数值传热学第二章作业

数值传热学第二章作业
2—1：
POWER=input('POWER=?');
L1=input('L1=?');
M1=input('M1=?');
XL=input('XL=?');
YL=input('YL=?');
for i=2:L1
XF(i)=XL*((i-2)/(L1-2))^POWER;
end
for j=2:M1
YF(j)=YL*((j-2)/(M1-2))^POWER;
end
X(1)=0;
for i=2:L1-1
X(i)=(XF(i)+XF(i+1))/2;
end
X(L1)=XF(L1);
Y(1)=0;
for j=2:M1-1
Y(j)=(YF(j)+YF(j+1))/2;
end
Y(M1)=YF(M1);
for j=2:M1-1
plot(X(1),Y(j),'b.');
plot(X(1),Y(2), 'b.');
plot(X(L1),Y(j),'b.');
hold on
end
for i=2:L1-1
for j=1:M1
plot(X(i),Y(j),'b.');
hold on
end
end
for i=2:L1
m=[XF(i),XF(i)];
n=[0,M1];
plot(m,n,'b-.');
hold on
end
for j=2:M1
m=[YF(j),YF(j)];
n=[0,L1];
plot(n,m,'b-.');
hold on
end
xlabel('x');
ylabel('y');
title('POWER= ') 运行结果如下：
2—3： 解：由2
2
2
1()u
2u u u x
x
y
η
∂∂∂==
=∂∂∂得：
原方程的守恒形式为：
2
2
2()2u u x
y
η
∂∂=∂∂
对方程两端在t ∆时间间隔内对其控制容积积分，把可积的部分积出后得：
22()t t
s
n
e w
t
u u dtdy +∆-⎰
⎰
= 2t t e w
t
n s u u dtdx y y η+∆⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂-⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎰
⎰
选定2
u 随y 而变化的型线，这里取为阶梯式，即在控制容积内沿y 方向不变，则
2222
()=y ()t t
t t
s n
e w
e w t
t
u u dtdy u u dt +∆+∆-∆-⎰
⎰
⎰
选定2
u 随t 而变化的规律，这里采用阶梯式显式，则
2
2
()t t
e w t
y u u dt +∆∆-⎰
= ()()22t t
e w u u t y ⎡⎤-∆∆⎢⎥⎣⎦
选定
u y
∂∂随x 而变化的型线，这里取为阶梯式，即在控制容积内沿x
方向不变，则
22t t t t e
w
t
t n s n s u u u u dtdx x dt y y y y ηη+∆+∆⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂-=∆-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰
⎰
⎰
选定
u y
∂∂随t 而变化的规律，这里采用阶梯显式，则
2t t t
n s u u x dt y y η+∆⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∆-⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎰
= 2t t n s u u t x
y y η⎡⎤
⎛⎫⎛⎫∂∂-∆∆⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
进一步选取u 随x,y 分段线性变化，则
22
2
2
E P
e u u u +=
， 22
2
w 2
W P
u u u +=
()n
t P
t N t
y u u y u δ-=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂n ， ()s
t
S t p t
s y u u y
u δ-=
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂。

y y y s n ∆==)()(δδ 带入得：
2
2
t
222
t t E W
N P S
u u u u u t y t x y
η
--+∆∆=∆∆∆
整理得离散方程为 ：
2
2
t
2
24()
t t E W N P S
u u u u u x
y η--+=
∆∆
2—6：
解：查表2-1，可得各阶导数的中心差分表达式如下： n 2
P,n 22
2(
) =
dx
n n
E P W
T T T d T x
-+∆
,(
)2n n
E W P n dT T T dx
x
-=
∆
将上式代入原方程，得：
k
2
2x
T T
T n
W
n P
n
E
∆+-+()
x f x
T T n
W
n E ∆-2+S=0
整理得：
2
2
2
2()()[
-
[
]22P W k k f x k f x T T x
x
x
x
x
=+
+∆∆∆∆∆Ｅ］Ｔ＋Ｓ
[][]2
42()2()2P
E W
kT
k f x x T k f x x T S x
=+∆+-∆+∆
2()E a k f x x =+∆ ； 2()T a k f x x =-∆
当f(x ）< x k ∆-2 时，E a 会成为负值，
当f(x ）>
x
k ∆2 时，W a 会成为负值。

按照热力学第二定律，空间与时间坐标上的邻点温度对P T 都应有正的影响（这与热量自动从高温物体向低温物体传递相一致），也就是说这些系数都必须大于零或等于零。

若其中一个成为负值，就会出现违反热力学第二定律的解。