微观金融学基础11偏微分方程及其数值方法
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E = 1, F = −r
而且
B 2 − 4 AC = 0
所以现在可以知道，我们面对的是一个二阶齐次线性抛物型偏微分方程。听上去相当复 杂，我们接下来的任务就是一步一步揭开这种方程所蕴涵的实际物理意义，并得到求解它 的一般方法。 11．1．2 物理意义 一个二阶齐次线性抛物型偏微分方程究竟描述了什么样的一种现象呢？鉴于它最初的 来源和最广泛的应用都发生在热物理领域，我们不妨来看一下它的实验背景，这对于我们 理解这个方程将提供足够的洞察力。 根据日常生活的经验，我们知道当物体内部各处的温度不一致时，热量就会从高温处向 低温处传递，这被称为“热传导”现象。现在假定存在一导热物体，它在 3 维空间占据的 区域为 G ，边界面为 ∂G ，我们怎样才能知道它其中的某一部分的温度变化情况呢？用温度
Q=
Q = ∫∫∫ cρ [u ( x, y, z, t1 ) − u ( x, y, z, t 2 )]dV
D
u ( x, y, z, t 2 ) − u ( x, y, z, t1 ) =
∂u dtdV = ∂t
∫
t2
t1
∂u dt ∂t
∫∫∫ cρ ∫
D
t2
t1
dt ∫ ∫∫∫ cρ ∂t dV
t1 D t1
∂u
t2
∂ ∂u
∂ ∂u
∂ ∂u
D
+
dt ∫ ∫∫∫ F ( x, y, z, t )dV
t1 D
t2
即 11．1．11
cρ − k − − F ( x, y, z , t ) dV dt = 0 k − k ∫ ∫∫∫ ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u = a2 ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 ∂t
如果该物体是一长度为 l 的均匀细长杆，则热传导方程最简形式为：
Q2 = dt ∫ ∫∫∫ F ( x, y, z, t )dV
t1 D t2
根据热量守恒定律应有： 11．1．10 把上面 3 种热量代入守恒定律就有：
t2
Q = Q1 + Q2
11．1．11
dt = ∫ ∫∫∫ k + dV dt k + k ∫ ∫∫∫ cρ ∂t dV ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
cρ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u k = k + + F ( x, y , z , t ) + k ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
这就是温度函数应当满足的偏微分方程， 物理上称为各向同性介质有热源三维非齐次热 3 传导方程 。如果物体是均质的，则 k ， c 和 ρ 均为常数，令
第十一章 偏微分方程和数值方法
1
第十一章 偏微分方程和数值方法
7 基础微积分 7 线性代数 8 概率论 9 随机微积分 11 偏微分方程 10 鞅 11 数值方法
11．1 介绍 11．1．1 基本概念 11．1．2 物理意义 11．1．3 定解条件 11．2 解析方法 11．2．1 傅立叶变换 11．2．2 求解热传导方程 11．2．3 求解布莱克-休尔斯方程 11．3 有限差分方法
1
以下分析均假定 u 对 x, y , z 具有二阶连续偏导数，对 t 具有一阶连续偏导数。
第十一章 偏微分方程和数值方法
4
11．1．7
Q1 = −
dt ∫ ∫∫ k ∂n dS
t1 L
t2
∂u
应用奥斯托洛夫斯基-高斯(Ostrowski—Gauss)公式于上式中的曲面积分2，有 11．1．8
t1 D
t2
源自文库
∂u
2)通过 L 进入 D 的热量 Q1 。这里要使用热物理中的傅立叶(Fourier)热传导定律。该定律 证明了：在无穷小时间间隔 dt 内通过一个法矢量为 n 的无穷小曲面 dS ，流向 n 所指那一侧 的热量为： 11．1．6
dQ = − k ( x, y, z )
∂u dSdt ∂n
n
G D L
图 11-1 热量在物体内部的传导
下面我们分别决定这些热量，首先是: 1) D 内温度改变所需要的热量 Q 。假定物体的比热(使单位质量的物体温度改变 1 摄氏 度所需要的热量)为 c( x, y, z ) ，密度为 ρ ( x, y, z ) 。那么根据物理中的实验规律，无穷小体积 dV = dxdydz 的温度由 u ( x, y, z , t1 ) 升高到 u ( x, y, z , t 2 ) 所需要的热量 dQ 为： 11．1．2 dQ = cρ[u ( x, y, z, t1 ) − u ( x, y, z, t 2 )]dV 整个 D 由于温度改变需要的热量是： 11．1．3 根据牛顿-莱布尼兹公式 11．1．4 前式可以改写为 11．1．5
第十一章 偏微分方程和数值方法
2
11．1 介绍 11．1．1 基本概念 我们在第 4、9 和 10 章中都见到过著名的布莱克-休尔斯方程：
∂f ∂f 1 2 2 ∂ 2 f − rf = 0 + σ S + rS ∂S ∂t 2 ∂S 2
其中 S 是某种基础产品的价格， r 是无风险收益率， t 是时间， σ 是 S 的波动率， f 则 是基于 S 的衍生产品的价格。这个偏微分方程包含了衍生产品价格运动信息，是对所有基 础产品和基于它的衍生产品之间相对价格运动形式的高度概括。它在金融理论中的重要性， 无论如何强调都不过分。 就其本身而言，这是一个有着两个自变量的偏微分方程，这种偏微分方程的更一般形式 为： 11．1．1 Af SS + Bf St + Cf tt + Df S + Ef t + Ff = G 该方程有这样几个特征： ∂2f 1)它(被称为)是二阶的，因为(如果)它的最高阶是 2 ； ∂S 2)它(被称为)是齐次的，因为(如果) G ( S , t ) = 0 ； 3)它(被称为)是线性的，因为(如果)A、B、C、D 这些系数只是自变量 S 和 t 的函数。 二阶线性偏微分方程有不少类别， 数学上对二阶线性偏微分方程的最重要的分类方式受 到解析几何中对二次曲线：
完整学习有着数百年知识积淀的偏微分方程理论本身是一项艰巨和耗费时日的工作。 幸 运的是：在我们所关注的微观金融领域，几乎所有被用到的偏微分方程都只属于其中一个 很小的类别——二阶线性偏微分方程。因此这一章的设计思想(用软件行业的术语来说)是 完全面向任务的，目标很明确：求解布莱克-休尔斯方程。 我们这样安排本章的结构：首先了解一下偏微分方程的数学表达形式，并在直观的热物 理背景下，讨论偏微分方程的定解问题。然后使用经典的傅立叶变换(Fourier transform)技术 来求出一般热传导方程的解析解，这就使我们可以遵循布莱克-休尔斯(1973)的方法求解布 莱克-休尔斯偏微分方程获得期权价格。但是由于获得解析解的机会并不多，因此我们要学 习偏微分方程的数值解法(numerical method)——有限差分方法(finite difference method)。 此外根据风险中性定价原理和费曼-卡茨(Feynman-Kac)理论，布莱克-休尔斯方程还有一种 概率解。但是获得这种概率解同样需要一种被称为蒙特卡罗的数值方法，因此本章最后我 们要考察日益重要的这种计算机模拟(simulation)技术。
t1 t2
∂u
∂ ∂u
∂ ∂u
∂ ∂u
V
由于时间间隔 [t1 , t 2 ] 以及区域 D 是任取的，如果上式积分号下的函数是连续的，则在任 意时刻该物体内任意点，上式中的三重积分必恒等于 0。所以在我们所考察的空间范围和时 间范围内恒有： 11．1．13
第十一章 偏微分方程和数值方法
3
函数 u ( x, y, z, t ) 表示该物体在 t 时刻和 ( x, y, z ) 位置的温度，我们来建立该温度函数需要满足 的关系式1。 根据热量守恒 设想从物体 G 内任意割取一个由光滑曲面 L 所围成的区域 D (见图 11-1)。 定律，D 内各点的温度由任一时刻 t1 的 u ( x, y, z, t1 ) 改变为 t 2 时刻的 u ( x, y, z, t 2 ) 所吸收(或释放) 的热量 Q ，应当等于从 t1 到 t 2 时间内通过 L 进入(或流出) D 内的热量 Q1 和 D 内热源提供的 热量 Q2 的总和。
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
的分类方法的启发。 我们知道根据上面曲线方程的系数可以判断二次曲线的形状究竟是双曲线、 抛物线或者 椭圆。在这里类似的，在方程 11．1．1 中： 1)如果 B 2 − 4 AC > 0 ，就称之为双曲型(hyperbolic)偏微分方程； 2)如果 B 2 − 4 AC = 0 ，则称之为抛物型(parabolic)偏微分方程； 3)如果 B 2 − 4 AC < 0 ，则称之为椭圆型(elliptic)偏微分方程。 对于布莱克-休尔斯方程，因为有： A = 1 / 2σ 2 S 2 B=C =G=0 D = rS
Q1 = k + dV dt = 0 k + k ∫ ∫∫∫ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
t1 t2
∂ ∂u
∂ ∂u
∂ ∂u
D
3)最后是热源提供的热量 Q2 。物体内部可能存在热源，令物体内的热源密度(即单位时 间从单位体积内放出的热量)为 F ( x, y, z, t ) > 0 ，则在时间 [t1 , t 2 ] 内物体热源所产生的热量为： 11．1．9
其中 k ( x, y, z ) 是该物体在点 ( x, y, z ) 处的热传导系数。它恒为正，数值大小取决于组成物 n 是曲面的外法线， ∂u / ∂n 是温度函数在 ( x, y, z ) 处沿外法线 n 的方向导数。 体的材料的性质； 我们规定 n 所指的那一侧为 dS 的正侧， 因此该式表示了在 dt 时间内从 dS 的负侧流向正侧的 热量。之所以用负号表示热流的方向与温度梯度方向相反，因为热量总是从温度高的一侧 流向温度低的一侧。 设在其上确定了一连续变动的单位外法线 n ， 则在两个时刻 t1 和 现考虑光滑封闭曲面 L ， t 2 内，经由该物体内任意封闭曲面 L 进入 D 的热量为：
a 2 = k / cρ
则上述方程简化为： 11．1．14
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u = a2 ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 + f ( x, y, z, t ) ∂t
其中 f = F / cρ 。在没有热源的情况下，就是说 F ( x, y, z, t ) = 0 ，上述方程可以进一步简 化为齐次方程： 11．1．15
11．3．1 概述 11．3．2 显性差分方法 11．3．3 隐性差分方法 11．3．4 柯兰克-尼克尔森方法 11．4 蒙特卡罗方法 11．4．1 柯尔莫格罗夫方程 11．4．2 费曼-卡茨公式 11．4．3 蒙特卡罗模拟 11．4．4 期权定价
本章的学习目标为： 了解布莱克-休尔斯方程所属的二阶偏微分方程的类型 了解热传导方程的推导过程和它代表的物理意义 理解偏微分方程所附带的边界条件和初始条件的具体形式和现实意义 熟悉傅立叶变换方法及其主要性质 熟悉用傅立叶积分变换来求热传导方程 掌握通过变量代换来求解布莱克-休尔斯方程 了解求解偏微分方程的主要几种有限差分格式以及各自的优缺点 掌握柯尔莫格罗夫方程的推导过程，并理解扩散过程和数学期望之间的联系 掌握费曼-卡茨定理并了解它同风险中性定价之间的关系 了解产生随机数、随机分布和随机过程的技术方法 掌握使用蒙特卡罗模拟技术计算期权的实际操作方法和两种算法优化技术
而且
B 2 − 4 AC = 0
所以现在可以知道，我们面对的是一个二阶齐次线性抛物型偏微分方程。听上去相当复 杂，我们接下来的任务就是一步一步揭开这种方程所蕴涵的实际物理意义，并得到求解它 的一般方法。 11．1．2 物理意义 一个二阶齐次线性抛物型偏微分方程究竟描述了什么样的一种现象呢？鉴于它最初的 来源和最广泛的应用都发生在热物理领域，我们不妨来看一下它的实验背景，这对于我们 理解这个方程将提供足够的洞察力。 根据日常生活的经验，我们知道当物体内部各处的温度不一致时，热量就会从高温处向 低温处传递，这被称为“热传导”现象。现在假定存在一导热物体，它在 3 维空间占据的 区域为 G ，边界面为 ∂G ，我们怎样才能知道它其中的某一部分的温度变化情况呢？用温度
Q=
Q = ∫∫∫ cρ [u ( x, y, z, t1 ) − u ( x, y, z, t 2 )]dV
D
u ( x, y, z, t 2 ) − u ( x, y, z, t1 ) =
∂u dtdV = ∂t
∫
t2
t1
∂u dt ∂t
∫∫∫ cρ ∫
D
t2
t1
dt ∫ ∫∫∫ cρ ∂t dV
t1 D t1
∂u
t2
∂ ∂u
∂ ∂u
∂ ∂u
D
+
dt ∫ ∫∫∫ F ( x, y, z, t )dV
t1 D
t2
即 11．1．11
cρ − k − − F ( x, y, z , t ) dV dt = 0 k − k ∫ ∫∫∫ ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u = a2 ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 ∂t
如果该物体是一长度为 l 的均匀细长杆，则热传导方程最简形式为：
Q2 = dt ∫ ∫∫∫ F ( x, y, z, t )dV
t1 D t2
根据热量守恒定律应有： 11．1．10 把上面 3 种热量代入守恒定律就有：
t2
Q = Q1 + Q2
11．1．11
dt = ∫ ∫∫∫ k + dV dt k + k ∫ ∫∫∫ cρ ∂t dV ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
cρ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u k = k + + F ( x, y , z , t ) + k ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
这就是温度函数应当满足的偏微分方程， 物理上称为各向同性介质有热源三维非齐次热 3 传导方程 。如果物体是均质的，则 k ， c 和 ρ 均为常数，令
第十一章 偏微分方程和数值方法
1
第十一章 偏微分方程和数值方法
7 基础微积分 7 线性代数 8 概率论 9 随机微积分 11 偏微分方程 10 鞅 11 数值方法
11．1 介绍 11．1．1 基本概念 11．1．2 物理意义 11．1．3 定解条件 11．2 解析方法 11．2．1 傅立叶变换 11．2．2 求解热传导方程 11．2．3 求解布莱克-休尔斯方程 11．3 有限差分方法
1
以下分析均假定 u 对 x, y , z 具有二阶连续偏导数，对 t 具有一阶连续偏导数。
第十一章 偏微分方程和数值方法
4
11．1．7
Q1 = −
dt ∫ ∫∫ k ∂n dS
t1 L
t2
∂u
应用奥斯托洛夫斯基-高斯(Ostrowski—Gauss)公式于上式中的曲面积分2，有 11．1．8
t1 D
t2
源自文库
∂u
2)通过 L 进入 D 的热量 Q1 。这里要使用热物理中的傅立叶(Fourier)热传导定律。该定律 证明了：在无穷小时间间隔 dt 内通过一个法矢量为 n 的无穷小曲面 dS ，流向 n 所指那一侧 的热量为： 11．1．6
dQ = − k ( x, y, z )
∂u dSdt ∂n
n
G D L
图 11-1 热量在物体内部的传导
下面我们分别决定这些热量，首先是: 1) D 内温度改变所需要的热量 Q 。假定物体的比热(使单位质量的物体温度改变 1 摄氏 度所需要的热量)为 c( x, y, z ) ，密度为 ρ ( x, y, z ) 。那么根据物理中的实验规律，无穷小体积 dV = dxdydz 的温度由 u ( x, y, z , t1 ) 升高到 u ( x, y, z , t 2 ) 所需要的热量 dQ 为： 11．1．2 dQ = cρ[u ( x, y, z, t1 ) − u ( x, y, z, t 2 )]dV 整个 D 由于温度改变需要的热量是： 11．1．3 根据牛顿-莱布尼兹公式 11．1．4 前式可以改写为 11．1．5
第十一章 偏微分方程和数值方法
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11．1 介绍 11．1．1 基本概念 我们在第 4、9 和 10 章中都见到过著名的布莱克-休尔斯方程：
∂f ∂f 1 2 2 ∂ 2 f − rf = 0 + σ S + rS ∂S ∂t 2 ∂S 2
其中 S 是某种基础产品的价格， r 是无风险收益率， t 是时间， σ 是 S 的波动率， f 则 是基于 S 的衍生产品的价格。这个偏微分方程包含了衍生产品价格运动信息，是对所有基 础产品和基于它的衍生产品之间相对价格运动形式的高度概括。它在金融理论中的重要性， 无论如何强调都不过分。 就其本身而言，这是一个有着两个自变量的偏微分方程，这种偏微分方程的更一般形式 为： 11．1．1 Af SS + Bf St + Cf tt + Df S + Ef t + Ff = G 该方程有这样几个特征： ∂2f 1)它(被称为)是二阶的，因为(如果)它的最高阶是 2 ； ∂S 2)它(被称为)是齐次的，因为(如果) G ( S , t ) = 0 ； 3)它(被称为)是线性的，因为(如果)A、B、C、D 这些系数只是自变量 S 和 t 的函数。 二阶线性偏微分方程有不少类别， 数学上对二阶线性偏微分方程的最重要的分类方式受 到解析几何中对二次曲线：
完整学习有着数百年知识积淀的偏微分方程理论本身是一项艰巨和耗费时日的工作。 幸 运的是：在我们所关注的微观金融领域，几乎所有被用到的偏微分方程都只属于其中一个 很小的类别——二阶线性偏微分方程。因此这一章的设计思想(用软件行业的术语来说)是 完全面向任务的，目标很明确：求解布莱克-休尔斯方程。 我们这样安排本章的结构：首先了解一下偏微分方程的数学表达形式，并在直观的热物 理背景下，讨论偏微分方程的定解问题。然后使用经典的傅立叶变换(Fourier transform)技术 来求出一般热传导方程的解析解，这就使我们可以遵循布莱克-休尔斯(1973)的方法求解布 莱克-休尔斯偏微分方程获得期权价格。但是由于获得解析解的机会并不多，因此我们要学 习偏微分方程的数值解法(numerical method)——有限差分方法(finite difference method)。 此外根据风险中性定价原理和费曼-卡茨(Feynman-Kac)理论，布莱克-休尔斯方程还有一种 概率解。但是获得这种概率解同样需要一种被称为蒙特卡罗的数值方法，因此本章最后我 们要考察日益重要的这种计算机模拟(simulation)技术。
t1 t2
∂u
∂ ∂u
∂ ∂u
∂ ∂u
V
由于时间间隔 [t1 , t 2 ] 以及区域 D 是任取的，如果上式积分号下的函数是连续的，则在任 意时刻该物体内任意点，上式中的三重积分必恒等于 0。所以在我们所考察的空间范围和时 间范围内恒有： 11．1．13
第十一章 偏微分方程和数值方法
3
函数 u ( x, y, z, t ) 表示该物体在 t 时刻和 ( x, y, z ) 位置的温度，我们来建立该温度函数需要满足 的关系式1。 根据热量守恒 设想从物体 G 内任意割取一个由光滑曲面 L 所围成的区域 D (见图 11-1)。 定律，D 内各点的温度由任一时刻 t1 的 u ( x, y, z, t1 ) 改变为 t 2 时刻的 u ( x, y, z, t 2 ) 所吸收(或释放) 的热量 Q ，应当等于从 t1 到 t 2 时间内通过 L 进入(或流出) D 内的热量 Q1 和 D 内热源提供的 热量 Q2 的总和。
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
的分类方法的启发。 我们知道根据上面曲线方程的系数可以判断二次曲线的形状究竟是双曲线、 抛物线或者 椭圆。在这里类似的，在方程 11．1．1 中： 1)如果 B 2 − 4 AC > 0 ，就称之为双曲型(hyperbolic)偏微分方程； 2)如果 B 2 − 4 AC = 0 ，则称之为抛物型(parabolic)偏微分方程； 3)如果 B 2 − 4 AC < 0 ，则称之为椭圆型(elliptic)偏微分方程。 对于布莱克-休尔斯方程，因为有： A = 1 / 2σ 2 S 2 B=C =G=0 D = rS
Q1 = k + dV dt = 0 k + k ∫ ∫∫∫ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
t1 t2
∂ ∂u
∂ ∂u
∂ ∂u
D
3)最后是热源提供的热量 Q2 。物体内部可能存在热源，令物体内的热源密度(即单位时 间从单位体积内放出的热量)为 F ( x, y, z, t ) > 0 ，则在时间 [t1 , t 2 ] 内物体热源所产生的热量为： 11．1．9
其中 k ( x, y, z ) 是该物体在点 ( x, y, z ) 处的热传导系数。它恒为正，数值大小取决于组成物 n 是曲面的外法线， ∂u / ∂n 是温度函数在 ( x, y, z ) 处沿外法线 n 的方向导数。 体的材料的性质； 我们规定 n 所指的那一侧为 dS 的正侧， 因此该式表示了在 dt 时间内从 dS 的负侧流向正侧的 热量。之所以用负号表示热流的方向与温度梯度方向相反，因为热量总是从温度高的一侧 流向温度低的一侧。 设在其上确定了一连续变动的单位外法线 n ， 则在两个时刻 t1 和 现考虑光滑封闭曲面 L ， t 2 内，经由该物体内任意封闭曲面 L 进入 D 的热量为：
a 2 = k / cρ
则上述方程简化为： 11．1．14
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u = a2 ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 + f ( x, y, z, t ) ∂t
其中 f = F / cρ 。在没有热源的情况下，就是说 F ( x, y, z, t ) = 0 ，上述方程可以进一步简 化为齐次方程： 11．1．15
11．3．1 概述 11．3．2 显性差分方法 11．3．3 隐性差分方法 11．3．4 柯兰克-尼克尔森方法 11．4 蒙特卡罗方法 11．4．1 柯尔莫格罗夫方程 11．4．2 费曼-卡茨公式 11．4．3 蒙特卡罗模拟 11．4．4 期权定价
本章的学习目标为： 了解布莱克-休尔斯方程所属的二阶偏微分方程的类型 了解热传导方程的推导过程和它代表的物理意义 理解偏微分方程所附带的边界条件和初始条件的具体形式和现实意义 熟悉傅立叶变换方法及其主要性质 熟悉用傅立叶积分变换来求热传导方程 掌握通过变量代换来求解布莱克-休尔斯方程 了解求解偏微分方程的主要几种有限差分格式以及各自的优缺点 掌握柯尔莫格罗夫方程的推导过程，并理解扩散过程和数学期望之间的联系 掌握费曼-卡茨定理并了解它同风险中性定价之间的关系 了解产生随机数、随机分布和随机过程的技术方法 掌握使用蒙特卡罗模拟技术计算期权的实际操作方法和两种算法优化技术