一元二次不等式恒成立的常见处理策略

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已知函数（ f x） x 2 +mx-1，若对任意x m, m 1， （ f x） 0恒成立，试求实数m的取值范围。
f ( m) 0 解析： f ( x) 0恒成立 f (m 1) 0
1 一元二次不等式在R上恒成立问题
2 一元二次不等式在给定区间上恒成立问题
3 (2013山东济南)设f ( x) x 1对任意x ， + ， 2 x 2 f ( ) 4m f ( x) f ( x 1) 4 f (m)恒成立(m 0)， m 求m的取值范围
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解法（一）设 : f ( x) x 2 2mx 2m 1
即求f ( x)的最小值f ( x)min 0即可
f ( x) x 2 2mx 2m 1(0 x 1), 对称轴x m
m 0 1 得 m 0 1 2 f (0) 2m 1 0
高中数学复习中的恒成立问题， 渗透着换元、化归、数形结合、函数 与方程等思想方法，有利于考查同学 们的综合解题能力。因此也成为历年 高考的一个热点。 一元二次不等式恒成立问题作为 恒成立问题的基础，具有举足轻重 的作用
一元二次不等式恒成立问题基 本策略是转化为研究函数单调性求 最值的问题
对于一切实数x不等式mx 2 2mx 2m 1 0 恒成立，求m的取值范围。
解析：设f ( x) mx 2 2mx 2m 1，
(1)m 0,1 0显然成立
m0 m 0 (2) 即 2 (2m) 4m(2m 1) 0 m 1或m 0
m 0
x 前面系数的讨论
类型1：设f ( x) ax 2 bx c, a 0
1 利用对勾函数性质可得m 2
类型：
一元二次不等式在给定区间上恒成立问题
（1）二次函数法 方法：
（2）分离参数法
对于实数m [0,1],不等式x 2 2mx 2m 1 0 恒成立，求x的范围
解析：原不等式转化为 f (m) 2( x 1)m ( x 2 1) 且在m [0,1]上f (m) 0恒成立
（ 1）f ( x) 0在x R上恒成立 a 0且 0
2
来自百度文库
（2）f ( x) 0在x R上恒成立 a 0且 0
类型：一元二次不等式在R上恒成立问题
方法： 化归为二次函数，数形结合
对于实数x [0,1], 不等式x 2 2mx 2m 1 0 恒成立,求实数m的取值范围。
解法（二）：原不等式化为x 2 1 2( x 1)m
(1)当x 1时不论m取何值1 0显然成立
x2 1 (2)当x 1时即x [0,1)时，不等式可化为 : m 2( x 1)
x2 1 设g x 2( x 1)
令t x 1(1 t 0) (t 1) 2 1 t 2 2t 2 t 1 则g t 1 2t 2t 2 t
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二次函数 参变分离 更换主元 数形结合
7 (2014广东)已知函数f ( x) 3 x -2mx 1, g ( x) | x | 4 若对任意x (1, 2), f ( x) g ( x), 求m的取值范围
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数学常见恒成立, 最值分析来考虑; 变量分离和图象, 往往也来共参与.
0 m 1 得0 m 1 2 2 f (m) -m 2m 1 0
m 1 得m 1 3 f (1) m 1 0
1 m 2
对于实数x [0,1], 不等式x 2 2mx 2m 1 0 恒成立,求实数m的取值范围。
2 f (0) x 1 0 根据题意有： 2 f (1) 2( x 1) ( x 1) 0 2 x +1 0 即： 得的取值范围为x R 2 x -2x +3 0
对于实数m 0,1 , x 2 2mx 2m 1 0 恒成立，求实数x的取值范围。