函数单调性的定义与应用

函数的性质——单调性

【教学目的】使学生了解增函数、减函数的概念，掌握判断函数增减性的方法步骤；

【重点难点】重点：函数的单调性的有关概念；

难点：证明或判断函数的单调性

一、增函数与减函数

⒈增函数与减函数定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两

个自变量的值x

1,x

2

.

⑴若当x

1

2

时，都有f(x

1

)<(fx

2

),则说f(x)在这个区间上是增函数

⑵若当x

1

2

时，都有f(x

1

)>(fx

2

),则说f(x) 在这个区间上是减函数

说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数y=x2，当x∈[0,+∞)时是增函数，当x∈(-∞,0)时是减函数.

⒉单调性与单调区间

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；

⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能

保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在x

1,x

2

那样的特定位置上，

虽然使得f(x

1)<(fx

2

)，但显然此图象表示的函数不是一

个单调函数；

⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“f(x 1)<(fx 2) 或f(x 1)>(fx 2) ”改为“f(x 1)≤(fx 2) 或f(x 1)≥(fx 2)”即可；

⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. ⒊ 例题

例1 图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.

练习：1、函数1

1

-=

x y 的增减性的正确说法是： A ．单调减函数 B.在)0,(-∞上是减函数,在),0(+∞上是减函数 C. 在)1,(-∞是减函数,在),1(+∞是减函数 D.除1=x 点外,在),(+∞-∞上是单调递减函数

二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，

当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b

x 2-

=的左侧单调减小，右侧单调增加； 当0

x 2-=的左侧单调增加，右侧单调减小；

例：讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。

二、函数单调性的证明步骤： ① 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；

⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． 例1、证明函数x

x y 1

+=在（1，+∞）上为减函数．

例2、证明函数x x x f -1)(2+=在R 上是单调减函数。

练习1 证明函数f(x)=1/x 在(0,+∞)上是减函数.

练习2 试判断函数x

x x f 1

-)(2=在)(0,+∞上的单调性并加以证明。

例 已知函数f(x)＝

x

a x

+2

(a>0)在(2，＋∞)上递增，求实数a 的取值范围．

三、复合函数单调性

对于函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果u ＝g (x )在区间(a ，b )上具有单调性，当x ∈(a ，b )时，u ∈(m ，n )，且y ＝f (u )在区间(m ，n )上也具有单调性，则复合函数y ＝f (g (x ))在区间(a ，b )具有单调性的规律见下表：

例：函数322-+=x x y 的单调减区间是 （ ）

A.]3,(--∞

B.),1[+∞-

C.]1,(--∞

D.),1[+∞ 求函数单调区间（复合函数）

1.函数1

y x

=-的单调区间是（ ）

A ．（-∞，+∞） B.（-∞，0） （1，∞，） C.（-∞，1） 、（1，∞） D. （-∞，1）

（1，∞）

2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是( ).

A ．32y x =-+

B ．3

y x

= C ．245y x x =-+ D ．23810y x x =+-

3．函数y =的增区间是（ ）。

A ．[-3，-1]

B ．[-1,1]

C ．1

13

a -<<-

(,3)-∞- D ．(1,)-∞ 4、已知函数1

()f x x x =+，判断()f x 在区间〔0，1〕和（1，+∞）上的单调性。

五、函数单调性的应用：判断函数)(x f y =的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。

例 （1）若函数52)(2

++=ax x x f 在)(-2,+∞上单调递增，在)2,-(-∞上单调递减，求其

实数a 的取值；

（2）若函数52)(2

++=ax x x f 在)(-2,+∞上单调递增，其实数a 的取值范围；

（3）若函数52x )(2

++=ax x f 在)(-2,+∞上单调递增，其实数a 的取值范围；

例 若函数5)2(log )(2

2++=x ax x f 在)(-2,+∞上单调递增，其实数a 的取值范围；

例 已知函数⎩⎨⎧≥<+=1

log 1

4)1-3()(x x

x a x a x f a 是),(-+∞∞上的减函数，求实数a 的取值范围；