第八节 方程的近似解

第八节 方程的近似解

教材习题3-8答案（上册P209）

1.解：令5()51,f x x x =++则()f x 在[]1,0-连续，又(1)50,(0)10,f f -=-<=>由零

点定理知：至少存在一点(1,0),ξ∈-使得()0.f ξ=又'4()550,f x x =+>则()f x 在

[]1,0-上单调递增，因而()f x 在()1,0-内有唯一实根.

以下用切线法求ξ的近似值:

''3()200,f x x =<取''001,(()()0),x f x f x =-⋅>代入递推公式1'()

,()

n n n n f x x x f x +=-

12'5(0.5)

10.5,0.50.21,55(0.5)

f x x f --=--

=-=--≈-+- 34

''(0.21)(0.20)

0.210.20,0.200.20.(0.21)(0.20)

f f x x f f --=--

=-=--≈---0.20.ξ∴≈- 2.解:令3'2()31()330,f x x x f x x =+-⇒=+>则()f x 单调递增. 所以()0f x =至多有

一个实根.又由(0)10,(1)30f f =-<=>知: ()0f x =在(0,1)内有唯一实根.取

[]0,1,0,1a b ==就是一个隔离区间.列表如下:

于是0.320.33,ξ<<即0.32作为根的不足近似值，0.33作为根的过剩近似值，其误差都小于0.001.

3.解：令'

()ln 1(0)()ln ,f x x x x f x x =->⇒=令'()ln 0,f x x ==得'()f x 的零点为.

e 当(0,)x e ∈时，'()0;

f x <当(,)x e ∈+∞时，'()0.f x >所以()f x 在(0,)e 内单调减少，

()f x 在(,)e +∞上单调增加.又()0

lim ()lim ln 11,x x f x x x ++

→→=-=-∴ 在(0,)e 内()0,f x <()0f x =至多有一个实根. 又由(1)10,()10f f e e =-<=->知: ()0

f x =在(0,)e 内有唯一实根.取 []0,,0,a b e e ==是根的一个隔离区间.因为当(0,)x e ∈时，

''211

()0,()0,f x f x x x

=

>=-<相对应课本P207图3-32(C)，以下用迭代公式做(略).