第三章导数与微分
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y f( x 0 x ) f( x 0 )A xo ( x) lim ylim (Ao( x))A
y(1) (2)x3(1)31(31)!x3
设 y(k)(1)k 1(k1)!xk
则 y (k 1 ) ( 1 )k 1 (k 1 )( !k )x k 1
( 1 )(k 1 ) 1 [k ( 1 ) 1 ]!x (k 1 )
故由数学归纳法得
y n (x l) (n n ) ( 1 ) n 1 ( n 1 )x ! n ( n N )
y(n)(y(n1)), ddnxyn ddxddnx1ny1,
一个函数的导函数不一定再可导, 也不一定连 续. 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数 f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导 数均连续 ), 则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导, 记为 f(x ) C n (I)或 f(x ) C n .
(1) (f(x ) g (x )(n ) ) f(n )(x ) g (n )(x )
(2) 莱布尼兹公式：
n
(f(x)g(x)()n) C n kf(nk)(x)g(k)(x) k0
其中 , Cnk
n! . k!(nk)!
例8 求ddx110000x251x6. (x 1 )(n ) ( 1 )n n !x (n 1 )
则称函数 yf(x)在点x 0 可微, 而 Ax 称为 f (x)在 点 x0 的微分, 记作d y 或d f , 即
dyAx
定理 函数 yf(x) 在点 x 0 可微的充要条件是 yf(x) 在点 x 0 处可导, 且 Af(x0), 即
d yf(x0) x
证： “必要性”
已知 yf(x)在点 x 0 可微 , 则
dx dx
dy dx
15y421x26
因x=0时y=0,
故
dy dx
x
0
1 2
二. 高阶导数的概念
例 (sxi)ncox,s (cxo )s six,n
是sinx连续求两次导数 . 的结果 称为 si函 xn 的 数 二,阶 记导 为数 (x s ) ( in ( x ) ) s (i x c ) n o sx i s n 一,般 如说 f 果 ( x )的 来 函 f 导 ( x )仍 数 函 然 可,导 则f称 (x)的导数为 f(x)原 的来 二函 阶 ,记 导 f ( x ) 为 ( 数 f( x ) ) .
例5 求 y = ex 的各阶导数.
解 y ex y(y)(ex)ex
y(n ) ex y = ex 的任何阶导数仍为 ex
(ex)(n) ex (nN)
例6 求 y = lnx 的各阶导数.
解 y 1 x1 (1)11(11)!x1
x y( 1 )x 2( 1 )2 1x 2(1)21(21)!x2
推而广之：
设 f( x )的 n 1 阶导 ,它 数 x 仍 的 存 ,是 函
若它,可 则导 称它的导 数数 n 的 阶 为导 .原
n 阶导数的记号为：
f(n)(x),y(n), dn dfx(nx), d dn xy n.
f(n)(x)(f(n 1)(x)), dndfx(nx)ddxdnd1xfn (1x),
第三节 隐函数的导数 高阶导数
一. 隐函数求导法 二. 高阶导数的概念 三. 高阶导数的运算法则
一. 隐函数求导法
若由方程 F(x,y)0可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由 yf(x)表示的函数 , 称为显函数 . 例如, xy310可确定显函数 y 3 x1.
y52yx3x70可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
10!0(x12)10 1 (x13)101
第四节 函数的微分
一. 微分的概念 二. 微分的运算法则 三. 微分在近似计算中的应用
一. 微分的概念
定义 若函数 yf(x)在点 x 0 的增量可表示为
y f( x 0 x ) f( x 0 )A xo ( x)
( A 为不依赖于△x 的常数)
隐函数求导方法: F(x,y)0
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
d F(x, y) 0 (含导数 y 的方程)
dx
例1. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy dx
x
0
.
解：方程两边对 x 求导
d(y52yx3x7)0 dx
得
5 y 4 d y 2 d y 121x60
类似地, 有
(la n x b ()(n ))( 1 )n 1(n 1 )a !n(a x b ) n ( n N )
运用数学归纳法可以证得
(s x )(n i) n six n n () (n Z ) 2
类似地 , 可求得
(cx o )(n ) s co x n s ) ( (n Z ) 2
如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存 在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为
f(x ) C ( I )或 f(x ) C .
对多项式而言, 每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ; n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ; 大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0 .
解 由于 x25 1x6(x2)1x(3)x12x13,
故 d d x 1 10 0 x 0 0 2 5 1 x 6 d d x 1 10 0 x 0 0 12 d d x 1 10 0 x 0 0 1 3 ( 1 ) 11 0! 0 ( x 0 2 ) 0 1 0 ( 1 1 ) 11 0! 0 ( x 0 3 ) 0 10
高阶导数的求法：
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高ຫໍສະໝຸດ Baidu导数公式 ?
如下列公式
(six)n(n)
sin x(n
π 2
)
(co x)(sn)coxs(n
π 2
)
1 a
x
(n)
(1)n
n! (ax)n1
三. 高阶导数的运算法则
两个基本公式 设 f (x), g(x) 有直到 n 阶的导数, 则
y(1) (2)x3(1)31(31)!x3
设 y(k)(1)k 1(k1)!xk
则 y (k 1 ) ( 1 )k 1 (k 1 )( !k )x k 1
( 1 )(k 1 ) 1 [k ( 1 ) 1 ]!x (k 1 )
故由数学归纳法得
y n (x l) (n n ) ( 1 ) n 1 ( n 1 )x ! n ( n N )
y(n)(y(n1)), ddnxyn ddxddnx1ny1,
一个函数的导函数不一定再可导, 也不一定连 续. 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数 f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导 数均连续 ), 则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导, 记为 f(x ) C n (I)或 f(x ) C n .
(1) (f(x ) g (x )(n ) ) f(n )(x ) g (n )(x )
(2) 莱布尼兹公式：
n
(f(x)g(x)()n) C n kf(nk)(x)g(k)(x) k0
其中 , Cnk
n! . k!(nk)!
例8 求ddx110000x251x6. (x 1 )(n ) ( 1 )n n !x (n 1 )
则称函数 yf(x)在点x 0 可微, 而 Ax 称为 f (x)在 点 x0 的微分, 记作d y 或d f , 即
dyAx
定理 函数 yf(x) 在点 x 0 可微的充要条件是 yf(x) 在点 x 0 处可导, 且 Af(x0), 即
d yf(x0) x
证： “必要性”
已知 yf(x)在点 x 0 可微 , 则
dx dx
dy dx
15y421x26
因x=0时y=0,
故
dy dx
x
0
1 2
二. 高阶导数的概念
例 (sxi)ncox,s (cxo )s six,n
是sinx连续求两次导数 . 的结果 称为 si函 xn 的 数 二,阶 记导 为数 (x s ) ( in ( x ) ) s (i x c ) n o sx i s n 一,般 如说 f 果 ( x )的 来 函 f 导 ( x )仍 数 函 然 可,导 则f称 (x)的导数为 f(x)原 的来 二函 阶 ,记 导 f ( x ) 为 ( 数 f( x ) ) .
例5 求 y = ex 的各阶导数.
解 y ex y(y)(ex)ex
y(n ) ex y = ex 的任何阶导数仍为 ex
(ex)(n) ex (nN)
例6 求 y = lnx 的各阶导数.
解 y 1 x1 (1)11(11)!x1
x y( 1 )x 2( 1 )2 1x 2(1)21(21)!x2
推而广之：
设 f( x )的 n 1 阶导 ,它 数 x 仍 的 存 ,是 函
若它,可 则导 称它的导 数数 n 的 阶 为导 .原
n 阶导数的记号为：
f(n)(x),y(n), dn dfx(nx), d dn xy n.
f(n)(x)(f(n 1)(x)), dndfx(nx)ddxdnd1xfn (1x),
第三节 隐函数的导数 高阶导数
一. 隐函数求导法 二. 高阶导数的概念 三. 高阶导数的运算法则
一. 隐函数求导法
若由方程 F(x,y)0可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由 yf(x)表示的函数 , 称为显函数 . 例如, xy310可确定显函数 y 3 x1.
y52yx3x70可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
10!0(x12)10 1 (x13)101
第四节 函数的微分
一. 微分的概念 二. 微分的运算法则 三. 微分在近似计算中的应用
一. 微分的概念
定义 若函数 yf(x)在点 x 0 的增量可表示为
y f( x 0 x ) f( x 0 )A xo ( x)
( A 为不依赖于△x 的常数)
隐函数求导方法: F(x,y)0
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
d F(x, y) 0 (含导数 y 的方程)
dx
例1. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy dx
x
0
.
解：方程两边对 x 求导
d(y52yx3x7)0 dx
得
5 y 4 d y 2 d y 121x60
类似地, 有
(la n x b ()(n ))( 1 )n 1(n 1 )a !n(a x b ) n ( n N )
运用数学归纳法可以证得
(s x )(n i) n six n n () (n Z ) 2
类似地 , 可求得
(cx o )(n ) s co x n s ) ( (n Z ) 2
如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存 在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为
f(x ) C ( I )或 f(x ) C .
对多项式而言, 每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ; n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ; 大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0 .
解 由于 x25 1x6(x2)1x(3)x12x13,
故 d d x 1 10 0 x 0 0 2 5 1 x 6 d d x 1 10 0 x 0 0 12 d d x 1 10 0 x 0 0 1 3 ( 1 ) 11 0! 0 ( x 0 2 ) 0 1 0 ( 1 1 ) 11 0! 0 ( x 0 3 ) 0 10
高阶导数的求法：
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高ຫໍສະໝຸດ Baidu导数公式 ?
如下列公式
(six)n(n)
sin x(n
π 2
)
(co x)(sn)coxs(n
π 2
)
1 a
x
(n)
(1)n
n! (ax)n1
三. 高阶导数的运算法则
两个基本公式 设 f (x), g(x) 有直到 n 阶的导数, 则