1.2 晶体结构(对称性 倒空间)

32种点群分布
晶系 第一位 可能对称元 素 三斜 单斜 正交 四方 1, `1 2,m,2/m 2，m 4,`4 ,4/m 方向 任意 Y X Z 无 无 2，m
国际符号/Hermann-Mauguin 符号
第二位 第三位 方向 可能对称元 素 无 无 Y X 2，m 无， 2，m Z 底对 角线 方向 1, `1 2,m,2/m 222,mm2,mmm 4,`4 ,4/m，422， 4mm, `42m, 4/mmm 点群
对称轴图示
8二次轴 单斜
9三次轴 10四次轴 11六次轴 对称轴所构成的对称配置投影符号：
C1 (1)
C2 (2)
C3 (3)
C4 (4)
C6 (6)
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对称面(II类 )
反映（symmetry plane）：一假想的平面，称为反映面或镜面。 反映操作是从空间某一点向反映面引垂线，并延长该垂线到反映 面的另一侧，在延长线上取一点，使得到反映面等距 国际符号：m
14种Bravais空间点阵
空间点阵按点群对称性和带心的模式一共可以产生14种型式， 称为14种Bravais点阵或Bravais格子，Bravais点阵表示出所属 空间群的平移子群。 每种晶系最多可构成5种空间点阵， 1．简单点阵（P） 2．底心点阵（Ａ,Ｂ,C）(0.5,0.5,0),(0,0.5, 0.5)或(0.5,0,0.5) 3．面心点阵（F）(0.5,0,0),(0,0.5, 0)和(0,0,0.5) 4．体心点阵（I） (0.5,0.5,0.5) 5. 菱形点（R） ( 2/3,1/3,1/3),(1/3,2/3,2/3) 1) 简单三斜 (Triclinic)
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230 种空间群 space groups
空间群：由点群对称操作和平移对称操作组合而成；由 32 晶体 学点群与 14个Bravais 点阵组合而成； 空间群是一个单胞（包含单胞带心）的平移对称操作；反射、旋 转和旋转反演等点群对称性操作、以及螺旋轴和滑移面对称性操作 的组合。 晶体学中的空间群是三维周期性物体(晶体)变换成它自身的对称 操作(平移，点操作以及这两者的组合)的集合。一共有230种空间 群。 每种空间群唯一的对应一种晶体结构。自然界的晶体结构只能 有230种。 230 空间群符号 = Bravais点阵类型符号 + 点群对称元素
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六角（Hexagonal）
11) 六角 （P）
abc 90, 120
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固体物理
Solid State Physics
物理学与信息技术学院
第1讲 晶体结构 1 Crystals Structure
晶体结构 Crystal Structure 晶列、晶面 Crystals Array and Plane
对称性 Symmetry
倒易空间 Reciprocal Space
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，存在逆元素
，使
晶体对称性
对称性：若一个物体（或晶体图形）当对其施行某种规律的动 作以后，它仍然能够恢复原状（即其中点、线、面都与原始的点、 线、面完全重合）时，就把该物体（图形）所具有的这种特性称 之为“对称性”。 对称变换（对称操作）：借助某种几何要素，能使物体（或对 称图形）恢复原状所施行的某种规律的动作，就称为“对称变 换”。 对称要素（对称元素）：对物体（或图形）进行对称变换时所 借以参考的几何要素，称为“对称要素”。
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正交（Orthorhombic）
abc 90
4) 简单正交（P） 5) 底心正交（C） 6) 体心正交（I） 7) 面心正交（F）
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三角（Trigonal）
8) 三角 （R,P）
abc 90 120
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四方（Tetragonal）
9) 简单四方（P）
10) 体心四方 （I）
来自百度文库
abc 90
可能对称元 素
无， 2，m
三方
六方
3, `3
6,`6, 6/m
Z
Z
无， 2，m
无， 2，m
X
X
无
无， 2，m 底对 角线 面对 角线
3,`3, 32,3m,`3m
6,`6, 6/m,622, 6mm,`62m, 6/mmm 23,m3,432, `43m, m`3m
立方
2,m,4, `4
X
3,`3
体对 角线
旋转-反映
旋转反映 n/m，包括绕对称轴的逆 时针旋转360°/n，接着作垂直反射。
旋转-反映等效于旋转-反演，不能提 供新的操作
所以新的晶体学国际表中只用旋转反演
1/ m m,2/ m 1,3/ m 6,4/ m 4,6/ m 3
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4. 反演（center of symmetry）和对称操作：为一假想的几何点， 相应的对称变换是对于这个点的倒反。 第I类对称操作：保持手性不变，包括旋转和平移及其组合，这 里操作可在实践上付诸实施。 第II类对称操作：手性变化，包含奇数次反映或反演，在分子 重组的化学过程中可能完成，在实践上不一定付诸实施。
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立方体的对称操作
2) 绕6条面对角线轴转动 —— 共有6个对称操作
3) 绕4个立方体对角线
轴转动 —— 8个对称操作 4) 恒等变换 —— 1个对称操作 5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作 —— 立方体的对称操作共有48个 12立方1
a b c,
所属点群(P) 1, 1
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单斜（Monoclinic）
2) 简单单斜（P） 3) 底心单斜（C）
a b c, 90
2, m, 2 / m
旋转-反演
旋转-反演（Axis of inversion）：其对称操作是先进行旋转操 作(n)后立刻再进行反演操作，这样的复合操作称为记为 I类点操作和II点操作组合的复合操作，每一个操作本身不一定 是对称操作。 简称为倒反
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晶系 特征对称元素 三斜 反演中心 单斜 唯一的2次轴或镜面
正交 三个相互垂直的2次旋转轴或反轴。
三方 唯一的3次旋转轴或反轴。 四方 唯一的4次旋转轴或反轴。
六方 唯一的6次旋转轴或反轴。
立方 沿晶胞体对角线的四个3次旋转轴或 反轴
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晶体对称操作
1. 旋转对称性(Rotational Symmetry) 和对称操作：晶格围绕一固定 轴(二维：通过格点而且垂直平面；三维：晶向(Direction))转动角 度或以后，晶格保持不变。 2. 有限的平移对称性(Translational symmetry)：有限制的平移对 称操作是指平移任意的分立的矢量(discretized vectors ) Rl=l1al+l2a2+l3a3。 3.反映( symmetry plane) 和对称操作：晶格对一晶面(Lattice Plane)反射(二维：对通过格点的线进行反射)，晶格不变。
群的定义
假设G是由一些元素组成的集合，即G= {…，g，…}。 在G中定义
了一种二元合成规则(操作、运算，群的乘法)。 如果G对这种合成 规则满足以下四个条件： a)封闭性： G中任意两个元素的乘积仍然属于G。 b)结合律： c)单位元素。 集合G中存在一个单位元素e，对任意元素， d)可逆性。 对任意元素 则称集合G为一个群。
立方（Cubic）
12) 简单立方（P） 13) 体心立方（I） 14) 面心立方 （F）
abc 90
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14种Bravais 格子
1.简单三斜（P） 2.简单单斜（P） 3.底心单斜（C） 4.简单正交（P） 5.底心正交（C） 6.体心正交（I） 7.面心正交（F） 8.六角 （P） 9.三角 （R） 10.简单四角（P） 11.体心四角（I） 12.简立方 （P） 13.体心立方（b） 14.面心立方（F）
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对称中心(II类)
反演（center of symmetry, 符号C）：为一假想的几何点，相应 的对称变换是对于这个点的倒反。 (r -r)，国际符号：
7对称中心
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13立方2
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正四面体的对称操作
—— 金刚石晶格（Fd3m） 四个原子位于正四面体的四个顶 角上，正四面体的对称操作包含
在立方体操作之中
1) 绕三个立方轴转动 —— 共有3个对称操作
Diamond
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正四面体的对称操作
2) 绕4个立方体对角线轴转动
—— 8个对称操作 3) 恒等变换 —— 1个对称操作
4) 绕三个立方轴转动 /2，3/2 加中心反演 —— 6个对称操作
无， 2，m
http://metafysica.nl/derivation_32.html 以特征方向的对称性来表示
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晶系(The seven crystal systems)
晶系：按照晶胞的特征 对称元素可以分成7个不 同类型，称为晶系。 其晶格参数也具有不同 的特征
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1.对称轴
晶体对称定律（law of crystal symmetry）：在晶体中，只可能出现 轴次为1、2、3、4和6次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次 的对称轴。 国际符号：1，2，3，4，6 ：基转角； C D
n 360

：对称轴的轴次
AE mAB
mZ
A
B
E
m cos 2
2 AB cos
AC AB
m 2 2 1 0 0 0 360 180 120 n 1 2 3
0
90
0
1
60
0
4
6
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立方体的对称操作
对称操作 —— 一个物体在某一个正交变换下保持不变 —— 物体的对称操作越多，其对称性越高 1 立方体的对称操作 （Pm3m） 1) 绕三个立方轴转动

3 ,, 2 2
—— 9个对称操作