饮酒驾车问题的数学模型(原稿)

饮酒驾车问题的数学模型

【摘要】本问题是生活中的饮酒驾车问题，酒精对人体的作用过程实际上类似于生物医学中的药用过程，针对饮酒方式的不同，本文将饮酒过程分成快速饮酒、某时间段内匀速饮酒和周期饮酒三种形式来讨论。并分别建立了一室快速饮酒、二室匀速饮酒以及周期饮酒三种系统动力学模型，并运用非线性最小二乘法进行数据拟合得到相关参数,从而得到了血液中酒精含量与时间的函数关系。结合模型Ⅰ，运用MATLAB工具得到了快速饮用三瓶啤酒时的违规时间分布，t:0.065—0.24小时内饮酒驾车；t:0.24—4.5小时内醉酒驾车；t:4.5—12小时内饮酒驾车。结合模型Ⅱ，得到了在2个小时内均匀饮用三瓶啤酒的违规时间分布，t:2—4.5小时内为醉酒驾车；当t为4.5---12小时为饮酒驾车。模型Ⅲ的建立,使问题一以及问题三得到了较为确切的解释。

【关键词】动力学吸收速率消除速率模型

一、问题重述

在2003年全国道路交通事故死亡人数中，饮酒驾车造成的占有相当比例，为此，国家发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准。在新标准下，大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合标准，接着晚上又喝了一瓶，但凌晨2点检查时却被定为饮酒驾车，为什么喝同样多的酒，两次检查结果不一样？建立饮酒时人体内酒精含量与时间关系的数学模型，并讨论快速或慢速饮3瓶啤酒在多长时间内驾车就会违反新标准，估计血液中的酒精含量在什么时间最高，如果某人天天喝酒，是否还能开车，并根据你所做的结合新国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

二、符号说明及模型假设

2.1符号说明

0x ---------人体饮入酒精总量

t----------饮用酒的时间

)(t x -------t 时刻血液中的酒精量 )(1t x ------t 时刻人体吸收的酒精量

M----------人的体重

λ---------人的体液占人的体重的百分含量 μ----------人的血液占人体重的百分含量

1k ----------酒精在人体中的吸收速率常数[1]

k ----------酒精在人体中的消除速率常数[1]

()t c --------t 时刻血液中的酒精浓度

F-------------酒精在人体中的吸收度 V-------------人体的血液体积 V 酒-----------喝酒的体积

ρ-------------酒中的酒精含量 τ-------------饮酒持续时间 2.2基本假设

1. 酒精在血液中的含量与在体液中的含量大至相同；

2. 每瓶啤酒的酒精含量、体积基本相同；

3. 酒精进入人体后，不考虑其他因素对酒精的分解作用；

4. 如果在很短时间内饮酒，认为是一次性饮入，中间的时间差不计；

5. 确定是否饮酒驾车或醉酒驾车以新的国家标准为界；

6. 不管喝的是什么酒，只以涉入的酒精总量纳入计算；

7. 酒精按一级吸收过程进入体内；

8. 正常情况下，酒精在各人体中的吸收和消除速率基本相同； 9. 将慢速饮酒看作是一个匀速过程。

三、问题分析与模型建立

3.1模型Ⅰ（快速饮酒模型）

同药物一样，酒精进入机体后，作用于机体而影响某些器官组织的功能；另一方面酒精在机体的影响下，可以发生一系列的运动和体内过程：自用药部位被吸收进入血液循环；然后分布于各器官组织、组织间隙或细胞内；有部分酒精则在血浆、组织中与蛋白质结合；或在各组织（主要是肝脏）发生化学反应而被代谢；最后，酒精可通过各种途径离开机体（排泄）；即吸收、分布、代谢和排泄过程。它们可归纳为两大方面：一是酒精在体内位置的变化，即酒精的转运，如吸收、分布、排泄；二是酒精的化学结构的改变，即酒精的转化亦即狭义的代谢。由于转运和转化以致形成酒精在体内的量或浓度（血浆内、组织内）的变化，而且这一变化可随时间推移而发生动态变化。又因为酒精有促进血液循环的作用[2]。而药物动力学模型中的一室模型[3]是指给药后，药物一经进入血液循环，即均匀分布至全身,故快速饮酒情况可通过建立一室模型求解。

虽然酒精在体内的分布状况复杂，但酒精的吸收、分解等则都在系统内部进行，酒精进入人体后，经一段时间进入血液，进入血液后，当在血液中达最高浓度时，随后开始消除[3]，把酒精在体内的代谢过程看为进与出的过程，这样便会使问题得到简化。用

in dt dx ⎪⎭⎫ ⎝⎛和out

dt dx ⎪⎭⎫

⎝⎛分别表示酒精输入速率和输出速率。

由于单位时间内血液中酒精的改变即变化率

dt

dx

就等于输入与输出速率之差，所以其动力学模型为： dt dx =in dt dx ⎪⎭⎫ ⎝⎛-out

dt dx ⎪⎭⎫

⎝⎛ （1） 又因为酒精在血液中的消除速率与当时血液内的药量成正比，所以out

dt dx ⎪⎭⎫

⎝⎛=kt ，代入（1）

式得：

dt dx =in

dt dx ⎪⎭⎫

⎝⎛-kt （2） 则由（2）式可知x(t)的变化规律由饮酒速率而定。而酒精在人体内的代谢可简单的由图一表示：

1k

(图一)

则t 时刻吸收室的药量为x 1(t)，又药物是按一级吸收过程进入体内的，对于吸收室有：

dt

dx

=-k 1x 1 (3) 对于房室，in

dt dx ⎪⎭⎫

⎝⎛=11x k ，于是（2）式变为：kx x k dt dx -=111 （4）

（3）、（4）两式构成一阶线性方程组，当t=0时，01)0(Fx x =，x(0)=0,解（2）式得：

t k e Fx x 101-=，将其代入（4）式得一阶线性非齐次方程：

t k e Fx k kx dt

dx

101-=+ 解之得：

()

t k kt

e e k

k Fx k t x 1101)(----=

从而，人体内酒精含量为：

()

t k kt e e k k V Fx k t C 1)

()(10

1----=

在这种情况下，酒精含量最大值出现的时间：使

0=dt

dc

时t 的值。 一般情况下，又因为酒精在血液中的含量与在体液中的含量大至相同。

则有：

μ

λM Fx

M x 00= ⇒ λ

μ=F (F 为常数且0

X 0=ρV 酒则人体内酒精含量与时间函数关系为: )()

()(111t k kt e e K K V V k t C ----=

λμρ酒 （一般情况）

3.1.1模型的求解

根据图一中酒精含量实测数据拟合,显然它无法化为线性最小二乘,我们直接作非线性最小二乘拟合[4]。用MATLAB 优化工具箱的Leastsq [5]计算,拟合参数),

,(0

1V

Fx k k x = 程序见:JM2004C1.m 。拟合得：1k =2.0079mg ·ml -1·h -1,k=0.1855mg ·ml -1·h -1,

V

Fx 0

=11.2423（毫克/毫升），又由F

V

x ⨯=

2423.110，得到问题中隐含的一瓶啤酒的酒精量约为：27543.635毫克。

3.1.2问题一的解答

虽然大李喝等量的酒，并且相隔的时间也相同的情况下,两次检查的结果不一样是因为第一次喝下去的酒，在6小时内并没有完全分解，还残留有相当一部分在血液中，并且这一部分在较长时间内不能完全分解。由图（二）喝一瓶啤酒的酒精含量随时间变化的函数图像可知，6小时后，第一次喝的酒的酒精含量约19.5毫克/百毫升。也就是说此时血液中已有一定的酒精量，这样虽然第二次喝的是同样多的酒，由于第一次残留部分的存在，相当于涉入的酒精量已增大了，使其同样再过6小时，酒精含将会大于20毫克/百毫升。这样大李碰到的情况也就很自然的解释了