五阶Stokes波计算的几个注意点
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图 4 系数 C2 订正与否的波面对比 F ig . 4 Comparison betw een the w av e pro files for
cor rected and unco rr ected co efficient C2
这一界限后, 随 d / L 的变化将出现一间断 点, 间断点左右 值有一跳跃, 小于间断点后 或为负值或又出现新的间断点。由负值的 代 入波面计算式计算得到的波面有时会完全失 真, 超过波高数倍甚至数十倍。相对波高 H / d 不 同, 间断点 位置也不同, 且无规则 变化( 图 3) 。
( 3)
图 1 参数 与 相对水深 d/ L 0 和相对波高 H / d 的 关系曲线
F ig . 1 Par ameter v ersus relativ e wat er depth d/ L 0 and r elat ive w av e height H / d
其余波场特征如波面、水质点运动速 度、加速度等都有类似的表达式。其中系数 A ij 以及计算波面的系数 Bij , 计算波速的系数 C1 、 C2 均为与水深波长比有关的双曲线函数高次 多项式, 其计算式可参见文献[ 1, 5] 。系数 及波
收稿日期: 1996 年 2 月 12 日
1997 年第 2 期
65
L 0 后, 利 用 L 0 与波 周期 T 有单一 的对应 关 系, 可得到 与 d, H , T 三者之间的关系如图 1～2。
和 L 由隐式且带有双曲线函数高次项系数的 非线性方程组( 2) , ( 3) 解出。在采用已知 d, H , T 反求 的过程中, 注意到在 d/ L > 0. 07 的范围内, 随 d / L 值的变化很规律, 小于
k C
=
(
A 11 +
3A 13 +
5A 15) chk( z + d) sin( kx -
t)
( 1)
长 L 由波高的定义式及色散关系所建立的联
立方程组来确定, 即:
!H d
=
L d
[
+
3B33 +
5 ( B35 + B 55) ]
( 2)
d L0
=
d L
t h(
2!
d L
)
( 1+
2C2 +
4C 2)
在 值的间断点以外, 笔者也利用波面方
66
海洋科学
程检验了计算结果的稳定性和精度。数值试验 出的是, 桩柱波力实验得到的五阶 Sto kes 波
的结果说明, 在图 3 所示Ⅱ区, 以( 2) 式解出的 适用区域也大体在这一范围。为了便于实际计
代入波面方程计算出的波高将会偏离已知原 算, 在以下范围应用五阶 St okes 波理 论: ( 1)
五阶 Stokes 波计算的几个注意点
李炎保 杨 鹏
( 天津大学水资源与港湾工程系 300072)
关键词 五阶 Sto kes 波, 非线性 波, 数值计算
五阶 St okes 波理论是目前在工程计算中 程的稳定性角度对 St okes 五阶波的应用范围
应用广泛的波浪理论。它能正确反应浅水波浪 的非线性特性。最近的实验和研究成果[ 2, 3] 表
提出建议。本文介绍上述分析计算的结果, 并 介绍邱强[ 4] 关于其计算参数的一项订正, 以期
明, 从深水到水深波长之比为 0. 07 的极浅水 引起注意。
条件下, 由五阶 St okes 波计算的波面桩柱波浪 力及其随时间的变化过程都能较好地符合实 测结果。五阶 Sto kes 波应用的困难在于计算参 数的确定。作者通过已知计算参数反求它们与
始波高。以计算波高不小于原始波高的 1% 为 H / d> 0. 6 时, d / L > 0. 1; ( 2) H / D < 0. 6 时,
界限, 确定波面误差界限点绘于图 3。波面误 d/ L > 0. 07。
差界限点和 值间断点都有随 H / d 变大的趋 势, 但不规律, 以其外包线对 H / d ～d/ L 图分
[ 5 ] S kjel breia L, Hendrickson J A . 1961. Fift h O rder
参考文献
G ravit y W ave T heories Proc. 7t h Conf . Coast al Eng. 1: 184-196.
THE NOTES FOR CALCULATING STOKES FIFTH ORDER WAVE
果表明, 由此得到的结果可满足工程应用的精
度需要。
2 从数值稳定性建议五阶 Stokes 波的应用范围
如前所述, 五阶 St okes 波的决定性参数
图 3 五阶 Sotkes 波的应用范围 Ⅰ ——计算波高误差≤±1% 区域 Ⅱ ——计算波高误差> ±1% 区域 Ⅲ—— 值出现间断点区域
F ig . 3 Ranges of suitability for sto kes 5th or der wav e theor y
Abstract
A sim ple and easy met ho d w hich direct ly determ ines t he calculation par ameters of St okes fif t h order wav e. is o bt ained in t his paper, by seeking the relat ion bet w een given cal culation param et ers and t he w ave par am et ers. It overco mes t he dif ficult y in solving t he united equat ions est ablished by the w ave height dif init io n and t he dispersion relat io n by means of t he it er at ing met ho d. In addit ion, a series o f numerical t est s ar e done. T he suit able range of Sto kes fif ith order w ave is sugg ested in view o f t he stability of calculat io n parameters and t he precisio n of t he result s.
d L
=
0.
043
2+
[
0.
95 9
9+
0.
128
4
H d
-
0.
344
8(
H d
) 2]
d L0
+
[
-
பைடு நூலகம்0.
2 91
8-
1.
173
2
H d
+
0.
92 9
2(
H d
2
]
(
d L0
)
2
( 4)
在进行五阶 Sto kes 波计算时可直接由 d, H ,
T 按式( 4) 计算 L , 再由式( 2) 或( 3) 解出 。结
这一方程组中各项系数 B ij , C1, C2 都是未知数 L 的函数, 式( 2) , ( 3) 成为复杂的隐式关系, 不 能直接 求解, 只能 通过给定初 值逐次迭 代求 解。实际运算表明, 如初值选择不当, 将导致迭 代发散, 很难得到精度足够的解答。
为此, 笔者利用( 2) , ( 3) 式各参数的关系, 假设已知 d, H , L , 反求 LO 及 0 , 当 L 已知后, ( 2) , ( 3) 两式都成为显式, 容易直接求解。有了
1997 年第 2 期
67
图 2 五阶 Stokes 波波长 与深水波 长和 相对 波高 的关系曲线
F ig . 2 T he w ave leng th L for sto kes 5th or der wav e theo ry ver sus t he wav e leng th L 0 in deep wa ter and relative w ave heig ht H / d
, L 与 d , H , T 之间是三元函数关系, 利 用 d 对 H , T 作无量纲处理, 仍是二元关系。图 1, 2 中以 H / d 为参数给出 , d / L 与 H / d, d/
L 0 之间的关系。从图中可看到 d/ L 与 H / d, d/ L 0 之间的关系规律性很强。同一 H / d 的情 况 随 d/ L 0 的变化也很规律, 但不同 H / d 之 间 变化并不规律。图 1 归纳了 L 与 H / d , d/ L 0 的关系如式( 4) 。
L i Yanbao and Yang P ong
( D ep t. of H y dr aulic Eng. , T ianj in U niver sity 300072)
Received: Feb. 12, 1996 Key Words: Sto kes fifth or der w ave , N onliner w ave, N umer ical calculat ion
948C2 -
1 47
( 5)
他利用订正前后的 C2 值给出一算例如图 4。图 4 的结果说明若 C2 的值若不订正, 则带 来的误差很大。本文给出邱强的这一结果, 以 期在计算中作此订正。
[ 1] 竺艳蓉, 1991。海洋工程波浪力学。天津大学出版社, 42 ～48。
[ 2] 竺艳蓉, 1983。海岸工程 2: 11～27。 [ 3] 李炎保, 宋 , 1991。天津大学学报 Su p: 98～103。 [ 4] 邱 强, 1993。海洋学报 4: 539～541。
3 关于系数 C 2 的订正
区如图 3。其中Ⅲ区为 失真区; Ⅱ区为波高误 差过大 区; 从数值稳 定计算满足 精度需要 而 言, 五阶 St okes 波应用范围应在Ⅰ区。值得指
邱 强[ 4] 经过推导发现 文献[ 5] 给出的 C2 值应作如下订正:
C2 =
640C10 -
576C8 -
528C6 - 256C4 + 51 2C 10
1 五阶 Sto kes 波计算参数的直接 确定
波要素的关系, 得到直接确定计算参数的简易 方法。在反求这一关系的过程中, 还发现计算 参数的控制方程在水深过浅、波高过大的条件 下将失去稳定, 导致误差加大, 为此从控制方
Stokes 波浪理论以小参数的 幂级数表示 波浪运动基本方程的解答, 小参数与波高 H 、 周期 T 以及水深 d 有关, 由边界条件确定。对 于五阶波, 可导出波动热 的方程如下:
cor rected and unco rr ected co efficient C2
这一界限后, 随 d / L 的变化将出现一间断 点, 间断点左右 值有一跳跃, 小于间断点后 或为负值或又出现新的间断点。由负值的 代 入波面计算式计算得到的波面有时会完全失 真, 超过波高数倍甚至数十倍。相对波高 H / d 不 同, 间断点 位置也不同, 且无规则 变化( 图 3) 。
( 3)
图 1 参数 与 相对水深 d/ L 0 和相对波高 H / d 的 关系曲线
F ig . 1 Par ameter v ersus relativ e wat er depth d/ L 0 and r elat ive w av e height H / d
其余波场特征如波面、水质点运动速 度、加速度等都有类似的表达式。其中系数 A ij 以及计算波面的系数 Bij , 计算波速的系数 C1 、 C2 均为与水深波长比有关的双曲线函数高次 多项式, 其计算式可参见文献[ 1, 5] 。系数 及波
收稿日期: 1996 年 2 月 12 日
1997 年第 2 期
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L 0 后, 利 用 L 0 与波 周期 T 有单一 的对应 关 系, 可得到 与 d, H , T 三者之间的关系如图 1～2。
和 L 由隐式且带有双曲线函数高次项系数的 非线性方程组( 2) , ( 3) 解出。在采用已知 d, H , T 反求 的过程中, 注意到在 d/ L > 0. 07 的范围内, 随 d / L 值的变化很规律, 小于
k C
=
(
A 11 +
3A 13 +
5A 15) chk( z + d) sin( kx -
t)
( 1)
长 L 由波高的定义式及色散关系所建立的联
立方程组来确定, 即:
!H d
=
L d
[
+
3B33 +
5 ( B35 + B 55) ]
( 2)
d L0
=
d L
t h(
2!
d L
)
( 1+
2C2 +
4C 2)
在 值的间断点以外, 笔者也利用波面方
66
海洋科学
程检验了计算结果的稳定性和精度。数值试验 出的是, 桩柱波力实验得到的五阶 Sto kes 波
的结果说明, 在图 3 所示Ⅱ区, 以( 2) 式解出的 适用区域也大体在这一范围。为了便于实际计
代入波面方程计算出的波高将会偏离已知原 算, 在以下范围应用五阶 St okes 波理 论: ( 1)
五阶 Stokes 波计算的几个注意点
李炎保 杨 鹏
( 天津大学水资源与港湾工程系 300072)
关键词 五阶 Sto kes 波, 非线性 波, 数值计算
五阶 St okes 波理论是目前在工程计算中 程的稳定性角度对 St okes 五阶波的应用范围
应用广泛的波浪理论。它能正确反应浅水波浪 的非线性特性。最近的实验和研究成果[ 2, 3] 表
提出建议。本文介绍上述分析计算的结果, 并 介绍邱强[ 4] 关于其计算参数的一项订正, 以期
明, 从深水到水深波长之比为 0. 07 的极浅水 引起注意。
条件下, 由五阶 St okes 波计算的波面桩柱波浪 力及其随时间的变化过程都能较好地符合实 测结果。五阶 Sto kes 波应用的困难在于计算参 数的确定。作者通过已知计算参数反求它们与
始波高。以计算波高不小于原始波高的 1% 为 H / d> 0. 6 时, d / L > 0. 1; ( 2) H / D < 0. 6 时,
界限, 确定波面误差界限点绘于图 3。波面误 d/ L > 0. 07。
差界限点和 值间断点都有随 H / d 变大的趋 势, 但不规律, 以其外包线对 H / d ～d/ L 图分
[ 5 ] S kjel breia L, Hendrickson J A . 1961. Fift h O rder
参考文献
G ravit y W ave T heories Proc. 7t h Conf . Coast al Eng. 1: 184-196.
THE NOTES FOR CALCULATING STOKES FIFTH ORDER WAVE
果表明, 由此得到的结果可满足工程应用的精
度需要。
2 从数值稳定性建议五阶 Stokes 波的应用范围
如前所述, 五阶 St okes 波的决定性参数
图 3 五阶 Sotkes 波的应用范围 Ⅰ ——计算波高误差≤±1% 区域 Ⅱ ——计算波高误差> ±1% 区域 Ⅲ—— 值出现间断点区域
F ig . 3 Ranges of suitability for sto kes 5th or der wav e theor y
Abstract
A sim ple and easy met ho d w hich direct ly determ ines t he calculation par ameters of St okes fif t h order wav e. is o bt ained in t his paper, by seeking the relat ion bet w een given cal culation param et ers and t he w ave par am et ers. It overco mes t he dif ficult y in solving t he united equat ions est ablished by the w ave height dif init io n and t he dispersion relat io n by means of t he it er at ing met ho d. In addit ion, a series o f numerical t est s ar e done. T he suit able range of Sto kes fif ith order w ave is sugg ested in view o f t he stability of calculat io n parameters and t he precisio n of t he result s.
d L
=
0.
043
2+
[
0.
95 9
9+
0.
128
4
H d
-
0.
344
8(
H d
) 2]
d L0
+
[
-
பைடு நூலகம்0.
2 91
8-
1.
173
2
H d
+
0.
92 9
2(
H d
2
]
(
d L0
)
2
( 4)
在进行五阶 Sto kes 波计算时可直接由 d, H ,
T 按式( 4) 计算 L , 再由式( 2) 或( 3) 解出 。结
这一方程组中各项系数 B ij , C1, C2 都是未知数 L 的函数, 式( 2) , ( 3) 成为复杂的隐式关系, 不 能直接 求解, 只能 通过给定初 值逐次迭 代求 解。实际运算表明, 如初值选择不当, 将导致迭 代发散, 很难得到精度足够的解答。
为此, 笔者利用( 2) , ( 3) 式各参数的关系, 假设已知 d, H , L , 反求 LO 及 0 , 当 L 已知后, ( 2) , ( 3) 两式都成为显式, 容易直接求解。有了
1997 年第 2 期
67
图 2 五阶 Stokes 波波长 与深水波 长和 相对 波高 的关系曲线
F ig . 2 T he w ave leng th L for sto kes 5th or der wav e theo ry ver sus t he wav e leng th L 0 in deep wa ter and relative w ave heig ht H / d
, L 与 d , H , T 之间是三元函数关系, 利 用 d 对 H , T 作无量纲处理, 仍是二元关系。图 1, 2 中以 H / d 为参数给出 , d / L 与 H / d, d/
L 0 之间的关系。从图中可看到 d/ L 与 H / d, d/ L 0 之间的关系规律性很强。同一 H / d 的情 况 随 d/ L 0 的变化也很规律, 但不同 H / d 之 间 变化并不规律。图 1 归纳了 L 与 H / d , d/ L 0 的关系如式( 4) 。
L i Yanbao and Yang P ong
( D ep t. of H y dr aulic Eng. , T ianj in U niver sity 300072)
Received: Feb. 12, 1996 Key Words: Sto kes fifth or der w ave , N onliner w ave, N umer ical calculat ion
948C2 -
1 47
( 5)
他利用订正前后的 C2 值给出一算例如图 4。图 4 的结果说明若 C2 的值若不订正, 则带 来的误差很大。本文给出邱强的这一结果, 以 期在计算中作此订正。
[ 1] 竺艳蓉, 1991。海洋工程波浪力学。天津大学出版社, 42 ～48。
[ 2] 竺艳蓉, 1983。海岸工程 2: 11～27。 [ 3] 李炎保, 宋 , 1991。天津大学学报 Su p: 98～103。 [ 4] 邱 强, 1993。海洋学报 4: 539～541。
3 关于系数 C 2 的订正
区如图 3。其中Ⅲ区为 失真区; Ⅱ区为波高误 差过大 区; 从数值稳 定计算满足 精度需要 而 言, 五阶 St okes 波应用范围应在Ⅰ区。值得指
邱 强[ 4] 经过推导发现 文献[ 5] 给出的 C2 值应作如下订正:
C2 =
640C10 -
576C8 -
528C6 - 256C4 + 51 2C 10
1 五阶 Sto kes 波计算参数的直接 确定
波要素的关系, 得到直接确定计算参数的简易 方法。在反求这一关系的过程中, 还发现计算 参数的控制方程在水深过浅、波高过大的条件 下将失去稳定, 导致误差加大, 为此从控制方
Stokes 波浪理论以小参数的 幂级数表示 波浪运动基本方程的解答, 小参数与波高 H 、 周期 T 以及水深 d 有关, 由边界条件确定。对 于五阶波, 可导出波动热 的方程如下: