高考.三角函数题型分析

高考.三角函数题型分

析

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

数学.试题分析

专题.三角函数 一、题型分析

一、单调性问题

此类问题主要考查三角函数的增减性，各象限中各个三角函数值的符号等．很多情况下，需要通过三角恒等变换将已知函数式化为一个角的一个三角函数式的形式来求解．

例1 写出函数24sin cos cos y x x x x =+-在[]0π，上的单调递增区间．

解：()()2222sin cos sin cos cos y x x x x x x =+-+

π

2cos 22sin 26x x x ⎛

⎫=-=- ⎪⎝

⎭．

由已知可得πππ

2π22π262

k x k -+-+≤≤，

则ππ

ππ63k x k -++≤≤，k ∈Z ．

又[]0πx ∈，，

所以其单调递增区间是π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，5ππ6⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，．

点评：① 在求单调区间时，要注意给定的定义域，根据题意取不同的k 值；② 在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时还应注意ω的正、负，同学们可以自己求一下

π2sin 26y x ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

的单调递减区间，并与本例所求得的区间对比一下．

二、图象变换问题

三角函数的图象变换是一个重点内容．解这类问题，先通过三角恒等变换将函数化为sin()y A x ωϕ=+(00)A ω>>，的形式，然后再探索其图象是由正弦曲线经过怎样的平移变换、伸缩变换或振幅变换得到的．特别需要注意的是：在图象变换中，无论是“先平移后伸缩”，还是“先伸缩后平移”，须记清每次变换均对“x ”而言，尤其是左右平移在由形变换向数的问题转化的的时候，也是用“x + k ”代替“x ”，其它做法都是多余的。尤其是要弄清楚“变换谁得到谁”，这个问题不搞清楚，就不要做题。

例2 已知函数22sin 2sin cos 3cos 1y x x x x =++-，x ∈R ．该函数的图象可由sin y x =，x ∈R 的图象经过怎样的变换而得到？

解：22sin 2sin cos 3cos 1y x x x x =++-2sin 22cos sin 2cos 21x x x x =+=++

π

214x ⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭． 将函数sin y x =依次作如下变换：

（1）把函数sin y x =的图象向左平移π4，得到函数πsin 4y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭的图象；

（2）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的1

2

倍（纵坐标不变），得到函数

πsin 24y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭的图象；

（3倍（横坐标不变），得到函数

π

24y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭的图象；

（4）把得到的函数图象向上平移1个单位长度，得到函数π214y x ⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭的图象．

综上得到函数22sin 2sin cos 3cos 1y x x x x =++-的图象．

点评：由sin y x =的图象变换得到sin()y A x ωϕ=+的图象，一般先作平移变换，后作伸缩变换，即sin sin()sin()sin()y x y x y x y A x ϕωϕωϕ=→=+→=+→=+．如果先作伸缩变换，后

作平移变换，则左（右）平移时不是ϕ个单位，而是ϕ

ω

个单位，即

sin()sin()y x y x ωωϕ=→=+是左（右）平移ϕ

ω

个单位长度．

三、最小正周期问题

这类问题一般要通过恒等变换，然后得出我们所熟悉的三角函数---------也就是

sin()y A x ωϕ=+形式三角函数问题，从而求得其周期．最小正周期问题常与三角函数的奇偶性、单调性、对称性及最值交汇出现．应掌握几个常用三角函数的最小正周期，会求sin()y A x ωϕ=+的周期．

例3 函数42sin cos y x x =+的最小正周期为（ ）．

（Ａ）π4 （Ｂ）π

2

（Ｃ）π （Ｄ）2π

解析：4

222sin 1sin 1sin (1sin )y x x x x =+-=--

22211cos 47cos 41sin cos 1sin 214888

x x

x x x -=-=-=-=+

， 2ππ42

T ∴==．故选（Ｂ）．

点评：本题是通过平方关系、倍角公式、降次将函数化为单一且次数为一次的函数求解的．

四、求值与证明问题

此类题是高考中出现较多的题型，要求同学们掌握从题设条件入手、以题目结论或要求为目标，正确运用各类三角公式，消除角的差异，实现函数名称的转化，达到解（证）题的目的．

深刻理解三角函数的概念，熟练掌握各类三角公式，熟悉三角恒等变换的常用思想方法和变换技巧，是解决问题的关键．

例4 已知π1

tan 42

α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求tan α的值；（2）求2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值．

解：（1）由题意知π1tan 1

tan 41tan 2ααα+⎛⎫+=

= ⎪-⎝⎭，解得1tan 3α=-； （2）222

sin 2cos 2sin cos cos 2sin cos 1cos 22cos 2cos ααααααα

ααα---==+ 1115

tan 2326

α=-=--=-．