保角变换法资料重点

二、儒可夫斯基变换
变换函数
z c2
式中：c —— 正、实常数。
1.4.P5
（一）变换特点
1） 平面上无穷远点和原点都变换成 z 平面
上的无穷远点。
2） 平面上圆心在坐标原点，半径为 c 的圆
周变换成 z 平面上实轴上长为 4c 的线段。
3） 平面上圆心位于坐标原点，半径 a>c的
圆变换为 z 平面上长半轴为a+c2/a（位于实轴）， 短半轴为 a－c2/a 的椭圆。
y
b2 4
b2
1
16
f
2
x2
b2
8f
0.385t
1
2x b
1
2x b
2
1.4.P18
平面上的复位势为
W
mei
ei
a2 mei
ei
i 2
ln
mei a
由此式可得W(z)。
其环量为
b
1
0.77
t b
sin
2f b
升力系数为
Cl
2
1
0.77
t b
sin
环量为 4
c
1
sin
变换到 z 平面上环量为
b
1
0.77
t
bsin
得对称翼型上的升力
L
2b
1
0.77
t
b sin
1.4.P14
升力系数 Cl 2 1 0.77t bsin
与平板绕流相比，Cl 增大了。 （五）圆弧翼型绕流
平面上圆心在虚轴
上，距原点 m c，
且过 c 两点的圆，
（二）库塔 —— 恰布雷金假设 库塔 —— 恰布雷金假设：绕流过带尖锐后缘的 物体时，其后缘必定是后驻点。 （三）平板绕流 1、无环量绕流
1.4.P8
如图示， 平面上有
W
ei
c2
ei
则 z 平面上有
W(z)
zei
i 2 sin
z
2
z 2
2
c2
其驻点为
xA,B 2c cos ， yA,B 0
1.4.P1
第四节 保角变换法、
儒可夫斯基变换
一、保角变换法求解平面势流
可以利用解析的复变函数 z f ( ) 将 平面上
的圆域变换为 z 平面上的实用域，如图。
y Z
Cz
C
o vz z
x
o
v
复平面的保角变换
其流动可作相应变换以求解。
1.4.P2
（一）复位势在保角变换中的变化
平面具有边 C 的平面势流，其
可变换为 z 平面上的
圆弧，如图，方程为
x2
y
c2 m
2
c2
4
c2 m2
1.4.P15
弦长为 b=4c ，顶点 f=2m。
在 z 平面上，以 b 和 f 表示其方程为
y b2 8f
b2 4
1
b2 16 f
2
x2
在 平面上有
W
im ei
a2 ei im
i 2
z 2
2
c2
c
平板升力为 升力系数为
L 2bsin
Cl 2 sin
1.4.P11
（四）对称翼型（儒可夫斯基舵）绕流
平面上，圆心在横轴上原点左面，离原点
m<<c ，过 c 的圆 ，经变换后得 z 平面上 的对称翼型。
1.4.P12
其参数方程为
x 2ccos , y 2c 1 cos sin
曲线方程为
y
2c
1
x 2c
1
x 2c
2
二式中
—— 见图示 m c 1
翼型表面方程也可记为
y
0.385t
1
2
x b
1
2
x b
2
式中t 2 ymax
式中b —— 弦长
1.4.P13
对于 平面绕圆流动有复位势
W
m ei
a2 ei m
i 2
ln
m a
可由此求得 W z。
1.4.P9
2、有环量绕流
如图示为实际的有环量绕流。其环量为
4 c sin
平面上的复位势为
W ( )
ei
c2
ei
i2
c sin ln
c
1.4.P10
可得 z 平面上的复位势
W(z)
z 2
z 2 2
c2
ei
z
2
c2ei
(z 2)2 c2
z
i2c sin ln 2
ln
im a
可由此求取W(z)。其环量为
b sin
d2 f b
1.4.P16
圆弧翼型升力为
L
2b
x
sin
d
2f b
升力系数
Cl
2 sin
2f b
（六）儒可夫斯基翼型绕流
图示 平面上圆心在二象限的圆，变换后得 z 平面上的儒可夫斯基翼型。
1.4.P17
此变换可看成是前述变换的叠加。其曲线方程为
界
W ( ) (,) i (,)
可通过复变函数
z f ( )
变换为 z Βιβλιοθήκη Baidu面上，具有边界 Cz 的
W (z) (x, y) i (x, y)
可以证明，W(z)的实部和虚部均满足拉普拉氏 方程。
1.4.P3
（二）复速度在保角变换时的变化
平面上的复速度
V ( )
dW
d
dW dz
dz
d
V
如来流成a角（图示），则 平面上绕流复位势
W ( ) ( ei a2 ei )
1.4.P6
可变换得 z 平面上绕流复位势为
W(z)
zei
a2 c
ei
ei
z 2
z 2
2
c
2
其后驻点为
X A,B
a
c2 a
cos
YA,B
a
c2 a
sin
1.4.P7
(z)
dz
d
或 V ( ) dz e V iargtan(dz d ) z
d
若 平面上来流复速度为
V ( )
ei
则 z 平面上来流复速度为
V (z)( dz
d
)
ei
1.4.P4
（三）流动奇点强度在保角变换中的变化
作保角变换时，二平面上的点涡、点源强度有
关系
z
qz q
即奇点强度保持不变。
2f b
可见，增大翼型厚度和弯度与增大攻角一样，可
使 Cl 增大，但应有限制。