等距画线,图像分析——例谈含整体绝对值函数最值问题处理一法

36中学数学研究2019年第4期

例5 平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(- 1，3)，若点C满足冗=+

卢，其中〇:、卢e尺，a +冷=1,则点C的轨迹方程为（)?

A.3x + 2y - 11=0

B.(x -l)2 + (j-2)25

C.2x - y= 0

D.x + 2y - 5= 0

析解：求轨迹方程的基本思路就是设点P b，y)，并列出关于的方程.设％= u,y),成= (3,1) ,O B= (- 1,3) ,a O A=(3a,a),jS O B= (-卩，3p)，又a O A + 卩O B= (3a - P，a + 邱），

=3a -jS, (x,y)=(3a -jS,a + 3^6)

= a + 3/3, l a=拓(3%+ y)，

X a+jS = 1a: +2j-5 [P =j^(3r - x)?

0.故选D.

评注:本题体现了向量法和坐标的相互关系及转换方法.本题的结论表示C点是直线上的点，理解这个结论有助于解决有关三点共线的问题.提炼本题可得到一般性的结论，即若点C满足％ =

a;(M + jS O B，其中 a、y8 e /?，a; + jS = 1，则点 C 的轨迹方程为过的一条直线.

6.巧用中点

根据向量加法的平行四边形法则，对于任意不共线的三点0v4、B，0^ =泣+成则〇v4、B、F组

成平行四边形，其中隐含着庙过的中点这一性质.而解题通过构作中点往往可以起到曲径通幽的作用.

例6 如图3,在A A B C中，0为中线A M上的一

个动点，若= 2,则^ ?(苑+ %)的最小值是析解：由题易得

O C = O M +M C,

丨=>O A-(O B

O B = O M + M B

M X：=-M B

+ O C)=0A-20M =

H O A W O M l-C O S1800 = - 2

图3

I K I I O i&l?又...I泣I+1 成I=2，

g (一 ■— )2 =1(当且

\O A\\O M\- /!0A l+l0M l

----? ----? ----^---->- ---->-

仅当 I(M l=1 OMI时取等号）(M ?(OB + OC) ---?-->■---?=-2I04 丨=I OM I S：- 2,即 0 为AM中点时，04

?(益+说）取最小值为-2.

评析：涉及两个向量和的问题可联想构作中点及中线图形.

等距画线，图像分析

_例谈含整体绝对值函数最值问题处理一法浙江省安吉县高级中学（313300) 黄德丽

含绝对值的函数最值问题在近几年一些省份高考中已成为一个热点问题，浙江尤为明显.粗看起来不外乎两种类型：函数内嵌局部绝对值最值问题和函数的整体绝对值最值问题.但这两类绝对值的函数最值问题处理起来，还是有很大差别的.从解决问题的本源方法来看，都要围绕“去绝对号”做好文章.但对于函数的整体绝对值最值问题我们也可以根据“切比雪夫不等式的逼近原理”找到更加简洁的处理办法.

1.问题提出

(2〇17年高考浙江数学试题第17题）已知a

含绝对值的函数的图像

在下面分别从三个方面讲如何画含绝对值的函数的图像，以及在具体的题目中的应用。希望对雨我们学习这部分的知识有所帮助。、三点作图法三点作图袪是画函数ιy = ? f +? ?^-c(ak≠ 0)的图象的一种i罚捷方法(该函数图形?Ufft G V fl i故称召型图人步曝是E①先画出站型图顶点,石； —) ②在顶点两侧各找出一点；卩 ③次顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数y ≈k? ax+? I???≠ 0)的图彖* 例1作出下列各函数的圏象. (1) y =| 2x 亠J ll 一1； {2) y = 1- ∣2x ÷ 11 ? 解’⑴ 顶点：,-才两点g 0λ (b O)D其图彖如图1所示. 圏b <2)顶点f-lΛ两点(一1, 0), (0, 0).其图象如图2所示. I 2 j

图2 注 I 当40时图象奔口向上，当衣D时图彖开口向下?函数图象关于直线Λ= --对称口翻转作图法是画函数y H .rω I的图象的一种简捷方法. 注I ? k>0时图象开口向上，当衣0时图象开口向下.函数图象关于直线Λ = --对称" 制转作图法是画函数丁H∕ω I的图象的一种简捷方法. 二爾转作IS 二詡转作l?

步麋是 * ?5t 作出 P = /(x) 的图彖;②若y - /(Λ)的图家不位于X轴下方, 则函数I y = /(>)的图象就??^ιy =| f{x) \的图象;③若函数4y = h∕(x)的图象育位于H轴下方的，则可把X轴下方的图象绕X轴翻转180φ到盟轴上方，就得到了函数 I y=I I/(Λ)∣的图家? 例t作出下列各函数的图讓. U) 7=U?-?i y=∣√-2^-3∣j ￠3) y=∣?(r+3)∣c 解；⑴先作出^=μ∣-l的图象如图3,把图3中盟轴下右的图家翻上去！得至(］图乳图召就是妾IsJ的函数图象n C2)先作出y = X2- 2x-3的图熟如图5.把图5中梵轴T方的图象翻±? ⑶ 先作出^ = Ig(X+ 3)的图熟如图亿把图7中忙轴下丹的图象翻上去，得到图3.图&就是婪画的1S数图象? 三、分段破作图法分段函数作图法是把瘟函数等价转化沟分段函数后再作图，这种右法是画含有绝对值的函数的图象的有效有法. 例1作出下列函数的图家U (I)J = Z a-2μ∣+b ￠2) J=μ + l∣ + μ-l∣j (3) jμ=∣Λ2-2τr-3h 图4

含绝对值函数的最值问题

专题三: 含绝对值函数的最值问题 1. 已知函数2()2||f x x x a =-- (0>a ),若对任意的[0,)x ∈+∞,不等式(1)2()f x f x -≥恒成立,求实数a 的取值范围、不等式()()12f x f x -≥化为()2 212124x x a x x a ----≥-- 即:()242121x a x a x x ---+≤+-(*)对任意的[)0,x ∈+∞恒成立因为0a >,所以分如下情况讨论: ①当0x a ≤≤时,不等式(*)24120[0,]x x a x a ++-≥?∈对恒成立 ②当1a x a <≤+时,不等式(*)即24160(,1]x x a x a a -++≥?∈+对恒成立由①知102 a <≤,2()416(,1]h x x x a a a ∴=-+++在上单调递减 2662a a ∴≤--≥-或 11626222 a -<∴-≤≤Q 2、已知函数f (x )＝|x －a |,g (x )＝x 2＋2ax ＋1(a 为正数),且函数f (x )与g (x )的图象在y 轴上的截距相等.(1)求a 的值;(2)求函数f (x )＋g (x )的最值. 【解析】(1)由题意f (0)＝g (0),∴|a |＝1、又∵a >0,∴a ＝1、 (2)由题意f (x )＋g (x )＝|x －1|＋x 2＋2x ＋1、当x ≥1时,f (x )＋g (x )＝x 2＋3x 在[1,＋∞)上单调递增, 当x <1时,f (x )＋g (x )＝x 2＋x ＋2在????? ???－121上单调递增,在(－∞,12-]上单调递减. 因此,函数f (x )＋g (x )在(－∞,12-]上单调递减,在????? ???－12＋∞上单调递增. 2min ()4120[0,]()(0)120 1 02 g x x x a a g x g a a =++-≥∴==-≥∴<≤Q 在上单调递增只需2min ()(1)420h x h a a a ∴=+=+-≥只需

绝对值函数图像的画法

For personal use only in study and research; not for commercial use For personal use only in study and research; not for commercial use 首先要从简单的绝对值函数画起。 2-=x y ：是一条以()0,2为拐点的折线。或者可以理解为将直线2-=x y 在x 轴下面的部分沿x 轴翻折上去然后再着手于复杂的图像的画法。 22 1121-++=x x y ，先单独画出两个绝对值的图像，再合到一起。（叠加后直线的斜率不同）其中-2和4由两个绝对值为零算的，3为由x=-2和x=4算得的y 值。最后，最复杂的二次函数中的绝对值的画法。 122--=x x y ，很显然绝对值是将x 变成正数，由前面的图像可知a x y -=的图像总会关于a x =轴对称，故x y 21-=关于y 轴对称，又122-=x y 也关于y 轴对称，所以图像合并起来就容易多了。

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含绝对值函数的综合问题一

含绝对值函数综合问题一、含绝对值函数的最值 1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点处取得最小值 “(0)0f =”，无最大值；在函数(,0],[0,)x ∈-∞↓+∞↑；对称轴为：0x = （2）()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)b k -为顶点的“V ”字形图像；在顶点取得最小值： “()0b f k -=”，无最大值；函数在(,],[,)b b x k k ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：b x k =- （3）函数()||(0)f x k x b k =+≠： 0k >时，函数是以(,0)b -为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点取得最小值： “()0f b -=”，无最大值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：x b =- 0k <时，是以(,0)b -为顶点的倒“V ”字形图像，函数在顶点取得最大值： “()0f b -=”，无最小值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↑-+∞↓；对称轴为：x b =- 2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）函数()||||()f x x m x n m n =-+-<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m --为折点的 “平底形”图像；在[,]x m n ∈上的每点，函数都取得最小值n m -，无最大值；函数在(,],[,)x m x n ∈-∞↓∈+∞↑ ，在[,]x m n ∈无单调性；对称轴为2 m n x +=。（2）函数()||||f x x m x n =---：当m n >时，()f x 是以点(,),(,)A m n m B n m n --为折点的“Z 字形”函数图像；在 (,]x n ∈-∞上的每点，函数都取得最大值m n -，在[,)x m ∈+∞上的每点，函数都取得最小值n m -；函数在[,]x n m ∈↓，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2 m n +；当n m >时，()f x 是以点(,),(,)A m m n B n n m --为折点的“反Z 字形”函数图像；在(,]x m ∈-∞上的每点，函数都取得最小值m n -，在[,)x n ∈+∞上的每点，函数都取得最大值n m -；函数在[,]x m n ∈↑，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为( ,0)2 m n +；（3）()||||()f x a x m b x n m n =-+-<图像是以(,()),(,())A m f m B n f n 为折点的折线。当0a b +>时，两端向上无限延伸，故最小值，最小值为min{(),()}f m f n ；当0a b +<时，两端向下无限延伸，故最大值，最大值为{(),()}Max f m f n ；当0a b +=时，两端无限延伸且平行x 轴，故既有最大值又有最小值，最大值为 {(),()}Max f m f n ；最小值为min{(),()}f m f n 。 3、含多个绝对值的一次函数的最值、单调性函数1212()||||||(,,,)n i n f x x a x a x a a R i n N a a a *=-+-++-∈∈<<< 设（1）若21()n k k N *=-∈，则()f x 的图像是以(,())k k a f a 为顶点的“V ”字形图像（a ）当且仅当k x a =时，min 1211221[()]|()()|k k k k f x a a a a a a -++-=+++-+++ (b ) 函数()f x 在(,],[,)k k a a -∞↓+∞↑，若{}i a 为等差数列，则图像关于k x a =对称（2）若2()n k k N *=∈，则()f x 的图像是以点11(,()),(,())k k k k A a f a B a f a ++为折点的“平底形”图像（a ）当且仅当1[,]k k x a a +∈，min 12122[()]|()()|k k k k f x a a a a a a ++=+++-+++ (b ) 函数()f x 在1(,],[,)k k a a +-∞↓+∞↑，在1[,]k k x a a +∈无单调性。若{}i a 为等差数列，则图像关于1 2 k k a a x ++= 对称这一结论从一次绝对值函数图像上了不难看出，当1x a < 及 n x a >时，图像是分别向左、右两边向上无限伸展的两条射线，中间各段在区间1[,](1,2,1)i i a a i n +=- 上均为线段．它们首尾相连形成折线形，在中间点或中间段处最低，此时函数有最小值．证明：当21()n k k N * =-∈时，1221()||||||k f x x a x a x a -=-+-++- ， 1221k a a a -<<< 设由绝对值不等式性质得： 121121211|||||()()|k k k x a x a x a x a a a ----+-≥---=-，当且仅当121[,]k x a a -∈时取“=” 222222222|||||()()|k k k x a x a x a x a a a ----+-≥---=-，当且仅当222[,]k x a a -∈时取“=”

绝对值函数最值问题(含答案修改版)

绝对值函数最值问题一、准备在两个小区所在街道上建一所医院，使得两个小区到医院的距离之和最小，问医院应该建在何处？先来证明一个引理：引理：||||||y x y x +≥+……（1），当且仅当0≥xy 时等号成立要证（1）式成立，只需证xy xy xy y x xy y x ≥++≥++||,2||22 2 2 2 也即是，上式显然成立，故原命题得证。将上式的y y -换成可得 ||||||y x y x -≥+……（2），当且仅当0≤xy 时等号成立定理：对于任意123,,a a a ……,n a 如果123a a a ≤≤≤……1n n a a -≤，当n 为奇数时 ()12 3||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 等于123,,a a a ……n a 的中位数时取到，即12 n x a +=时有最小值，即是()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (112) ||||n n n x a x a f a -+??+-+-≥ ?? ? 当n 为偶数时 ()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 属于123,,a a a ……n a 的中间两个数的范围时取到，即1 22,n n x a a +?? ∈???? 时有最小值。此时 ()123 ||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (11) 22||||n n n n x a x a f a o r f a -+?? ??+-+-≥ ? ??? ?? 该定理的证明，只需最小的与最大的结合，在中位数时同时取到最小值。二、求下列函数的最小值： 1、()|2||1|-+-=x x x f

高中数学含绝对值的函数图象的画法及其应用素材

含绝对值的函数图象的画法及其应用一、三点作图法三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ?? - c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。例1. 作出下列各函数的图象。（1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。解：（1）顶点?? ? ??-12 1 ，，两点（0，0），（1，0）。其图象如图1所示。图1 （2）顶点?? ? ?? - 121 ，，两点（－1，0），（0，0）。其图象如图2所示。图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。二、翻转作图法翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数 )(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象； ③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。例2. 作出下列各函数的图象。（1）|1|||-=x y ；（2）|32|2 --=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。图4就是要画的函数图象。图3 图4

绝对值函数图象的速画法.doc

绝对值函数图象的速画法高中数学涉及了诸多函数问题，解这类题若能用图象辅助思考，往往有事半功倍之效。但遗憾的是，学生要么对图象形状不熟悉，不知怎么画图；要么觉得画图程序繁琐，懒于画出图象。下面简介高中数学中常见而学生又甚感困难的绝对值函数图象的速画法，以帮助提高作图速度，培养作图兴趣。一、用“三点定形法”画单绝对值函数 f ( x) a x h k(a0) 的图象 f ( x) a x h k( a 0) 与g( x)a(x h) 2k (a0) 的图象类似，它们的顶点都是（ h, k ），开口方向相同，对称轴相同，单调区间相同。所不同的是前者的图象是折线，在对称轴两侧是两条射线，而后者的图象是抛物线，在对称轴两侧是两条曲线。所以可用三点定其型。三点中，顶点（h, k ）必取，然后在其两侧任意各取一点，分别以顶点为端点，过另一点作出射线，即得 f ( x) a x h k(a 0) 的图象。例：已知函数 f ( x) a x b 2在 0, 上单调递增，则 a、b 的取值范围是。分析：当 a=0 时，f ( x) 2 为常数函数，不具单调性；当 a 0 时，其顶点(b,2)总在直线y=2上，若 a 0，图象开口向下(见图1)，总不满足条件；若 a 0 ，图象开口向上，当 b 0 时，函数 f ( x)在0, 不单调 (见图 2)；当b 0 ，函数 f (x) 在 0, 单调 (见图 3)。所以 a、 b 的范围应是a 0, b 0. 4 4 4 2 A 2 2 A B B 5 10 15 20 10 图 1 5 10 5 图 2 15 20 图 3 B A -2 -2 -2 -4 -4 -4 二、用“三点定形法”作双绝对值和式函数 f (x) x a x -6 -6 -6 -8 -8 -8 a = -1. b (a b = b0.)9的图象 r x =x-b +2 s x = a = 2.2 b = 0.9 r x =x s x = -10 -10

含参数含绝对值的函数综合题

含参数含绝对值的函数综合题探究一．解题策略： 1.去绝对值的思考，2012年~2014年的高考流行的是“遇见绝对值就考虑分类讨论去绝对值变为分段函数”；这几年高考反而流行“不去绝对值”即“整体换元后进行画函数图像数形结合”。 2.分类讨论要“慢”； 3.能换元就“换”； 4.有函数就“画”。二．精题例析例1 （2017年4月浙江省学考第25题）已知函数) f=3|x?a|+|ax?1|，其中a∈R (x ①当a=1时，写出函数) (x f为偶函数，求实数a的值; (x f的单调区间;②若函数) ③若对任意的实数x∈[0，3]，不等式) (x f≥3x|x?a|恒成立，求实数a的取值范围. 点评：2012年~2014年的高考流行的模式延续到2015年~2017的浙江省学考中。

练习1 （2016年10月浙江省学考第25题）设函数2)|1(|1)(a x x f --=的定义域为D ，其中1

例2 (2017年6月浙江省高考第 17题即填空题的最后一题）已知R ∈a .函数()a a x x x f +-+ =4在区间[]4,1上的最大值是5，则a 的取值范围是_____. 点评：这几年高考反而流行“不去绝对值”即“整体换元后进行画函数图像数形结合”，往往作为填空题考查学生，切忌小题大做，考查学生的转化与化归的思想意识、整体处理思想及数形结合。练习1.（2018年4月浙江学考第22题即填空题的压轴题）若不等式2x 2?(x ?a )|x ?a |?2≥0对于任意x ∈R 恒成立，则实数a 的最小值是________________. 练习 2. 设函数m m x x x f 2294)(2+-+-=在区间[]4,0上的最大值是9，则实数m 的取值范围是______________.