偏微分方程数值解

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5.3几种常见偏微分方程的离散化计算
1、 波动方程
2u t 2
a2
2u x 2
f (x,t)
u
t0
( x), u
t
t0
(x)
u
x0
1(t ), u
xl
2 (t )
其中：u
t0
( x), u
t
t0
(x)
为初值条件
u x0 1 (t ), u xt 2 (t ) 为边值条件
un i , j,k1
2uin, j,k (z)2
un i , j ,k 1
t nt ,xix , y jy ,zkz
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5.2 离散化公式推导
将uk+1在uk处按二阶泰勒式展开：
程组,同时添上二边界条件：
un1 0
1 ((n
1)t ),
un1 m
un1 m1
正好共有m+2个方程，同时有m+2个变量，就能解出n+1排上各点值。这样，
每解一个线性方程组，就可以往上推算一排点的u值，虽然引入了方程组的
不同时刻的u值。而
u是定义在
t
0 t , x
的二元函数，即上半
平面的函数。
对于混合问题除初值外，还有边值。是已知初值及x=0及x=l 时u依赖 于 t 的 函 数 ， 求 解 不 同 位 置 x， 不 同 时 刻 的 u 值 。 此 时 u 是 定 义 在 的带形区域上的二元函数。
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2u x 2
拉普拉斯方程（椭圆型）稳态静电场或稳态温度分布场）
u2 x2
2u y2
0
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5.1 微分方程的求解思路
求微分方程数值解的一般步骤：
Step1区域剖分：首先按一定规则将整个定义域分成若干小块 Step2微分方程离散：构造离散点或片的函数值递推公式或方程 Step3初始、边界条件离散：根据递推公式，将初值或边界值离
uk 1
uk
h uk x
h2 2!
2uk x 2
O(h3 )
将uk-1在uk处按二阶泰勒式展开：
uk 1
uk
h uk x
h2
2!
2uk x 2
O(h3 )
二式相加得：
2u x2
uk 1
2uk (x)2
uk 1
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un1 i
uin
t
a2
un1 i 1
2uin1 (x)2
un1 i 1
b
un1 i 1
un1 i
x
f (ix,(n 1)t)
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5.3.2 一维流动热传导方程
从图5-3中可见要由初值及边界条件一排一排推上去是不行的，需解线性方
些离散变量的函数。
un i , j,k
u(t, x,
y, z)tnt ,xix, y jy,zkz
一阶偏导的离散化公式
u
un1 i , j,k
un i , j,k
t tnt ,xix , y jy,zkz
t
一般采用欧拉公式表示
有时为了保证系统和稳定性， 对时间的差分往往采用向后公式
u
un i1, j,k
t
2u x 2
un i1, j,k
2uin, j,k (x)2
un i1, j ,k
tnt ,xix , y jy ,zkz
2u y2
un i , j1,k
2uin, j,k (y)2
un i1, j ,k
tnt ,xix , y jy ,zkz
2u z 2
un i , j,k1
2uin, j,k (z)2
t
(ix)
u0n 1 (nt ), umn 2 (nt )
(i 1,2, ,m) (n 1,2, )
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5.3.1 波动方程求解
例5.1: 用数值法求解下面偏微分方程。
t
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5.3.2 一维流动热传导方程
将上式进行处理得到：
un1 i
t
f
(ix, nt )
(a2
t (x)2
b
t x
)uin1
(1
2a 2
t (x)2
b
t x
)uin
a2
t (x)2
un i 1
该式是显式格式。只要保证式中各项系数大于零，一般情况下是稳定的， 可以获得稳定的解。
散化，补充方程，启动递推运算
Step4 数值解计算：求解离散系统问题
微分方程的定解问题
离散系统的求解问题
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5.2 离散化公式
将自变量在时间和空间上以一定的间隔进行离散化，则应变量就变成了这
在化工或化学动态模拟方程中，常常有一个自变量是时间， 其它的自变量为空间位置。如果只考虑一维空间，则只有 两个自变量；如果考虑两维空间，则有3个自变量。 许多 化工过程均是通过对偏微分方程的求解进行工艺参数的确 定或数值模拟。
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t nt ,xix , y jy ,zkz
2u x 2
un i1, j,k
2uin, j,k (x)2
un i1, j ,k
t nt ,xix , y jy ,zkz
2u y2
un i , j1,k
2uin, j,k (y)2
un i1, j ,k
t nt ,xix , y jy ,zkz
2u z 2
EXCEL 循环迭代问题
教学难点
特殊边界条件的引入与应用
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5. 1 偏微分方程简介
偏微分方程
如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果 未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几 个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
un i , j,k
x tnt ,xix , y jy,zkz
x
u
un i , j1,k
un i , j,k
y tnt ,xix , y jy,zkz
y
u
un1 i , j,k
un i , j,k
t t(n1)t ,xix, y jy,zkz
t
u
un i , j,k1
un i , j,k
z tnt ,xix , y jy,zkz
当该波动方程只提供初值条件时，称此方程为波动方程的初值问题，二
。 者均提供时称为波动方程的混合问题
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5.3.1 波动方程求解
t t
x
0 a)初值问题
x
0
l
b)混合问题
对于初值问题，是已知t=0时，u与u 依赖于x的函数形式，求解不同位置，
第五章 偏微分方程数值解 Numerical Methods for Partial Differential Equations
5.1 偏微分方程简介 5.2 离散化公式 5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算 5.4吸附床传热传质模型中偏微分方程求解
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5.3.1 波动方程求解
2u t 2
a2
2u x 2
f (x,t)
u
t0
( x),
u t
t0
(x)
u
x0
1 (t ), u xl
2 (t )
uin
un1 i
τn
x
xi
un1 i
方程离散化
un1 i
2uin
un1 i
(t )2
a2
un i 1
2uin
un i 1
0.02TW
0.68t
n j
0.3t
n j1
导时的套管传热微分方程.由计算结果可 知，当计算的时间序列进行到72时，传 热过程已达到稳态，各点上的温度已不 随时间的增加而改变。如果改变套管长 度或传热系数，则达到稳态的时间亦会 改变。
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5.3.2 一维流动热传导方程
2、一维流动热传导方程的混合问题
与波动方程的情形类似， 用差商近似代替偏商，可以 得到一维流动传热传导方程 的混合问题的差分方程，以 其解作为流动传热传导方程 的近似解。
u
un1 i , j,k
uin, j,k
t tnt ,xix , y jy ,zkz
数学上的分类：
椭圆方程 Elliptic
b2 4ac 0
抛物线方程 Parabolic b2 4ac 0
双曲线方程 Hyperbolic b2 4ac 0
物理实际问题的归类：
波动方程(双曲型）一维弦振动模型：
2u t 2
2
2u x 2
热传导方程（抛物线型）一维线性热传导方程
u t
x
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5.2 离散化公式
对于二阶偏导，我们可以通过对泰勒展开式处理技术得到下面离散化 计算公式：
2u t 2
un1 i , j,k
2uin, j,k (t )2
un1 i , j,k
(x)2
f (x,t)
(i 1,2, ,m-1) (n 1, 2, )
整理可得： un1 i
a2
(t )2 (x)2
un i 1
(2
2a2
(t )2 (x)2
)uin
a2
(t )2 (x)2
un i 1
un1 i
(x)2
f (x,t)
边界条件 初始条件 离散化
ui0
( jx), ui1 ui0
un i1
2uin
un i 1
(x)2
b
un i1
uin
x
f (ix, nt)
ui0
(i x )
un m1
umn
x
0
u0n 1(nt )
(i 1,2, ,m) (n 0,1, 2, ) (n 0,1,2, )
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5.1 偏微分方程简介
偏微分方程的分类
2u
2u
2u
u
u
a() x2
b() xy
c() y2
d() x
e() y
f ()u
g()
0
线性微分方程 Linear partial differencial equation
x, y
拟线性微分方程 Quasilinear partial differencial equation
x, y,un1 / x,y
非线性微分方程 Nonlinear partial differencial equation
x, y,un / x,y
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5.1 偏微分方程简介
un i , j ,k 1
tnt ,xix , y jy ,zkz
u t
a
2
2u x 2
b
u x
f (u, t)
u t0 (x),
u
0
Fra Baidu bibliotek
xl
u x0 μ1 (t)
离 散 化
( 0 x l , 0 t) ( 0 x l) ( 0 t) ( 0 t)
un1 i
t
uin
a2
分析上式可以发现，当为了提高数值精度取适当小的Δx 时，最有可能 小于零的系数是 uin的系数，若要保证此项系数大于零，此时Δt必须相应地
更小,会导致计算量将大大增加，这是显式格式的缺点，为了克服此缺点， 下面提出一种隐式格式：
偏微分方程在 (ix,(n 1)t) 点上进行离散化，且对时间的偏微分采用 向后欧拉公式得到原偏微分方程的离散化公式：
2(TW
t) 3 t x
TW
150,
t
0 j
30, t0n
25
0 x 1, t 0 x x1
t
t n1 j
t
n j
t
t
n j
tn j1
x x
0.01, x 0.1
EXCEL
此微分方程，是在不考虑流体本身热传
t n1 j
t
n j
2(TW
t
n j
)
3
t
n j
t
n j1
x
t n1 j
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本章要求
教学目的
讲解： 偏微分方程离散格式及求解的一般过程
教学要求
熟记 精通 探索 延伸
一阶及二阶偏微分方程的离散格式； 用EXCEL迭代对偏微分方程求解； 用两数组交替更新的办法进行编程求解； 对化学反应工程中物理场的模拟进行尝试。
教学重点
各种偏微分方程的离散与求解