积分中值函数平均值

所求功为 w
abkr2qdr
kq
1 r
b a
kq
1 a
1b.
若要考虑将单位电荷移到无穷远处，则所须功为
w
kq a r2dr
kq
1 r
编辑ppt
a
kq a
.
5
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例 2] 一圆柱形
蓄水池高为 5 米，底半
径为 3 米，池内盛满了
水.问要把池内的水全
7[3aa 3x.223x3]32aa
3
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x
14
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
三、函数的平均值
实例：用某班所有学生身高的算术平均值来描述这
个班学生身高的概貌.
yy1y2yn n
算术平均值公式 只适用于有限个数值
问题：求气温在一昼夜间的平均温度（气温的变
[例 4] 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设
桶的底半径为 R，水的密度为 ，计算桶的一端侧面上所受
的压力．
解 在一端侧面建立坐标系如图，
取x为积分变量，积分区间是 [0, R], 在积分区间上任取小区间[ x, x dx]，
小矩形片上各处的压强近似相等
px
小 矩 形 片 的 面 积 为 2 R2x2d.x
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3
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例 1] 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作
用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场
中距离原点为 r 的地方，那么电场对它的作用力的大小
为
F
k
q r2
（k
是常数），当这个单位正电荷在电场中从
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1
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
用元素法求一个量的一般步骤：
1）选取一个积分变量，确定积分区间；
2）在积分区间上任取一小区间，以直代曲， 得所求量的微分元素（简称微元）；
3）在积分区间上对微元求定积分，得所求量.
这种方法通常叫做元素法（或微元法）．
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2
第三章
一元函数积分学
[例 5] 将直角边各为a及2a的直角三角形薄板垂直
地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且
该边到水面的距离恰好等于该边的边长，求薄板一侧所
受的压力．
解 建立坐标系如图所示，
o
y
直线AB的方程
2a
y0 x3a , 2a0 2a3a
即
y6a2x
2a B(2a,2a)
a
A(3a,0)
部吸出，需作多少功？
解 建立坐标系如图，
取x为积分变量， x[0,5]
点击图片任意处播放\暂停
o
x xdx
取 任 一 小 区 间 [x,xd],x
5
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x
6
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
这一薄层水的质量为 32dx
功元素为 dw gx32d,x
d w 9.8x130 3 2dx
这里 是水的密度．若有一面积为 A 的平面薄板水平
地放置在水深为 h 处，则该薄板一侧所受的水压力为 F p A．
如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点
处压强 p 不相等，那么平板一侧所受的水压力就不
能直接使用此公式，而采用“微元法”思想．
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10
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
以x为积分变量 ，积分区间[是 2a,3a]. x
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第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
在[2a,3a]上任取小 [x,x区 d间 x],
面积元素 dA (6a2x)d,x
o
y
压力元素
2a
dF x(6a2x)dx
2a B(2a,2a)
a
薄板一侧所受的压力
A(3a,0)
F 3ax(6a2x)dx 2a
发射到距地心H处需作的功
WH
H R
GrM2 mdrGMmR1
1 H
使飞船脱离地球引力场，即相当于
把飞船发射到无穷远处，所需作功
WlimGMm 11 GMm
H
R H编辑ppt R
r
mH R
Mo
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第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
在地球表面地球对物体的引力就是重力
即
mg
GMm R2 ,
则有 mgR GMm,
R
因而 WmgR.
发射宇宙飞船所作的功等于飞船飞行时的动能，有
mgR 1mv2 2
r
mH
v 2gR 29.863 7113 0
R
1.12(km /s)
这就是第二宇宙速度． 编辑ppt
Mo
9
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
二、液体的压力
由物理学知道，在水深为 h 处的压强为 p h ，
r a 处沿 r 轴移动到 r b 处时，计算电场力 F 对
它所作的功．
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4
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
解 取r为积分变量， q
积分区间是 [a,b],
• o
a• r1 r dr b r
在[a,b]上任取小区间[r, r dr], 得功元素 dw kr2qdr,
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
一、变力沿直线所作的功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中
有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力的方向与
物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离 s
时，力F 对物体所作的功为W F s.
如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，那 么就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想.
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o
x
xdx
x
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第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
一端侧面的压力元素为
dF2x R2x2dx
一端侧面上所受的压力
F R2x R2x2dx 0 RR 2 x 2 d (R 2 x 2 ) 0
32
R2x2 30R
2
3
R3.
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第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
即 dw8.82104xdx
o
x xdx
5Fra Baidu bibliotek
x
w 58.82104xdx
0
8.82104
x2 2
5
0
3.462106 (J)．
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第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例3] 使宇宙飞船脱离地球引力的速度叫第二宇宙 速度，计算第二宇宙速度.
解 与例1类似，克服地球引力把飞船从地面R处发
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
【授课时数】
总时数：2 学时。
【学习目标】
1、会求变力沿直线所作的功、液体静压力； 2、会用定积分求连续函数的平均值。
【重、难点】
重点：用元素法求变力沿直线所作的功和液体的
静压力，由定积分的元素法引出。
难点：正确使用定积分的元素法求变力沿直线所
作的功和液体的静压力，由实例讲解方法。