弹性力学概念题

1. 基本任务及对象：研究由于受外力、边界约束或温度改变等原因，在弹性体

内部所产生的力、形变和位移及其分布情况等。对象是完全弹性体，包括杆件、板和三维弹性体。

2. 弹性力学基本方法：差分法、变分法、有限元法、实验法.

3. 简述弹性力学的研究方法。答：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和

物理学三方面条件，分别建立三套方程。即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。此外，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。

4. 几何方程反映的是形变分量与位移分量之间的关系。物理方程反映的是应力

分量与形变分量之间的关系。平衡微分方程反映的是应力分量与体力分量之间的关系。

5. 基本假定：连续性（应力、应变和位移等物理量就可用坐标的连续函数来表

示）、完全弹性（使物理方程成为线性的方程）、均匀性（弹性常数（如弹性模量E 和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化）、各向同性（物理性质在各个方向上都是相同的，物体的弹性常数也不随方向变化）、小变形假定（平衡问题不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算，研究变形和位移时可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程）

6. 平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的

作用面平行于xy 平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量x σ,y σ,xy τ存在，且仅为x,y 的函数。变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿z 轴无变化，只有平面应变分量x ε,y ε,xy γ存在，且仅为x,y 的函数。

7. 圣维南原理； 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静

力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。.意义：简化局部边界上的应力边界条件（作用：1，将次要边界上复杂的面力作分布的面力代替；2，将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。）

8. 逆解法步骤：先假设一满足相容方程的应力函数（2）根据应力函数求得应

力分量（3）有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主要边界上的面力边界条件或次要边界上的积分边界条件, 分析这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决什么样的问题。（或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表达式中的待定系数）

9. 半逆解法步骤：对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特

征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部 分或全部应力分量的函数形式(2)由应力推出应力函数f 的一般形式（含待定函数项）；(3)将应力函数f 代入相容方程进行校核，进而求得应力函数f 的具体表达形式；(4)由应力函数求得应力分量(5)根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足.

10. 最小势能原理？如何根据最小势能原理推导出有限单元法的基本方程？最

小势能原理：在所有满足边界条件的位移中，使结构体总是能为最小的位移，就是满足平衡条件的真实位移。根据上述原理，把节点位移视为自变量，按照求极值的法则可得到有线单元法的基本方程。

11. 什么是应力边界条件？位移边界条件？混合边界条件？ 体表面上可能全

部地给定应力，称应力边界条件；或全部地给定位移，称为位移边界条件；也可能在部分边界上给定应力，部分边界上给定位移，称混合边界条件。 12. 什么是按照应力求解和按照位移求解？求解方法和过程有哪些区别？位移

法是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，解出位移分量，然后再求形变分量和应力分量。要使得位移分量在区域里满足微分方程，并在边界上满足位移边界条件或应力边界条件。。。法是以应力分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移分量和形变分量，导出只含应力分量的方程和边界条件，解出应力分量，然后再求出形变分量和位移分量。满足区域里的平衡微分方程，区域里的相容方程，在边界上的应力边界条件，其中假设只求解全部为应力边界条件的问题。

13. .相容方程？相容方程的物理意义是什么？ð4ϕðx 4+2ð4ϕðx 2ðy 2+ð4ϕ

ðy

4=0 意义：

应力不能任取，不满足相容方程，则解答不正确，及弹性力学不解决破坏问题。

14. 应力函数？双谐方程？如何推导出双谐方程？试写出双谐方程的数学表达

式。σx =ð2ϕðy 2−ƒx x, σy =ð2ϕðx

2−ƒy y, τxy =−ð2ϕ

ðxðy 称为平面问题的应力函数。 ð4ϕðx 4+2ð4ϕðx 2ðy 2+ð4

ϕðy 4=0 是用应力函数表示的相容方程，也称双谐方程；根据应力函数应满足的条件推导得出。

15. 轴对称；在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外

力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题

16. 常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数Φ求解，应

力函数Φ必须满足哪些条件？答：（1）相容方程：04

=Φ∇（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，σs s =）：()()()

上在στστσs s f l m

f m l y s xy y x s yx x =⎪⎩⎪⎨⎧=+=+（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。 17. 有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进

行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分

18. 以三节点三角形单元为例，简述有限单元法求解离散化结构的具体步骤。角

形单元的结点位移为基本未知量。应用插值公式，由单元的结点位移求出单元的位移函数。应用几何方程，由单元的位移函数求出单元的应变。应用物理方程，由单元的应变求出单元的应力。应用虚功方程，由单元的应力出单元的结点力。应用虚功方程，将单元中的各种外力荷载向结点移置，求出单元的结点荷载。列出各结点的平衡方程，组成整个结构的平衡方程组。 19. 为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件？答：为了保

证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足下列条件：（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移；（2）位移模式必须能反映单元的常量应变；（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。 20. 在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的刚体位移？每个单

元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是本单元的形变无关的，即刚体位移，它是由于其他单元发生了形变而连带引起的。甚至在弹性体的某些部位，例如在靠近悬臂梁的自由端处，单元的形变很小，单元的位移主要是由于其他单元发生形变而引起的刚体位移。因此，为了正确反映单元的位移形态，位移模式必须能反映该单元的刚体位移。