3.1.1空间向量及其加减运算课件

(1) AB1 A1D1 C1C xAC
解(1) AB1 A1D1 C1C
D1
AB1 B1C1 C1C A1
C1 B1
AC x 1.
D A
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
C B
(3) AC AB1 AD1 x AC1
变式2 ：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
| AB | AB AB ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
dAB | AB | ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
4.设 A (x1, y1, z1), B (x2 , y2 , z2 )
则 AB ＝
，AB
．
AB的中点M的坐标为
a // b(b 0) 有且只有一个实数 ，
使 a b
思考：这个定理有什么作用？
1、判定两个向量是否共线 2、判定三点是否共线
3.1.3 空间向量的数量积
回顾：平面向量数量积定义：
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为 θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b的数
量积（或内积），记作a·b.
空间向量中 还成立吗？
8
3、空间向量的加法运算律
⑴加法交换律：
空间向量中显然成立
ab ba
⑵加法结合律：(a b) c a (b c)
a a
b +c
b
c
b
c
9
例 1.化简下列各式： ⑴ AB BC CA ; ⑶ AB AC BD CD;
⑵ AB MB BO OM ; ⑷ OA OD DC .
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R) ; a b a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
二、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式 | a |2 a a a12 a22 a32
C .a,2b，b－c
D．c，a＋c，a－c
练习 2 已 知ABCD A'B'C'D'是 棱 长 为2的 立 方 体
E、F分 别 是BB'和DC的 中 点 ， 建 立 如 图
所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系， 试 写 出 图 中 各 点 z
的坐标。
·
D’
C’
A’
B’
F
E C
D
y
A
B
x
例2、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0
时，夹角在什么范围内？
（3）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、 B( x2 , y2 , z2 )，则
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
4
空间向量的加减运算和平面有什么联系？
思考1：在平面中，一个向量经过平移后和原向量相等，在 空间向量中呢？
思考2：空间任意两个向量都可以平移成过空间任意一点的 两个向量吗？
思考3：空间两个向量的加减运算能否转化为平面内两个向 量的运算？
b a
O
结论：空间任意两个向量的运算都
可转化为共面向量的运算.
⑴AB BC；
D’
⑵AB AD AA'；
A’
解：⑴AB BC AC
⑵AB AD AA'
AC AA' AC CC'
AC'
D A
C’ B’
C B
变式 1：在上图中，用 AB,AD,AA ' 表示 AC,BD 和 DB .
D’ A’
C’ B’
D A
C
B
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变式2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
A1A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
An
A2 A1 7
3、空间向量的加法运算律
回顾：平面向量的加法运算律
⑴加法交换律： a b b a
⑵加法结合律： (a b) c a (b c)
思考：空间任意两个向量可都转化 为共面向量，那么空间任意三个向 量也都能转化为共面向量吗？
②a b ab 0;
2 2
③ a aa a 也就是说 a
2
a
.
注： 性质② 是证明两向量垂直的依据； 性质③ 实现了向量与向量模之间的转换；
例2.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）
已知:如图, PO 、PA 分别是平面 的垂线、斜线， AO 是 PA 在平面 内的射影， l ，且 l OA ，
求证： l PA
分析：用向量来证明两直线 垂直，只需证明两直线的方 向向量的数量积为零即可！
P O A
l
例2.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）
已知:如图, PO 、PA 分别是平面 的垂线、斜线，
AO 是 PA 在平面 内的射影， l ，且 l OA ，
三、空间向量的正交分解及其坐标表示
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z
由空间向量基本定理，对于空 间任一向量 p 存在唯一的有序
实数组(x,y, z)使
p xi yj zk
PP k
记作
p
=(x,y,z)
iO
y
j
x
P′
• 1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能
构成一个基底的一组向量是( )
A.2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋2a
1 0
2 AB
3 0 4 CA
10
变式：化简下列各式： ⑸ OA OC BO CO ; ⑹ AB AD DC ; ⑺ NQ QP MN MP .
5 BA
6 CB 7 0
11
例题
例2 已知平行六面体ABCD A' B 'C ' D '，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量：
求证： l PA
证明：取直线l的方向向量 a,同时取向量 PO, OA
l OA,aOA 0
P
PO ,且l ,l PO
a PO 0
O A a l
又因为
a
PA
a
PO
OA
a
PO
a
OA
0
所以，l PA
25
4.如图，在空间四边形 ABCD 中，AB 2 ，BC 3 ，BD 2 3 ，CD 3 ，
．
例1.设 a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．
(1)若(k a ＋ b )∥( a－3 b)，求 k；
(2)若(k a ＋ b)⊥( a－3b )，求 k .
例 3 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E ，F 分别是 BB1 ，D1B1 中点，求证： EF DA1
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1，
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b .
即 a b a b cosa, b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
3.两个空间向量数量积的性质
显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向 量有下列性质:
① a e a cos a, e ；
分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz ，
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F (1 , 1 , 1)
2
22
所以 EF ( 1 , 1 , 1 ) ， 2 22
又 A1(1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ，
单位正交基底：如果空间的一个基底的三 个基向量互相垂直，且长都为1，则这个
基底叫做单位正交基底,常用{i, j, k}表示
c
p
b
a
二、空间直角坐标系
基以底i在,空ji,间,kj选, k定的一正,点方以O向点和建O一为立个原三单点条位，数正分轴交别：
x轴、y轴、z轴,这样就建立了一个空 间直角坐标系O—xyz.
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ a a, b =0 时, a 与 b 同向;
b
a, b =π 时, a 与 b 反向
A
a
B
b
⑵ a, b＝b, a
⑶如果 a, b ,则称 a 与 b 垂直,记为 a b
2
2.两个空间向量的数量积定义 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
| b |2 b b b12 b22 b32
注意：此公式的几何意义是表示长方体 的对角线的长度。
2.两个向量夹角公式
cos a,b a b | a || b |
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
;
a12 a22 a32 b12 b22 b32
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向； （2）当 cos a , b 1时，a 与 b 反向；
1 ABD
30
， ABC
60
，求
AB 与 CD 的夹角的余弦值新疆 王新敞 奎屯
2
A
B
D
C
26
3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示
一、空间向量基本定理:
如果三个向量 a 、b 、c 不共面,那么对于空间任一向
量 p , 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 x, y, z 使
p xa yb zc .
a·b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
类似地，空间向量是否也有相应的数量积运算 呢？
20
1.两个空间向量的夹角的定义:
如图,已知两个非零向量 a 、b ,在空间任取一点 O ,作 OA a , OB b ,则角 AOB 叫做向量 a 与
b 的夹角,记作: a, b . 起点相同
{a, b, c} 叫做空间的一个基底
a, b, c都叫做基向量
如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空 间任一个向量p，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk.我们称xi,yj,zk为向量p在i,j,k 上的分向量。
z
k O
j
P
y
i
x
Q
二、空间直角坐标系
正交基底：空间的一个基底的三个 基向量互相垂直。
2
3
2
3
6
1
OA
1 OB
1 OC
3
6
6
3.1.5空间向量运算的 坐标表示
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3)则 a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 ) ; a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 ) ;
a (a1,a2,a3),( R) ;
5
空间向量的加减运算
• 平行四边形法则 • 三角形法则
b
a
b ab a
ab a
b
ab
b
a
6
推广: （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即
A1 A2 A2 A3 AA1 3 A4 An1 An A1An
An A2
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则这些向量的和为零向量，即
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算 第1课时 空间向量及其加减运算
1
复习回顾：平面向量
1.定义： 既有大小又有方向的量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。
相等向量：长度相等且方向相同的向量
B
A
D
C
平面中存在向量,空间中是否也有向量?
与平面向量一样，实数与空间向量a的积仍然是 一个向量，记作 a，它的长度和方向规定如下：
(1) a a
(2) 当 0时，a的方向与a的方向相同；
当特别地0时，，当a的方0或向a与a0的时方，向a相 反0 .；
以上运算称为空间向量的数乘运算.
17
（4）空间共线向量定理：
对空间任意两个向量 a,b(b 0),
BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量
OA,OB,OC 表示 OP 和 OQ 。
O
解 : OP OM MP 1 OA 2 MN
2
3
M
1
OA
2 (ON
1 OA)
2
3
2
1 OA 1 OB 1 OC
6
3
3
A
Q
C
P
OQ OM MQ 1 OA 1 MN
2
3
N B
1 OA 1 (ON 1 OA) 1 OA 1 (OB OC )
F3
已知F1=2000N,
F2
F1
F2=2000N,F3=2000N,
这三个力两两之间
的夹角都为600,
它们的合力的大小 为多少N?
这需要进一步来认识空间中的向量 ……
2、空间向量的加法和减法运算法则
回顾：平面向量的加、减法运算法则：
b
a
向量加法的平行四边形法则
b
a
向量加法的三角形法则
b
a
向量减法的三角形法则
(2) 2AD1 BD1 xAC1 (3) AC AB1 AD1 xAC1
(2) 2AD1 BD1 AD1 AD1 BD1 AD1 (AD1 D1B) AD1 AB
AC1
x 1.
D1 A1
D
C1 B1
C
A
B
3.1.2 空间向量的数乘运算
一、空间向量的数乘运算定义：