线性代数知识点总结第一章

线性代数知识点总结

第一章 行列式

第一节:二阶与三阶行列式

把表达式11221221a a a a -称为

1112

2122

a a a a 所确定的二阶行列式,并记作

1112

2112

a a a a ,

即1112

112212212122

.a a D a a a a a a =

=-结果为一个数。

同理,把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数表

111213

21222331

32

33a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式,记作1112

13

2122

23313233

a a a a a a a a a 。 即111213

2122

23313233

a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- 二三阶行列式的计算:对角线法则

注意:对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。 利用行列式计算二元方程组与三元方程组:

对二元方程组1111221

2112222

a x a x

b a x a x b +=⎧⎨

+=⎩

设1112

2122

a a D a a =

≠11212

22

b a D b a =

111

2212

.a b D a b =

则1122221111122122

b a b a D

x a a D

a a ==

,

11

1

2122

211122122

.a b a b D x a a D

a a =

= 对三元方程组111122133121122223323113223333

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩,

设11

1213

21

222331

32

33

0a a a D a a a a a a =≠,

1

121312

22233

3233b a a D b a a b a a =,1111322122331333a b a D a b a a b a =,11

12

132122231

323

a a

b D a a b a a b =, 则11D x D =

,22D

x D =,33D x D

=。(课本上没有) 注意:以上规律还能推广到n 元线性方程组的求解上。

第二节:全排列及其逆序数

全排列:把n 个不同的元素排成一列,叫做这n 个元素的全排列(或排列)。

n 个不同的元素的所有排列的总数,通常用P n (或A n )表示。(课本P5)

逆序及逆序数:在一个排列中,如果两个数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么称它们构成一个逆序,一个排列中,逆序的总数称为这个排列的逆序数。

排列的奇偶性:逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列。(课本P5) 计算排列逆序数的方法:

方法一:分别计算出排在1,2,,1,n n -L 前面比它大的数码之与即分别算出1,2,,1,n n -L 这n 个元素的逆序数,这个元素的逆序数的总与即为所求排列的逆序数。

方法二:分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之与,即算出排列中每个元素的逆序数,这每个元素的逆序数之总与即为所求排列的逆序数。(课本上没有)

第三节:n 阶行列式的定义

定义:n 阶行列式11

1212122212=

L L M M O M L

n

n

n n nn

a a a a a a D a a a 等于所有取自不同行、不同列的n 个元素的乘积 1212n p p np a a a L 的代数与,其中p 1 p 2 … p n 就是1, 2, … ,n 的一个排列,每一项的符号由其逆序数

决定。()()

11

12112222112211220100n

t n n nn nn nn

a a a a a D a a a a a a a =

=-=L L L L L M M O M L

也可简记为()det ij a ,其中ij a 为行列式D 的(i,j 元)。

根据定义,有()()

12121211

1212122212121=

=-∑L L L L L M M O M L

n n n n

t p p p n p p np p p p n n nn

a a a a a a D a a a a a a 说明:

1、行列式就是一种特定的算式,它就是根据求解方程个数与未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;

2、n 阶行列式就是!n 项的代数与;

3、n 阶行列式的每项都就是位于不同行、不同列n 个元素的乘积;