高中物理中的微元法

概括为相互关联的两大类型：与求导相关类，与积分相关类，并在具体的情形下涉及到微元的近似处理方
法也一并做了系统梳理。
一、微元法与求导（y→p）
某一物理量 p 与相关的物理量 x、y 的比值满足关系： p Δy ，则当自变量 x 的变化 Δx 较大时，该 Δx
比值式计算得到的是在该对应范围（x1~x2）内的 p 的平均值，当自变量 x 的变化 Δx 0 时，该比值式计
息可以求出
A、斜面的倾角
B、小滑块与斜面之间的动摩擦因数
C、小滑块下滑的加速度的大小
D、小滑块受到的滑动摩擦力的大小
【 解 析 】 本 题 中 ， 图 2 是 动 能 - 位 移 图 象 （ Ek x 图 象 ） ， 其 斜 率 是 物 体 所 受 合 外 力
F合 =mg sin mg cos ，由图可知： F合 =mg sin mg cos =2.5N；图 3 是重力势能-位移图象
M，速度为 v，试求此时货车的加速度．
【解析】取货车为研究对象，由动量定理，有
解得 a F Qv M
4、能量→功率
F

p t

(Mv) t

M t
vM
v t
Qv Ma
由功能关系可知，一个过程中物体的某种能量 E 发生了变化，则意味着对应的力做了功 W，且有
W E ；设这个过程经历的时间为Δt，则Δt 内该力做功的功率为 P W E 。故物体的 E-t 图象的斜 t t
若用微元法，则更简单直接。
（1）A 选项：
设小环经过一段极短的时间 t 下落一小段距离 y，小环的速度增加为 v1，此时重物上升的速度为 v2，
则有
y

1 2
gt 2

d
tan
， v2

v1
sin

gt
sin
而 sin

tan
，则有 v2

gt
1 gt 2 2
d

g 2t3 2d
则重物上升的加速度为： a v2 g 2t 2 t 2d
y
v2
vτ
v1 v2’
v1
d θ
l
Δvτ2 v2 Δvn v2’
Δvn2
vτ’
Δvn1
vτ
Δvτ
Δvτ1 v1
故此时重物上升的加速度为： a
|
an2
|
v12
cos3 d
，可知绳中张力大于
2mg.
【例 3】如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为 L。导轨上端接有一平行板电容
器，电容为 C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为 B，方向垂
上两点间的割线斜率
k1

Δy Δx
就是
p
的平均值，某点切线的斜率
k2
就
是在该点的 p 的瞬时值。
1、位置→速度（角度→角速度）
物体位置 x 的变化Δx 即是物体的位移，位移与对应时间Δt 的比值即为物体的速度 v x ；物体绕某 t
点转过的角度θ的变化Δθ 即是物体绕该点的角位移，角位移与对应时间Δt 的比值即为物体绕该点的角速度
率就是对应力对物体做功的功率。
【例 5】一物体沿固定斜面从静止开始向下运动，经过时间 t0 滑至斜面底
端．已知在物体在运动过程中所受的阻力恒定．若用 F、v、x 和 E 分别表示
该物体所受的合力、物体的速度、位移和机械能，则下列图象中可能正确的
是（ ）
A
B
C
D
【解析】由牛顿第二定律，有 F mg sin F阻 ma ，可知，物体所受合力恒定，加速度恒定，由

1 v3S
t
2
5、能量→力
功的计算式为W Fl cos F lF Fl l ，其中 lF 为物体在力的方向的投影， Fl 为在物体位移方向
上的投影；功是能量变化的量度（ W E ），将力投影到位移 x 方向，就可以得到 E-x 图象的斜率
k

E x

W x

Fx x x
设光盘在极短时间 Δt 内向右运动一小段位移 x，由几何关系易知，小球水平位 θ
移也为 x，竖直位移为 y x sin 两边除以时间 Δt ，得小球上升的速度（竖直速度）为 小球的位移为 x x2 y2 x 1 sin2
vy v sin
y θ x
x’ y
两边除以 Δt ，得小球的速度为 v v 1 sin2
an1

Δvn1 Δt

vτ Δ Δt

vτ vτ l

v
2 τ
l

(v1 d
cos )2 / cos

v12 cos3 d
方向由小环指向滑轮，即为向心加速度。
Δvn2 产生的加速度大小为 an2

Δvn 2 Δt

Δvn1 Δt

an1
v12 cos3 d
其中负号表示该加速度沿绳向左下方。
2、速度→加速度
时间Δt
内物体速度
v
的变化量Δv，与时间Δt
的比值，即物体的加速度 a

v t
，故物体的
v-t
图象的斜
率就是物体的加速度 k

v t

a
，斜率的正负代表加速度方向与正方向相同或相反。圆周运动的向心加速
度公式的推导是微元法在加速度计算中的典型案例，具体请见必修二“向心加速度”一节。
v

at

m(sin m
cos CB 2 L2
)
gt
3、质量→力
设作用在物体上的合力为
F合
，经过一段极短时间
t
，由动量定理
F合t

p
，有
F合

p t
，则由
分部求导可得
F合

p t

(Mv) t

M t
v
M
v t
，因此，可以由变质量物体的质量对时间的变化率
M t
求力，比如水平匀速推动一辆放在光滑轨道上的、质量均匀增加的货车，推力 F p (Mv) M v 。 t t t
【例 4】如图所示，一工人沿着光滑水平轨道推动货车
运装沙子，沙子经一静止的竖直漏斗连续的落进货车．已知
单位时间内落进货车的沙子质量恒为 Q，工人对货车水平推
力恒为 F．某时刻，货车（连同已落入其中的沙子）质量为
B．小环在 B 处的速度与重物上升的速度大小之比等于 2
C．小环下降速度最大时，轻绳中的张力一定等于 2mg
D．小环从 A 处开始能够下降的最大高度为 4 d 3
【解析】本题 B、D 选项学生基本上都能应付，笔者在此着重分析 A、C 选项。
按常规思路，我们
需要根据机械能守恒定律和牛顿定律，算出小环、重物速度随时间变化的函数，然后对时间求导。但是，
垂直和平行 x 方向，E-x 图象的斜率就是对应的力在 x 方向的分量（投影）。 【例 7】（2015 武汉市二月调考 17）如图 1 所示，固定的粗糙斜面长为 10m，一小滑块自斜面顶端
由静止开始沿斜面下滑的过程中，小滑块的动能 Ek 随位移 x 的变化规律如图 2 所示，取斜面底端为重力势
能的参考平面，小滑块的重力势能 Ep 随位移 x 的变化规律如图 3 所示，重力加速度 g=10m/s2。根据上述信
q CBLv ，设导体棒中的电流为 i，则由牛顿第二定律，有 mg sin mg cos iLB ma
其中 i

q t

CBLv t

CBLa
，联立得导体棒得加速度为
a

v t

m(sin m
cos CB 2 L2
)
g
可见，导体棒得加速度保持不变，做匀加速直线运动，所以有
（ Ep x 图象），其斜率的绝对值是物体重力沿斜面的分量 Gx =mg sin ，由图可知：Gx =mg sin =10N.
Δy
算得到的是在某个状态（x0）下 p 的瞬时值，这实质上就是数学上的求导，或说是对比值 求极限，即
Δx
p x0

y

lim
x x0
Δy Δx
高中物理中，在求解 p 的瞬时值时，往往用到所谓“微元法”，也
就是在某个状态附近，让自变量 x 发生一个极小的变化 Δx ，然后用因
变量相应的微小变化量 Δy 与 Δx 作比，即得结果。相应的， y x 图象
【解析】（1）金属棒速度为 v 时，感应电动势为 E BLv ；由于忽略所有电阻，则有电容器两极板 间的电压U E ；由电容的定义 C Q 可知电容器极板上所带电荷量为
U Q CU CE CBLv
（2）取 一段极 短的时 间Δt，在 内导体 棒速度 的变化 量设为 Δv，电 容器极 板上电 荷量的 变化为
求该发电机的发电功率.
【解析】取一段极短时间Δt 内吹到发电机叶片上的空气Δm 为研究对象，则这部分空气柱的长度为
l

vt
，则 m

V

l S
，这部分空气的动能为 Ek

1 2
m v2 ，转化为电能为 E

Ek
，
则由 P E ，得 t
P
1 vtS v2 2
。 t 故物体的 x-t 图象的斜率就是物体的速度 k x v ，斜率的正负代表速度方向与正方向相同或相反。 t
【例 1】如图所示，细绳一端固定在天花板上的 O 点，另一端穿过一
张 CD 光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好
挨着水平桌面的边沿．现将 CD 光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度 v
Fra Baidu bibliotek
E-x 图象 斜率 意义
合力 F合 ，或者
合力在 x 方向投
影 F合x
重力 G，或者 重力在 x 方向 投影 Gx
弹力 F弹 ，或者
弹力在 x 方向投 影 F 弹x
电场力 qE，或 者电场力在 x 方向投影 qEx
除重力之外其他
力 FG外 ，或者除重
力之外其他力在 x
方向投影 FG外x
说明：当力就在 x 方向时，E-x 图象的斜率就是对应的力；当力不在 x 方向时，则需将力正交分解到
匀速移动，移动过程中，CD 光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖
直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为（ ）
A．vsinθ
B．vcosθ
C．vtanθ
D．vcotθ
【解析】本题按常规思路，需要用到相对运动和运动的分解合成，对很多学生来说这是有一定理解困
难的。若是采用微元法，则问题却变得简单而直接。
【例 2】如图所示，将质量为 2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为 m 的小环，小
环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为 d. 现将小环从与
定滑轮等高的 A 处由静止释放，B 处在 A 处正下方距离为 d 处，则下列说法正
确的是
A．小环刚释放时轻绳中的张力一定大于 2mg
v at 、 x 1 at 2 可知，A 正确、BC 错误；机械能的变化对应除重力之外其他力的功，也就是阻力的负 2
功，因此机械能时减小的，且 E-t 图象的斜率就是阻力对物体做功的功率，由 P F阻v 可知，随着速度增
大，图象的斜率越来越大，故 D 正确。
【例 6】某风力发电机叶片的有效迎风面积为 S，空气密度为ρ，风速为 v，若风力发电机的效率为η，

Fx ，即
E-x
图象的斜率是与该能量对应那个力在
x
方向的投影。下表中罗列了
高中物理中常见的几种 E-x 图象及其斜率：
能量
动能
重力势能
势能 弹性势能
电势能
机械能
功能 关系
F合 x Ek
G x Ep
F弹 x Ep
qE x Ep
FG外 x E机
直于导轨平面。在导轨上放置一质量为 m 的金属棒，棒可沿导轨下滑，
且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间
B
的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为 g。忽略所有电阻。让金属棒从
C
m
导轨上端由静止开始下滑，求：
⑴电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
θ
L
⑵金属棒的速度大小随时间变化的关系。
高中物理中的微元法
湖北省恩施高中 陈恩谱
高中物理中，微元法常常被提及，但是，因为使用微元法的情况分散在各个不同章节中，大多数教师
和学生缺乏一个系统的梳理，只记住了一些零散情况下微元法作为一种分析思路的应用。笔者通过对微元
法适用的情形的系统梳理，并进一步追问微元法的数学本质，从而把高中物理中微元法的常见情形简单的
vτ
大于 2mg. 更细致的分析如下：
v1
v1
将 v1 垂直于绳方向分速度 vτ的变化量Δvτ分解为Δvτ1、Δvn1，v1 沿绳
方向分速度 vn 的变化量Δvn 分解为Δvτ2、Δvn2，由于小环的加速度为 0，必有
Δvτ＝－Δvn
则有 Δvτ1＝－Δvτ2，Δvn1＝－Δvn2
其中，Δvn1 产生的加速度大小为
当取 t→0 时，易知 a=0. 则绳中张力等于 2mg.
d
y
θ
v2
v1
d θ
y
l
（2）C 选项：
当小环速度最大时，小环加速度为零，经过一段极短的时间 Δt ，
v2
vτ
v2
v2’
vτ’
小环的速度和重物的速度关系及其变化如图所示，由图极易看出，重
v1
物速度 v2 的大小增大了，即重物具有竖直向上的加速度，则绳中张力 v2’