2013届高考数学第一轮专题复习测试卷第十五讲 导数的应用

第十五讲 导数的应用

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13

x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )

A ．13万件

B ．11万件

C ．9万件

D ．7万件

解析：因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当x ∈(0,9)时，y ′>0，所以函数y ＝－13

x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．

答案：C

2．(2011·荆州质检题)函数f (x )＝ax 3

－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a 的取值为( )

A ．[2，＋∞)

B ．[4，＋∞)

C ．{4}

D ．[2,4] 解析：f ′(x )＝3ax 2－3，当a ≤0时，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；

当0

，f (x )在[－1,1]上为减函数，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；当a >1时，f (－1)＝－a ＋4≥0且f ⎝⎛

⎭⎫1a ＝－2a ＋1≥0，解得a ＝4.综上所述，a ＝4，故选C.

答案：C

3．设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a

A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )

B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )

C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )

D ．f (x )g (x )>f (b )g (a )

解析：令y ＝f (x )·g (x )，

则y ′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )，

由于f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，

所以y 在R 上单调递减，

又x f (b )g (b )．

答案：C

4．函数f (x )＝12

e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤12，12e π2

B.⎝⎛⎭⎫12，12e π2

C.⎣⎡⎦⎤1，e π2

D.⎝⎛⎭

⎫1，e π2 解析：f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12

e x (cos x －sin x )＝e x cos x ， 当0≤x ≤π2时，

f ′(x )≥0，且只有在x ＝π2

时f ′(x )＝0， ∴f (x )是⎣⎡⎦⎤0，π2上的增函数，

∴f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝12e π2

， f (x )的最小值为f (0)＝12

. ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为⎣⎡⎦

⎤12，12e π2.故应选A. 答案：A

5．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0,1)上单调，则实数a 的取值范围是( )

A ．a ≥0

B ．a <－4

C ．a ≥0或a ≤－4

D ．a >0或a <－4

解析：∵f ′(x )＝2x ＋2＋a x

，f (x )在(0,1)上单调， ∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)上恒成立，

即2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在(0,1)上恒成立，

所以a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．

记g (x )＝－(2x 2＋2x ),0

∴a ≥0或a ≤－4，故选C.

答案：C

6．(2010·江西)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)＝0)，则导函数y ＝S ′(t )的图象大致为( )

解析：由导数的定义知，S ′(t 0)表示面积函数S (t 0)在t 0时刻的瞬时变化率．

如图，正五角星薄片中首先露出水面的区域I ，此时其面积S (t )在逐渐增大，且增长速度越来越快，故其瞬时变化率S ′(t )也应逐渐增大；当露出的是区域Ⅱ时，此时的S (t )应突然增大，然后增大速度减慢，但仍为增函数，故其瞬时变化率S ′(t )也随之突然变大，再逐渐变小，但S ′(t )>0(故可排除B)；当五角星薄片全部露出水面后，S (t )的值不再变化，故其导数值S ′(t )最终应等于0，符合上述特征的只有选项A.

答案：A

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．函数f (x )＝x ＋9x

的单调区间为________． 解析：f ′(x )＝1－9x 2＝x 2－9x 2， 令f ′(x )<0，

解得－3