本科学生设计性实验报告(样本)

本科学生设计性实验报告
项目组长华南虎＿学号＿007（写全）
成员华北虎华东虎胡戈
专业信息与计算科学专业班级07信本1班实验项目名称＿案例分析——蒲丰投针问题
指导教师及职称＿曹慧荣＿副教授＿＿
开课学期 2013至＿2014 学年＿一＿学期
上课时间2013 年 11 月 14 日
案例分析——蒲丰投针问题
一、摘要
法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。

本实验给出了蒲丰投针实验matlab实现，并且在此基础上给出圆周率matlab的近似计算。

二、实验目的及要求
选择一个典型的问题，进行数学模型的建立及数学理论分析，给出matlab程序的实现。

三、实验仪器设备
计算机4台
四、实验方案设计
（一）原理描述
1．蒲丰投针问题
1777年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。

这一方法的步骤是：
step1：取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线；
step2：取一根长度为l（l<d）的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m；
step3：计算针与直线相交的频率。

18世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为d的平行线，将一根长度为l（l<d）的针任意掷在这个平面上，球此针与平行线中任一条相交的频率。

”
布丰本人证明了，这个概率是p=2l/(πd) （π为圆周率）。

利用这个公式可以用概率的方法得到圆周率的近似值。

2．流程图
根据以上分析，下面给出计算圆周率的近似值的流程图：
（二）实验过程设计
step1：理解蒲丰投针问题；
step2：给出圆周率近似计算的公式；
step3：利用matlab 模拟蒲丰投针问题。

确定近似计算过程中涉及的变量；两个随机变量的产生方法：给出针的中点到最近平行线的距离d 、针与线相交的角度的产生方法。

step4：给出针与线相交的频率。

step5：估计圆周率的值。

（三）实验观测点、观测指标与假设条件
本实验的主要观测点及观测指标是：针长与平行线相交的次数及频率的计算。

本实验的假设条件：针长小于平行线的距离。

五、实验内容及步骤
（一）实验调试步骤
1、蒲丰投针问题中圆周率π 值的估计
在画有许多间距为 d 的等距平行线的白纸上，随机投掷一根长为 l ( l ≤ d ) 的均匀直针，求针与平行线相交的概率，并计算的 π 值。

设针与平行线的夹角为)0(παα≤≤，针的中心与最近直线的距离为
)2/0(d x x ≤≤，则针与平行线相交的充要条件为αsin 2
l x ≤。

利用几何概率所以针与平行线相交的概率为
2、蒲丰投针问题的matlab 实现
根据以上分析给出蒲丰投针问题的matlab 实现。

在matlab7.0中，建立以下脚本文件
n=100000;% 总的试验次数
l=1; % 针的长度
d=2; % 平行线间的距离
m=0; % 针与线相交次数的初始值
for k = l : n %循环n 次
x = d/2*rand; % 随机投针，针的中点与离最近平行线间的距离
phi = pi*rand; % 随机产生针与平行线间的交角0<=phi<=pi
if x < 0.5*l*sin(phi)
m = m + 1;
end
end
p=m/n;
3、圆周率值的估计
由蒲丰投针问题，给出的相交频率p,估计圆周率的值，在上边的matlab 脚本文件中加入命令
pi_m=2*l/(p*d)
运行，即得结果．
当实验总次数越大时，越接近真值。

N=1000:200:100000;
chang=length(N);
PI=zeros(1,chang);
for j=1:chang
n=N(j);% 总的试验次数
l=1; % 针的长度
d=2; % 平行线间的距离
m=0; % 针与线相交次数的初始值
for k = 1 : n %循环n次
x = d/2*rand; % 随机投针，针的中点与离最近平行线间的距离
phi = pi*rand; % 随机产生针与平行线间的交角0<=phi<=pi
if x < 0.5*l*sin(phi)
m = m + 1;
end
end
p=m/n;
pi_m=2*l/(p*d);
PI(j)=pi_m;
end
t=1:length(PI);
plot(t,pi*ones(size(t)),'r','linewidth',2);
hold on
plot(PI,'*');
hold off
legend('真值','估计值')
（二）实验调试过程中存在的问题及解决方法
1、在实验中存在以下问题
问题1：随机投针，针的中点与离最近平行线间的距离的产生方法。

问题2：随机产生针与平行线间的交角。

问题3：针与线相交次数的累计。

2、解决问题的思路及办法
问题1的解决方法：因为针的中点与离最近平行线间的距离x在区间[0,d/2]上随机取值，并且是均匀地随机取值方法，所以利用matlab
命令 d/2*rand产生区间[0,d/2]上一个均匀随机数。

问题2的解决方法：因为每次投针实验时，针与平行线间的交角是一个[0,pi]的随机角度，所以利用matlab命令 pi*rand产生区间[0,pi]
上一个均匀随机数。

问题3：针与线相交次数的累计的解决方法：利用if语句判断是否针与线相交，若满足则进行累计，不满足时则不累计，进入for循环。

六、结果与讨论
通过蒲丰投针给出了圆周率pi值的估计，并且给出了matlab代码，其中的实验总次数可以更改，当实验总次数越大时给出的圆周率pi值越接近真值。

在仿真过程中，随机产生针与平行线的角度时，由于matlab中角的单位默认是弧度，所以程序中出现了要估算的圆周率pi，这一问题的出现是我们仿真过程中的不足，需要进一步探讨。