数学--传染病模型

实验：传染病模型 Si 模型 问题

建立基于以下两个假设的模型，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。 一、模型假设

（1）不考虑人口的出生、死亡流动等群动力因素。人口始终保持一个常数N 。人群分为易感染者和已感染者，t 时刻这两类人在总人口所占比例分别记作

i(t)

s(t),

（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。设每个病人每天有

效接触的平均的人数为β，当易感染者与病人接触时就会变成病人。 二、建立模型

根据假设，每个病人可以使()s t β个健康人染病，因为病人数为()Ni t ，所以每天共有()()s t Ni t β 于是得

Nsi dt

di

N

β= 又因为

1)()(=+t i t s

再记初始时刻（0=t ）的病人比例为0i ，则

0)0(),1(**i i i i dt di

=-=β

解得

*0

1()1

1(

1)*t

i t e i β-=

+-

三、求解平衡点 0)1(**=-=i i dt

di

β，得平衡点1,021==i i 设)1(**)(i i i F -=β 易得 0)'1(,0)'0(<-==βF F 故01=i 不稳定，12=i 稳定

四、模型求解

Xt表示t时刻病人数，x0表示初始病人数，a表示日接触率

>> syms Xt x t x0 a

>> [Xt]=dsolve('Dx-a*x*(1-x)','x(0)=x0')

Xt =

1/(1-exp(-a*t)*(-1+x0)/x0) %求出Xt的符号表达

设a=5，x0=0.01则

>> a=5;x0=0.01;Xt=1/(1-exp(-a*t)*(-1+x0)/x0)

Xt =

1/(1+99*exp(-5*t)) %求出Xt的解析解

>> fplot('1/(1+99*exp(-5*t))',[0,2]) %做出Xt的图像

Xt的图像

Sis模型

问题

建立基于以下三个假设的模型，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。

一、模型假设

（1）不考虑人口的出生、死亡流动等群动力因素。人口始终保持一个常数N。人群分为易感染者和已感染者，t时刻这两类人在总人口所占比例分别记作

s(t),i(t)

（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。设每个病人每天

有效接触的平均的人数为β，当易感染者与病人接触时就会变成病人。

（3）每天被治愈的病人占总人口的比例为μ，病人治愈后成为仍可以被感染

的健康者。

二、模型建立

由si 模型再结合假设（3）得sis 应为

di

N

Nsi Ni dt

βμ=- 再记初始时刻（0=t ）的病人比例为0i ，则

di

si i dt

βμ=-，0（0）=i i 为了简化模型设/σβμ=，由,1/βμ的实际意义易知σ是整个传染期每个病人有效接触的平均人数。利用/σβμ=模型可以写作

1(1)di

i i dt

βσ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦

三、求解平衡点 由

0di

dt

=得平衡点 0i =，1

1i σ

=-

四、模型求解

我们不去求模型的解，而是通过图形分析()i t 的变化规律 当1σ>，建立m 函数如下 function di=sis2(t,i) a=6;b=2;

di=-a*i*(i-(1-1/b))

>> ts=0:0.01:2;

>> i0=[0.09]; %此时 011/i σ<- >> [t,i1]=ode45('sis2',ts,i0);[t,i1] >> ts=0:0.01:2;

>> i0=[0.8]; %此时011/i σ>- >> [t,i2]=ode45('sis2',ts,i0);[t,i2]

>> plot(t,i1,t,i2) %做出不同初值的模型图像

σ>）

i t图像（1

σ≤，建立m函数如下

当1

function di=sis1(t,i)

a=6;b=1/2;

di=-a*i*(i-(1-1/b))

>> ts=0:0.01:2;

>> i0=[0.8];

>> [t,i]=ode45('sis1',ts,i0);[t,i]

>> plot(t,i)

σ≤）

i t图像（1

Sir模型

问题

建立基于以下三个假设的模型，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。

一、模型假设

（1）不考虑人口的出生、死亡流动等群动力因素。人口始终保持一个常数N 。人群分为易感染者、已感染者和获免疫的移出者，t 时刻这三类人在总人口所占比例分别记作s(t),i(t),r(t)。

（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。设每个病人每天有效接触的平均的人数为β，当易感染者与病人接触时就会变成病人。 （3）每天被治愈的病人占总人口的比例为μ，病人治愈后成为具有免疫的健康者。

二、模型建立

由假设（1）显然有

s(t)+i(t)+r(t)=1

根据假设以及sis 模型中di

si i dt βμ=-依然成立。对于治获得免疫的移出者

有

dr

N

Ni dt

μ= 不妨设初始值

000s(0)=s ,i(0)=i ,r =0

Sir 模型可以写作

0di

,(0)dt

si i i i βμ=-= 0ds

,(0)dt si s s β=-=

三、模型求解

由于sir 模型方程无法求出解析解，我们进行数值计算 不妨设=2,=0.4,s(0)=0.96,i(0)=0.04βμ 建立m 函数如下

function y=sir(t,x) a=2;b=0.4;

y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]'; >> ts=0:0.01:20; >> x0=[0.04,0.96];

>> [t,x]=ode45('sir',ts,x0);[t,x] >> plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid >> plot(x(:,2),x(:,1)),grid