函数临界点的计算及其类型的判断

2 f ( x0 ) ( i , j 1,2, n) x i x j
都存在且连续，
则函数f在点x0处二阶可导，并且称矩阵
2 f ( x0 ) x12 2 f ( x0 ) 2 D f ( x0 ) x x 2 1 2 f ( x0 ) xn x1 2 f ( x0 ) 2 f ( x0 ) x1x2 x1xn 2 f ( x0 ) 2 f ( x0 ) 2 x2 x2 xn 2 f ( x0 ) 2 f ( x0 ) 2 xn x2 xn
函数临界点的计算及其类型的判断
判断下列函数临界点的类型 f(x,y)=x 3+y 3-3xy
分析：首先计算函数的临界点，即一阶导数 的零点，然后通过函数在临界点处的二阶导
数，即Hesse矩阵，的特征值的正负性判断
临界点的类型。

定理：设 f : R n R1 , x0 R n ,如果f在点x0处对于自变量x的各分量 的二阶偏导数
为f在点x0处的Hessian矩阵。
如果在函数的临界点Hessian矩阵是正定(负定)的，即所有特征值大
(小)于零，则该临界点为函数的极小(大)值点；如果既有正的又有负 的特征值，则该临界点为鞍点；否则，仅凭函数的二阶导数无法确定
该临界点的性质。
给定二阶导数连续的函数f(x,y)，对于f的临界点(x0,y0)，只
凭函数的一阶导数不能判断它是鞍点、局部极大值点还是局 部极小值点。而结合函数的Hessian矩阵行列式H(det(He))，
可以判断f的临界点是属于鞍点还是极值点。
1) H>0：若
2 f ( x0 ) 0 x 2
则(x0,y0)是局部极小值点；
2 f ( x0 ) 若 x 2 0 则(x0,y0)是局部极大值点。

[X,Y]=meshgrid(-1:0.2:2); %生成网格点 Z=X.^3+Y.^3-3.*X.*Y; surf(X,Y,Z);%作曲面图ห้องสมุดไป่ตู้由图像也可以大致判断 (0,0)点为函数的鞍点 (1,1)点为函数的极小值点

15 10 5 0 -5 2 1 0 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
2) H<0：则(x0,y0)是鞍点。 3) H=0：则二阶导数无法判断该临界点的性质，需要从更高
阶的导数用泰勒公式考虑。
解：输入命令 syms x y %定义符号变量 f=x^3+y^3-3*x*y;%给定函数f Ja= jacobian(f,[x,y]) %计算f的Jacobi矩阵，即f的导数
2
-1

如何利用Matlab，给出课本292页例题的答案？
作业 习题9.3.2中临界点类型判别(2)、(4)、(6)、(8)
（梯度） Ja = [ 3*x^2 - 3*y, 3*y^2 - 3*x]

He=jacobian(jacobian(f,[x,y]),[x,y]) %f的Hessian矩
阵，即f的二阶导数 He = [ 6*x, -3] [ -3, 6*y]
[x0,y0]=solve(Ja);%计算临界点 x0 = 0 1 - 1/2 + (3^(1/2)*i)/2 - 1/2 - (3^(1/2)*i)/2 y0 = 0 1 - 1/2 - (3^(1/2)*i)/2 - 1/2 + (3^(1/2)*i)/2 H1=subs(He,{x,y},{0,0}) H2=subs(He,{x,y},{1,1}) eig(H1) % 得到特征值 -3 3 eig(H2) % 得到特征值 3 9 结论：f的临界点(0,0)是鞍点，(1,1)是极小值点。