(完整版)解线性方程组的消元法及其应用
（朱立平 曲小刚）
教学目标与要求
使学生熟练掌握一种求解方程组的比较简便且实用的方法—高斯消元
.
教学重点与难点
解线性方程组的高斯消元法，利用消元法求逆矩阵.
高斯消元法，利用消元法求逆矩阵.
教学方法与建议
克莱姆法则在实际应用中是很麻烦的，然后通过解具
让学生自己归纳出在解方程组的时候需要做的三种变换，从而引出解高阶方程
其三种变换的实质就是对增广矩阵的初等行变换，最
教学过程设计
问题的提出
我们知道当方程组的解唯一的时候，可以利用克莱姆法则求出方
但随着方程组阶数的增高，需要计算的行列式的阶数和个数也增多，从而运算量
.
解线性方程组
32724524
2121321xxxxxxxx )3()2()1(
（1）)2()1(
32452472
2132121xxxxxxxx )3()2()1()3()2()1()2()4()1(1335245672323221xxxxxx )3()2()1(
3()
5()2(
724567233221xxxxx )3()2()1(
（1）交换方程次序，（2）以不
（3）一个方程加上另一个方程的k倍.那么对于高阶方程组来说，
.
矩阵的初等变换
1 阶梯形矩阵是指每一非零行第一个非零元素前的零元素个数随行序数的增加
.
2 下面的三种变换统称为矩阵的初等行变换：
互换矩阵的两行（例如第i行与第j行，记作
irr），
用数0k乘矩阵的某行的所有元素（例如第i行乘k，记作
kr），
把矩阵某行的所有元素的k倍加到另一行的对应元素上去（例如第j行的k倍加
i行上，记作
ikrr）.
.
3 如果矩阵A经过有限次初等变换变为矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作
~B
.
高斯消元法
n阶线性方程组
nnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 )()2()1(n （3.1）
0detA，即方程组有唯一解，则其消元过程如下：
（1）中
x的系数01la将方程)(l与（1）对调，使对调后的第一个方程1x
.作)1(
1aaii),3,2(ni，得到同解方程组
1()1(
)1(2)1(2)1(22)1(22)0(1)0(12)0(121)0(11nnnnnnnnnbxaxabxaxabxaxaxa （3.2）
0)1(
a，保留第二个方程，消去它以下方程中的含2x的项，得
3()3(
)3(3)2(3)2(33)2(33)1(2)1(23)1(232)1(22)0(1)0(13)0(132)0(121)0(11nnnnnnnnnnnbxaxabxaxabxaxaxabxaxaxaxa （3.3）
1n步得到三角形方程组
1()1()2(3)2(33)2(33)1(2)1(23)1(232)1(22)0(1)0(13)0(132)0(121)0(11n
nnnnnnnnnnbxabxaxabxaxaxabxaxaxaxa （3.4）
3.4）的最后方程求出
x，依次向上代入求出121,,xxxnn即
.
,(bA
nnnnnnbaaabaaabaaa212222211112111113131112121
1raarraarraarnn)1()1()1(2)1(2)1(2)1(22)0(1)0(1)0(12)0(11nnnnnnbaabaabaaa2)1(22)1(4242)1(22)1(3232)1(
)1(2raarraarraarnn
2()2()2(
)2(3)2(3)2(33)1(2)1(2)1(23)1(22)0(1)0(1)0(13)0(12)0(11nnnnnnnbaabaabaaabaaaa)1()1()2(3)2(3)2(33)1(2)1(2)1(23)1(22)0(1)0(1)0(13)0(12)0(11nnnnnnnnbabaabaaabaaaa
：用高斯消元法求解线性方程
组，是对线性方程组作三种初等行变换(某个方程乘非
k；一个方程乘常数k加到另一个方程，对换两个方程的位置)，将其化为同解的阶梯
这一消元过程用矩阵来表示就是对方程组的增广矩阵施行初等行变换，化为阶梯
.因此，求解线性方程组时不能对增广矩阵施行对换矩阵的两列以外的列变换，若对换
.
应用
1）化矩阵为阶梯形
1 试用消元法化A为阶梯形矩阵，
3333320126624220121A
1312
4224rrrrrrA
369012230260002012132rr23690260001223020121243rr
30002600012230201213421rr00000260001223020121=B
B即为所求的与A等价的阶梯形矩阵.
2）求逆矩阵
将矩阵A与同阶的单位方阵I拼成),(IA；
对A施行初等行变换，目标是将A变换成I；
当A变换为时，原来的I变换成1A，即),(),(1AIIA.
注：若将IA,拼成
A，只能施行初等列变换，即IA1
I.
2 求矩阵A的逆矩阵
21201111.
),(IA=
0012101020100111112
3rrrr101210011110001111123)1(rrr
12100011110001111323121rrrrrr112100123010234001
所以1A
12123234.