计算物理 参考资料 pb14203265 苏廷玉

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Chapter 1: 随机数

a. Monte Carlo: 实际上，它是采用随机数于各种物理计算和模拟实验，以类似于赌博中掷骰子的方法来

随机决定其中某个单独事件的结果.

b. 随机数产生器质量：1.长周期 2.相关性小 3.速度快

一个随机数序列并非是永不重复的，在经过一个周期后，其序列将再次形成一个循环重复，因此需要有长的循环周期；有良好的随机性，也就是说，随机数序列中的所有随机数之间没有大的关联，或自相关函数的值很小；速度快。 c.

线性同余法：I n+1=(aI n +b)mod m 16807:a=16807 b=0 m=231?1=2147483467 b 是否为0，实际效果一样

d. 检验：1均匀性是指在[0,1]区间内等长度子区间中随机数的数量是一样的2独立性是指按先后顺序出

现的随机数中，每个随机数的取值与其相距一定间隔的随机数取值之间无关

k,k 抽样

a. 直接抽样：ξ=∫p(t)dt x

a ?x =x(ξ) , ξ为[0,1]均匀分布随机数。1-ξ, ξ 等价可互换。 b.

Box Muller ：

C ．舍选抽样：

D ．定积分： 1.平均值法

2.重要抽样：

BOX MULLER

比较函数F(x)处处比p(x)大，

误差：

弱点：f(x)变化剧烈时 效率低，精度差。改进：带权重，提取法。

提取：构造一个与被积函数f(x)形状相似的and 积分值已知的g(x)

随机行走

a.布朗运动：观察涨落的结果；=2Dt 一维；D=k b T/α 扩散系数；

(t)>=2Dt

b.一维RW ：

扩散角度：

C. SAW ：与历史相交即死；与历史有关非Markov ；高维情况衰减迅速；

D. GSAW ：自动回避，但有时进死胡同。指数υ

权重法：

E ．径向分布函数：

√=r

rms =lN 0.5

f d d=4，与RW 已无差别

边缘维数：从复杂行为向简单行为的转变。

生长

a. Eden ：不断从集团周围生长；无扩散，紧凑。b .弹道聚集：弹道沉积模型，有分叉；修改版，更加紧凑； c.

DLA ：尖端处长的快，有屏蔽效应；电化学沉积法；d. Laplace 生长：Δφ=0 从周围已一定速率向中心输送粒子。

逾渗问题：来自介质本身的无归性

a.

逾渗阈值：系统的成分或某种广义的密度变化达到一定值（逾渗阈值）时突然发生存在一个尖锐的转变。在转变点，系统的长程连接性突然消失或是突然出现，许多重要的物理性质将以“是”或者“否”的方式发生性质上的突变。

b. 键逾渗：流体流动 座逾渗: 阈值更高，键逾渗较低，因为键的邻居更多。

D 参数：1.集团平均大小分布n(s)=大小为s 集团数/格点总数。 2.集团平均大小S =∑SW S =∑S 2n/∑sn ;w s =sn/∑sn 3. 平均跨越长度ξ 集团最大间距 平均

4. 当占据概率为p 时点阵上任一格点属于无限大集团的概率定义为逾渗概率

e. 相变：

d. 有限尺度标度：ξ-----L

标度指数：υ=0.5

γ=1

； ；

e.普适性：逾渗类型；一定纬度下，格点方式（点阵几何结构）；

f.标度律：2β+γ=υd边缘维数d：大于时，可用平均场代替

g.重整化：

B=b=N1/d

在此处键入公式。

Chapter2:

A

．相空间：相空间中的一个点代表力学体系的微观状态

B．系宗：系综因此定义为是由大量性质完全相同的力学体系而构成的，每个体系各处在某一运动状态而且是独立的

?ρ

?t

=0平衡态

C．刘维尔：随着代表点而运动的观察者来看，代表点的局域密度是不随时间变化的d =0

根源。这说明，系统知道这时将有重要的事情发生。但是，一级相变是突然发生的，没有任何其他信息表

明系统的状态将要发生变化。缺少这样的信息同时也暗示了，相变前后的状态是截然不同的

Ising：在一维下Ising 模型没有相变解。磁场的作用是使系统有序，而温度使它趋于无序。

正是这两种相反的竞争力导致自旋点阵上的有序—无序转变。二维模拟：一级相变

模拟退火：突然将温度升至高温，再进行构型变化，高能态的接受几率显著增大，形象地来说，势能被温度抹平了。当

翻过能量极小值附近的峰后，再对系统逐步降温直到回到原来的温度值后，系统构型可以更可能地处在其低能的平衡态

迭代:混合：x n+1=αx n+(1?α)x n?1; f(x n+1)=f(αx n+(1?α)x n?1)=x n+2(newton,直接)

混沌：是一种确定性系统中出现的（或决定论规律所产生的）类似随机(混乱、无序)的过程(1)内随机性(2)分维性质(3)普适性

(1):这种随机性不是由外在因素引起的，而是由确定性系统内部产生的;局部不稳定性:系统运动的某些方面(如某些维度上)的行

为强烈地依赖于初始条件(2):但其非整数维不是用来描述系统的几何外形，而是用来描述系统运动轨道在相空间的行为特征

(3)Feigenbaum 常数：δ=(λm?λm?1)/(λm+1?λm)=4.669 α=d m/d m+1=2.502不依赖于迭代函数的普适常数

?ρ

?t

=0平衡

Markov 过程的基本性质，即t

时刻的状态完全决定了系统

的发展；系统在此之前的历史

发展轨迹的记忆没有保存

细致平衡：

通常是任意给定一个起始点产生，然后舍去

序列的初始段。同样可以将序列中任一部分

的抽样点舍去以减小抽样的强关联性，这个

步骤称为分布的热化处理。

吸引子是它的轨迹在充分长时间之后将渐近地收敛到的极限的状态或状态的集合.Strange : (1)对初始条件具有敏感的依赖性；(2)具有无限嵌套的自相似几何结构，具有分数维；(3)几何结构完全不随迭代方程的参数的变化而连续地变化 (4) Lyapunov 常数:λ′=ln(

dx n dx 0

)/n n 无限大；对混沌态的初值敏感性的定量判据：>0 :运动轨道在每个局部都不稳定，相邻轨道指

数分离，形成混沌吸引子;<0:每次迭代后轨道的差距愈来愈小对应于各个周期的运动状态.

分形（规则，不规则）：分形是局部和整体有某种方式相似的形。规则：D =ln N(ε)/ln (1/ε) (ε→0) N:数量 ε：单元 不规则：(1)Brown: a.任何维空间中随机行走的分维为2与欧几里得维数无关;b.访问格点数与维数有关，与N 关系不一样 (2)GSAW:回转半径R g ∝N 1/D D:分形维数 D=(d+2)/3 d ：几何维数 上限维数d=3 分维测量：a.圆规法：D =ln N(ε)/ln (1/ε) b.

D ． 盒计数法：减小网格尺寸

ε计数含图形象素 网格数N(ε) N(ε)~(1/ε)D f. Sandbox 法：尺寸r 不断增大的方框,计数不同方框中象素数N, N(r)~(r)D g.

各个分形（团簇）的面积 N 和回转半径 Rg ;N ~Rg D h.变换法：

元胞自动机：在一个由具有离散、有限状态的元胞组成的元胞空间上，按照一定局部规则，在离散的时间维上演化的动力学系统 特点：a.时间，空间，状态取值离散 b.演化的运算规则局域 Q2规则：Ising 模型，邻居自旋向上向下数一样时，翻转。 HPP:粒子数，动量守恒 FHP:解决HPP 各项同性 对初值敏感

微分方程

初值问题：有限差分法；Euler 法；多步法；蛙跳法；预估校正；Crank- Nicholson(梯形法) 公式：

边值问题b.匹配法：从两边同时演化，调整参数，到连接时满足连接条件，L(x)=R(x),L ′(x)=R ′(x). eg.双量子阱 分子动力学(MD)

Monte Carlo 方法和分子动力学方法在许多方面都是有差异的，各有其利弊。

Monte Carlo:概率性统计方法在相空间中形成Markov 链，相空间中的随机行走。坏：局限于平衡态热力学量的计算，一般不能预测体系的动力学特性，平衡态物理量通过系综平均得到；

MD:一种确定性方法，即可以确定系统在任意时刻的构.它通过跟踪每个粒子的个体运动从而跟踪相空间中代表点的轨迹，好：可以计算动力学性质而不单单是与时间无关的静态性质或热力学量的期待值。坏：各态历经性没有得到证明。平衡态物理量通过时间平均得到。

Monte Carlo ，最自然的是采用正则系综（NVT 恒定）；MD:体系是NVE 恒定的。

Monte Carlo 适于某些特殊模型，如格子模型，Ising 模型即为一例。对于简单刚性分子液体，Monte Carlo 方法可以更快地收敛于热力学平衡态，而且，它在相空间中实现非物理性移动，是探索相空间的极为有力的工具。例如，能量绘景中有高势垒的情形时，采用分子动力学方法很难跨越构型间的势垒，这样，对相空间的抽样很难按正确的统计权重进行平均（即物理量的时间平均没有各态历经性的保证）。 MD:计算所有粒子的位置和动量的时间变化，因此有利于探索相空间的局域性质， Monte Carlo 则允许在相空间的不同区域跳跃，有利于探索相空间的全局性质。