六年级我爱数学杯

2014年“我爱数学”六年级数学竞赛卷

参考答案

注意：本试共12题，全卷满分120分。 1．(8分) 计算：

741⨯＋1071⨯＋13101⨯＋…＋112

1091⨯＝ 。 解 原式＝31×(743⨯＋1073⨯＋13101⨯＋…＋112

1093

⨯)

＝31×(41－71＋71－101…＋1091－1121)

＝31×(41－1121)＝31×(41－1121)＝112

9

。

2．(8分) 计算：2013×2014×2015÷(6×95×143)＝ 。 解 原式＝(3×11×61)×(2×19×53)×(5×13×31)×÷(2×3×5×19×11×13)

＝61×53×31＝ 100223 。

3．(9分) 如果六位数B A 2014能够被88整除，那么，这个六位数B A 2014＝ 。 解 由于六位数B A 2014能够被88＝11×8整除，即必须同时能够被11和8整除。要被8整除，则要求末三位被8整除，从而可知B ＝4；再根据被11整除可知A ＝3。所以，这个六位数为 320144 。

4．(9分) 设A 为自然数，如果2014＋A 是一个立方数，那么，A 最小可以是 。 解 此题是一个估值的题。因为123＝1728＜2014，133＝2197＞2014，所以，自然数A 最小为2197－2014＝ 183 。

5．(10分) 如果自然数A 被123除余79，被124除余29，那么，自然数A 最小可以是 。

解 设A ＝123×B ＋79＝124×C ＋29，因为同一个数被两个自然数除，除数大则商小，所以可知B ≥C 。将上式变形得

123×(B －C )＝C －50，

要使被除数A 尽可能小，即要使A 被124除所得的商C 尽可能小。当B ＝C 时，C 最小可取50，所以，A 最小可取124×50＋29＝ 6229 。

6．(10分) 设A 是一个自然数，如果A 满足：

A 1＜20141＋20151＋20161＋…＋20321＜1

1 A ， 那么，自然数A ＝ 。

解 比较分数的大小。因为

20141＋20151＋20161＋…＋20321＜20141×19＝106

1， 又

20141＋20151＋20161＋…＋20321＞20321×19＞20331×19＝107

1， 所以

107

1＜20141＋20151＋20161＋…＋20321＜1061

， 得A ＝ 107 。

7．(10分) 在乘法算式

29×数学竞赛＝72×竞赛数学

中，不同汉字代表不同的非零数字，相同汉字代表相同的非零数字。要使得算式成立，那么，数学×竞赛＝ 。

解 由位值原理可知：

29×(00数学＋竞赛竞赛)＝72×(00竞赛＋数学)， 2900×数学＋29×竞赛＝7200×竞赛＋72×数学，

2828×数学＝7171×竞赛。

将2828和7171质因数分解：

2828＝22×7×101， 7171＝71×101，

可知2828与7171的最大公因数为101，将2828和7171同时分解为一个两位数和一个公因数之积，只有：

2828＝28×101， 7171＝71×101，

所以

28×101×数学＝71×101×竞赛，

即

28×数学＝71×竞赛，

要使等式成立，则只有 数学＝71，竞赛＝28，从而得

数学×竞赛＝71×28＝ 1988 。

8．(10分) 在下图中，包含“★”的长方形共有

个。

解 由于图形不规则，我们只有将各种形状的长方形列表计数：

共 29 个。

9．(11分) 已知甲、乙两车的速度比为4 : 5，甲、乙两车分别从A ，B 两地同时出发，相向而行，计划在C 地相遇。由于下雨，甲车的速度减少了25%，乙车的速度减少了20%，结果两车相遇在D 地。如果C ，D 两地相距5千米，那么，A ，B 两地相距 千米。

解 由于甲、乙两车的速度比为4 : 5，可知在计划相遇过程中，甲车行驶了全程的

5

44+＝94

。 另一方面，雨后甲、乙两车的速度比变为

4×(1－25%) : 5×(1－20%)＝3 : 4，

从而知，在实际相遇的过程中，甲车行驶了全程的

4

33+＝73

。 因为C ，D 两地相距5千米，所以，A ，B 两地相距

5÷(

94－7

3

)＝ 315 千米。

10．(11分) 有两堆棋子，A 堆有黑子350个和白子500个，B 堆有黑子400个和白子100个。为了使A 堆中黑子占A 堆的

21，B 中黑子占B 堆的4

3

，那么，要从B 堆中拿到A 堆 个黑子， 个白子。

解 (1) 我们先从B 堆中拿150个黑子到A 堆，此时A 堆中有黑子和白子都为500个，满足A 堆黑子占一半的条件。以后只要从B 堆中拿出的黑子个数与白子个数相等，那么，A 堆中黑子与白子各半的条件都能满足。

(2) 此时B 堆中有黑子400－150＝250个，白子100个。黑子与白子的个数之差为250－100＝150，只要再从B 堆拿到A 堆的黑子与白子数是相同的，不论个数多少，它

们的差仍为150个。而对于B 堆，要求黑子3份，白子1份，所以其差为2份，每份为75个。所以，最后B 堆中剩下黑子75×3＝225个，白子75个，所以还需要从B 堆各拿25个黑子和白子到A 堆。

(3) 综合上面分析，要满足题中的条件，要从B 堆拿到A 堆 175 个黑子， 25 个白子。

11．(12分) 如下左图所示，在△ABC 中，AE 与BD 交于O 点，AC ＝3AD ，BC ＝4EC 。如果△AOD 的面积为1，那么，△ABC 的面积等于 30 。

解 连结OC ，设S △ABC ＝S ，S △COE ＝x 。由题中条件知：

S △AOC ＝3，S △COD ＝2，S △BOE ＝3x ，

从而有

S △AOC ＋S △COE ＝S △ACE ＝41

S △ABC ， S △COD ＋S △BOC ＝S △BCD ＝

3

2

S △ABC ， 即3＋x ＝

41S ，2＋4x ＝3

2

S ，可得S ＝ 30 。

12．(12分) 如上右图是一张50行和100列的表，如果按斜线依次填入自然数 (如自然数14在第2行，第4列)。那么，自然数2014填在第 行，第 列。

解 因为前50条斜线，每一条都比前一条多写填一个数，所以前50条斜线上的数有

1＋2＋3＋…＋50＝1275

个数，即1275填在第1行，第50列；1276填在第50行，第2列。

填到自然数2014还需要填2014－1275＝739个数。由于以后的50条斜线上都写50个数，而

739÷50＝14……39，

所以，自然数1275＋50×14＝1975应填在第1行，第64 (＝50＋14) 列上，而自然数1976应填在第50行，第16 (＝2＋14) 列上。

所以，自然数2014填在第 12 行，第 54 列。