专题题组训练(五)

1．(2015·安徽文，6)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是 ( A ) A ．x 2

－y 2

4＝1

B.x 24－y 2

＝1 C ．x 2－y 22＝1

D.x 22－y 2

＝1

【解析】 由双曲线的渐近线的公式可知，选项A 的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.

2．(2018·湖北黄冈质检，5)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2

＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为

( A ) A. 2

B. 3

C ．2

D. 5

【解析】 ∵OM ⊥PF ，且|FM |＝|PM |， ∴|OP |＝|OF |，∴∠OFP ＝45°，

∴|OM |＝|OF |·sin 45°，即a ＝c ·22，∴e ＝c a ＝2，故选A.

3．(2018·江西南昌联考，5)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为

( A )

A ．2x ＋y －3＝0

B ．2x －y －3＝0

C ．4x －y －3＝0

D ．4x ＋y －3＝0

【解析】 方法一：如图，连接PC .

圆心坐标为C (1，0)，易知A (1，1)． 又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1

＝1

2，

∴k AB ＝－2.

故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，故选A.

方法二：直线AB 是以PC 为直径的圆(x －2)2

＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫y －122＝5

4与圆(x －1)2＋y 2＝1

的公共弦所在的直线，

∴直线AB 的方程为2x ＋y －3＝0.

4．(2018·辽宁大连双基测试，5)已知过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若AF →＝3FB →，则直线l 的斜率为 ( D ) A ．2

B.1

2

C.32

D. 3

【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，F (1，0)，x 1＞0，y 1＞0. 则AF →＝(1－x 1，－y 1)， FB →＝(x 2－1，y 2

)． ∵AF →＝3FB →

，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝3（x 2－1），－y 1＝3y 2.

又y 2＝4x ，∴x 1＝9x 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，

y 1＝23， 则直线l 的斜率k ＝

23－03－1

＝ 3.

5．(2017·重庆一调，4)设m ，n ∈R ，若直线mx ＋ny －2＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是 ( C )

A ．[－2，2]

B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

C ．[－22，22]

D ．(－∞，－22]∪[22，＋∞) 【解析】 由直线与圆相切得，

2m 2

＋n

2

＝1，

∴m 2

＋n 2

＝4.令m ＝2cos θ，n ＝2sin θ(θ∈R )，∴m ＋n ＝22sin ⎝

⎛⎭⎪⎫θ＋π4，

∴－22≤m ＋n ≤2 2.

6．(2018·福建三明质检，6)设F 1，F 2为双曲线Γ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右

焦点，P 为Γ上一点，PF 2与x 轴垂直，直线PF 1的斜率为3

4，则双曲线Γ的渐近线方程为

( C )

A ．y ＝±x

B ．y ＝±2x

C ．y ＝±3x

D ．y ＝±2x

【解析】 不妨设点P 位于第一象限，点P 的坐标为P (c ，m )，则c 2a 2－m 2

b 2＝1，

解得m ＝b 2a ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫

c ，b 2

a .

又F 1(－c ，0)，

则kPF 1＝

b 2

a －0c －（－c ）

＝34，

整理可得，2e 2－3e －2＝0. 又e >1，则e ＝c

a ＝2，

则a 2＋b 2a 2＝4⇒b 2a 2＝3⇒b

a ＝3，故双曲线Γ的渐近线方程为y ＝±3x . 7．(2017·黑龙江哈师大附中三模，12)中心在原点的椭圆C 1与双曲线C 2具有相同的焦点，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P 为C 1与C 2在第一象限的交点，|PF 1|＝|F 1F 2|且|PF 2|＝5.若椭圆C 1的离心率e 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

35，23，则双曲线的离心率e 2的取值范围

是

( C )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，53

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫

53，2 C ．(2，3)

D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫32，3 【解析】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，由|PF 1|＝|F 1F 2|且|PF 2|＝5知，2a －5＝2

c ⇒e 1＝c a ＝2c 2c ＋5.设双曲线方程为x 2m 2－y 2

n 2＝1(m >0，n >0)，同理，可得

e 2＝

2c 2c －5

.

由e 1＝

2c

2c ＋5∈⎝ ⎛⎭⎪⎫35，23知，2c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

152，10，故e 2＝2c 2c －5∈(2，3)． 8．(2018·浙江杭州模拟，6)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是

( A )

A.|BF |－1

|AF |－1

B.|BF |2－1|AF |2－1

C.|BF |＋1|AF |＋1

D.|BF |2＋1|AF |2＋1

【解析】 如图，过点A ，B 分别作准线x ＝－1的垂线，交y 轴于点N ，M .

借助△CMB ∽△CNA 和抛物线的性质得