关于绝对值函数的问题解决

关于绝对值函数的问题解决

张家港高级中学 储聪忠

有一道某地高三模拟考试题，涉及到绝对值函数，用来说明数学中的分类讨论思想非常有代表性。

试题 已知函数1)(2

-=x x f ，|1|)(-=x a x g .

（1） 若关于x 的方程)(|)(|x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围；

（2） 若当R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒函数成立，求实数a 的取值范围；

（3） 求函数)(|)(|)(x g x f x h +=在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果．．．．．．，不需给出演算．．．．．．

步骤．．

）. 解答 （1）方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1

x =已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得0a <.

（2）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立， ①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ；

②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|

x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-，

所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤.

综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤

.

（3）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩

≤≥

① 当1,22

a a >>即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ② 当01,22a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2

a

-上递减， 在[1,]2

a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2

()124a a h a -=++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.

③ 当10,02a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2

a -上递减， 在[1,]2

a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2

()124a a h a -=++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +.

④ 当3

1,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2

a -上递减，

在[,1]2a ，[,2]2a -上递增，且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. 当3,322

a a <-<-即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递增，在[1,2]上递减， 故此时()h x 在[2,2]-上的最大值为(1)0h =.

综上所述，

当0a ≥时，()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +；

当30a -<≤时，()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +；

当3a <-时，()h x 在[2,2]-上的最大值为0.