近世代数习题解答张禾瑞三章

近世代数习题解答

第三章 环与域

1 加群、环的定义

1. 证明,本节内所给的加群的一个子集作成一个子群的条件是充分而且必要的.

证 (ⅰ)若S 是一个子群

则S b a S b a ∈+⇒∈,

'0是S 的零元,即a a =+'0

对G 的零元,000'=∴=+a a

即.00S a a s ∈-=-∴∈

(ⅱ)若S b a S b a ∈+⇒∈,

今证S 是子群

由S S b a S b a ,,∈+⇒∈对加法是闭的,适合结合律,

由S a S a ∈-⇒∈,而且得S a a ∈=-0

再证另一个充要条件:

若S 是子群,S b a S b a S b a ∈-⇒∈-⇒∈,,

反之S a a S a a S a ∈-=-⇒∈=-⇒∈00

故S b a b a S b a ∈+=--⇒∈)(,

2. },,,0{c b a R =,加法和乘法由以下两个表给定:

+ 0 a b c 0 a b c

0 a b c 0 0 0 0 0 a

a 0 c

b a 0 0 0 0 b

b c 0 a b 0 a b c c c b a 0 c 0 a b c

证明,R 作成一个环

证 R 对加法和乘法的闭的.

对加法来说,由.9.2习题6,R 和阶是4的非循环群同构,且为交换群. 乘法适合结合律Z xy yz x )()(=

事实上.

当0=x 或a x =,)(A 的两端显然均为0.

当b x =或x=c,)(A 的两端显然均为yz .

这已讨论了所有的可能性,故乘法适合结合律.

两个分配律都成立xz xy z y x +=+)(

事实上,第一个分配律的成立和适合律的讨论完全一样,

只看0=x 或a x =以及b x =或c x =就可以了.

至于第二个分配律的成立的验证,由于加法适合交换律,故可看

0=y 或a y = (可省略a z z ==,0的情形)的情形,此时两端均为zx

剩下的情形就只有

∴R 作成一个环.

2 交换律、单位元、零因子、整环

1. 证明二项式定理

在交换环中成立.

证 用数学归纳法证明.

当1=n 时,显然成立.

假定k n =时是成立的:

看1+=k n 的情形)()(b a b a k ++

(因为)()()(11k r k r k

r -++=)

即二项式定理在交换环中成立.

2. 假定一个环R 对于加法来说作成一个循环群,证明R 是交换环.

证 设a 是生成元

则R 的元可以写成

na (n 整数)

3．证明,对于有单位元的环来说,加法适合交换律是环定义里其他

条件的结果 (利用)11)((++b a )

证 单位元是1,b a , 是环的任意二元,

4．找一个我们还没有提到过的有零因子的环.

证 令R 是阶为2的循环加群

规定乘法:R b a ∈,而0=ab

则R 显然为环.

Θ 阶为2 ∴有R a ∈ 而 0≠a

但 0=aa 即a 为零因子

或者R 为n n ⨯矩阵环.

5．证明由所有实数2b a + (b a ,整数)作成的集合对于普通加法和乘法来说 是一个整环.

证 令2{b a R +=b a ,(整数)}

(ⅰ) R 是加群2)()()2()2(d b c a d c b a +++=+++

适合结合律,交换律自不待言.零元 200+

2b a +的负元2b a --

(ⅱ)2)()2()2)(2(bc ad bd ac d c b a +++=++

乘法适合结合律,交换律，并满足分配律.

(ⅲ)单位元 201+

(ⅲ) R 没有零因子，任二实数00=⇒=a ab 或0=b

3 除、环、域

1. =F {所有复数bi a + b a ,是有理数}

证明 =F 对于普通加法和乘法来说是一个域.

证 和上节习题5同样方法可证得F 是一个整环.

并且 (ⅰ)F 有01≠+i

(ⅱ) 0≠+bi a 即 b a , 中至少一个0≠

022≠+∴b a 因而有, i b a b b a a 2222+-++ 使)((bi a +i b a b b a a 2222+-++1)= 故F 为域

2. =F {所有实数,3b a + b a ,( 是有理数)}

证明 F 对于普通加法和乘法来说是一个域.

证 只证明 03≠+b a 有逆元存在.则b a ,中至少有一个0≠ , 我们说0322≠-b a

不然的话,223b a =

Θ,0(≠b 若0=b 则 0=a 矛盾) 22

3b a = 但 3 不是有理数 既然0322≠-b a 则 3b a + 的逆为3332222b a b b a a -+- 4. 证明 例3的乘法适合结合律.

证),)](,)(,[(332211βαβαβα

又 )],)(,)[(,(332211βαβαβα

----------------

-+--=)()([3232132321αββαβββααα,

5. 验证,四元数除环的任意元 )(),(di c bi a ++ ,这里d c b a ,,,是实数,可以写成 ),0)(0,()1,0)(0,()0,)(0,()0,(i d c i b a +++的形式.

证 ),(),(),(di bi c a di c bi a +=++

4 无零因子环的特征

1. 假定F 是一个有四个元的域,证明.

(a )的特征是2;

(b )F 的0≠ 或11的两个元都适合方程

证 (a ) 设F 的特征为P

则P 的(加)群F 的非零元的阶

所 4P (4是群F 的阶)

但要求P 是素数, .2=∴P