含绝对值的不等式恒成立问题

练习
1.对任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|>k
恒成立，则k的取值范围是 （ B）
(A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 (D)k≤-3
2.若不等式|x-1|+|x-3|＜a的解集为空集,则a的
取值范围是-(------,--2-] 不 是 空集？
（2，+∞）
2. 数形结合法：
的取值范围．
答案： a 3 或 a 5
设函数 f (x) | x 1| | x a | ． 如果x R ，f (x) 2 ，求实数 a 的取值范围．
答案： a 1 或 a 3
例2. 求使不等式| x 4 | | x 3 | a 恒成立的 a 的取值范围.
解： 由题意知，只需 (| x 4 | | x 3 |)min a
(3)若不等式解集为∅，分别求出m的范围．
解：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1， |x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1. (1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)． (2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．
(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．
含绝对值不等式恒成立问题
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：
(1) f x a(a 0) f x a或f x a
(2) f x a(a 0) a f x a
(3) f x g(x) f x g(x)或f x g(x) (4) f x g(x) g(x) f x g(x)
令 f (x) | x 4 | | x 3 |，则
1, x 3, f (x) 2x 7, 3 x 4,
1, x 4.
则函数 f (x) 的最小值为 1 ． 则 a 1 ．
故实数 a 的取值范围是(,1] ．
练习2
已知不等式 2 | x 3 | | x 4 | 2a ,
若不等式的解集不是空集，求实数 a 的取值范围．
分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
3x 1 0, x 3,
f
(
x)
2
x
7, ．
3 x 4,
3x 10, x 4.
a1 2
[练] 已知不等式|x＋2|-|x＋3|>m. (1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R； (3)若不等式解集为∅. 分别求出m的范围．
[练] 已知不等式|x＋2|-|x＋3|>m. (1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R；
(5) f x g x f x2 g x2
复习
1. 含绝对值不等式的解法
形如 | x a | | x b | c (或 c )
(i)零点分段讨论法；(ii)分段函数；(iii)绝对值的几何意义．
2. 一类函数最值的求法
f (x) | x a | | x b |
(i)绝对值三角不等式；(ii)分段函数；(iii)绝对值的几何意义．
(x 4)(x 3) 0 ，即 3 x 4 时取等号． 所以 | x 4 | | x 3 | 的最小值为 1 ．则 a 1 ． 故实数 a 的取值范围是 (,1] ．
练习１
已知函数 f (x) | 2x 1| | 2x 3 | ． 若关于 x 的不等式 f (x) | a 1| 的解集非空，求实数 a
由图象可知,
只需 y f (x) 的图象有落在 y ax 的图象下方(或有公共点)的部分. 故a 的取值范围是 a 1 或 a 2 .
2
练习3 设函数 f (x) | x 3 | | x 4 |
若存在实数 a 满足 f (x) ax 1 a ，试求实数 的取值范围.
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对于 f (x) g(x) 型问题,也常用数形结合思想转化为函数图象
再处理.
例3.已知函数 f (x) | 2x 4 | 1 .
(1)作出函数 y f (x) 的图象； (２)若不等式 f (x) ax 的解集非空，求实数 a 的取值范围
解:(1)略
(２)令y f (x) , y ax
a f (x) 对 x D 有解 a [ f (x)]max
a f (x) 对 x D 无解 a [ f (x)]min a f (x) 对 x D 无解 a [ f (x)]max
例1. 求使不等式| x 4 | | x 3 | a 恒成立的 a 的取值范围.
解： 由题意知，只需 (| x 4 | | x 3 |)min a 因为 | x 4 | | x 3 || (x 4) (x 3) | 1 ，当且仅当
1. 分离参数法：
通过参数分离,将问题转化为 a f (x) (或 a f (x)) 求最值；
a f (x) 对 x D 恒成立 a [ f (x)]max
a f (x) 对 x D 恒成立 a [ f (x)]min
类似的
a f (x) 对 x D 有解 a [ f (x)]min