析（用对应思路考虑）：
本题数量关系复杂，但仍属分数应用题，所以仍可用对应思路寻找解题途径。

首先要找出甲、丙两管每小时灌水相当于一池水的几分之几，乙、丁两管每小时排水相当于一池水的几分之几，然后才能计算。

通过转化找到了对应分率就容易计算了。

假设甲、乙、丙、丁四个水管按顺序各开1小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的：
也就是20小时以后，池内有水。