2-7利用等价无穷小量求极限

arcsin 3 x ~ 3 x .
x2 x2 1 原式 = lim = lim = 2 x→0 x ⋅ 3 x x→0 3 x 3
tan x −sin x 例4 求lim . 3 x→ 0 sin 2x
错 解 当x → 0时, tan x ~ x , sin x ~ x .
x− x 原式 ×lim = x →0 3 = 0. (2 x )

解
当x → 0时, sin 2 x ~ 2 x , 时
1 3 tan x − sin x = tan x (1 − cos x ) ~ x , 2 1 3 x 2 = 1. 原式 = lim x→0 → ( 2 x )3 16
注意 不能滥用等价无穷小代换 不能滥用等价无穷小代换. 口诀：相乘除可替换 口诀： 相加减不可替换
1 2 tan x ~ x, arctanx ~ x, 1 − cos x ~ x 2 x ln(1 + x) ~ x, loga (1 + x) ~ lna e x − 1 ~ x, a x − 1 ~ x lna
1 1 + x − 1 ~ x (1 + x )α − 1 ~ αx 2
n
1 1+ x −1 ~ x n
例1 证 :当 →0 ,4xtan3 x为 的 阶 穷 . 明 x 时 x 四 无 小
4 x tan 3 x tan x 3 解 lim ) = 4, = 4 lim( 4 x→0 x→0 x x
故当 x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
例2 证 ： x →0时 tan x −sin x为 的 阶 穷 . 明 当 , x 三 无 小
例5
1+ x −1 lim 3 x→0 1− 2 x −1
x 解： 当 x → 0时 , 1 + x − 1 ~ , 2 2x 3 1− 2x − 1 ~ − 3 x 1+ x −1 2 =−3 lim 3 = lim x→0 4 1 − 2 x − 1 x→0 − 2 x 3
• 课堂练习： 课堂练习：
1 1 1 = + ×1× 0 = 2 2 2
( x −1)(3 x −1)L n x −1) ( 例7 求 lim x→ 1 (x −1)n−1
解
令u = x − 1
则x = 1 + u
由(1 + u)α − 1 ~ αu得
( 1 + u − 1)( 3 1 + u − 1)L( n 1 + u − 1) I = lim u→ 0 u n −1
§2.7 利用等价无穷小量 求极限
无穷小量的阶（p65） 四. 无穷小量的阶（p65）
1 例如, 例如 当x → 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小 . x 2 x 2 观 = 0, lim x 比x 要快得多 ; x→0 x 察 各 sin x 极 sin x x ; = 1, lim x→0 x 限 sin x 2 lim 2 = ∞ , sin x 比 x 要慢 ; x→ 0 x →
β ( 4 ) lim k = c ≠ 0 , α 则称 β 与 α 相比是 k 阶无穷小量 .
1 ( ) lim x 1 x→ 0 1 2 x
＝０
1 1 1 1 ∴ x →0时 是 2 较 阶 穷 。 为 = o( 2 ) 当 ， 比 高 无 小 记 x x x x
x −9 （） 2 lim ＝６ x→ 3 x −3
1 1 1 u ⋅ u ⋅ L⋅ u n = 1 2 3 = lim u→ 0 n! u n −1
关于1∞型极限的求法 关于1
lim[ f ( x )]g ( x )
lim f ( x ) = 1, lim g ( x ) = ∞
lim[ f ( x )]g ( x ) = lim e g ( x ) ln f ( x )
= e lim g ( x ) ln f ( x )
注
1. 上述 个等价无穷小（包括反、对、幂、 上述12个等价无穷小（包括反、 个等价无穷小 指、三）必须熟练掌握
2.将x换成∀f ( x ) → 0都成立
等价无穷小替换（ 等价无穷小替换（p78） ）
定理(等价无穷小替换定理) 定理(等价无穷小替换定理) β′ β β′ 设α ~α′, β ~ β′ lim 存 , 则lim = lim . 且 在 α′ α α′ 证 lim β = lim( β ⋅ β ′ ⋅ α ′ ) α β′ α′ α β β′ α′ β′ = lim ⋅ lim ⋅ lim = lim . β′ α′ α α′
即 α − β = o(α ), α
同理也有 β = α + o( β )
一般地有 即α与β等价
α ~ β ⇔ β = α + o(α )
α ⇔与β互为主要部分
1 2 cos x = 1 − x + o( x 2 ). 2
例如, 例如 sin x = x + o( x ),
解三
sin x 1 x 1 I = lim + ⋅ ⋅ x cos x → 0 (1 + cos x ) ln(1 + x ) 1 + cos x ln(1 + x ) x
(1)
sin ( 2 x ) lim x → 0 (sin 2 x ) 3
x→0
3
=1/4
(2) lim
sin x − tan x
3 2
( 1+ x −1) sin x +1 −1
(
)
= -3
1 sin x + x cos x lim 例6 求 0 x→ (1+ cos x)ln(1+ x) sin x 1 + x cos x x 解一 原式 = lim x →0 ln(1 + x ) (1 + cos x ) x 1+ 0 1 = = 2 ×1 2 1 2 sin x + x cos x 解二 原式 = lim x → 0 (1 + cos x ) ⋅ x
tan x − sin x tan x 1 − cos x 1 解 Q lim )= , = lim( ⋅ 3 2 x→0 x→0 x x x 2
∴ tan x − sin x为x的三阶无穷小 .
常用等价无穷小: 常用等价无穷小: 当x → 0时, 时 sin x ~ x, arcsinx ~ x,
2
当 x ∴ x →3时 x2 − 9与 − 3是 阶 穷 。 ， 同 无 小
x−x （） 3 lim x→ 0 x
2
＝１
2
x − x2 ~ x (x →0)
当 x 等 无 小 ∴ x →0 ， − x 与 是 价 穷 。 时 x
ta n x （ 4） l i m ＝１ x→ 0 x
∴ x →0 ， x与 是 价 穷 。 当 时 tan x 等 无 小
2
1 sin x 1 ( + x cos ) = 1 = lim x → 0 1 + cos x x x 2
•
谢谢！！！ 谢谢！！！
用等价无穷小可给出函数的近似表达式: 用等价无穷小可给出函数的近似表达式
β α−β Q lim = 1, ∴ lim = 0, α α
于是有 α = β + o(α ). α
sin 2 x 例1 lim x → 0 tan 3 x
解：
当x → 0时, 2 x → 0, sin 2 x ~ 2 x , 3 x → 0, tan 3 x ~ 3 x
sin 2 x 2x 2 lim = lim = x → 0 tan 3 x x→0 3 x 3
tan 2x 例2 求lim . 0 x→ 1−cos x
2 2
, .
定义(2.10)：α,β是相同一过程的两个无穷小量.如果 : ： β是相同一过程的两个无穷小量. 定义
β (1) lim = 0 , 则称 β 是比 α 较高阶的无穷小量 α 记作 β = o (α ).
β ( 2 ) lim = ∞ , 则称 β 是比 α 较低阶的无穷小量 α 记作 β = O (α ). β ( 3 ) lim = c ≠ 0 , 则称 β 与 α 是同阶的无穷小量 α 当 c = 1时，则称 β 与 α 是等价的无穷小量 , 记 β ~ α .
解 当x → 0时, 1 − cos x ~
2
1 2 x , tan 2 x ~ 2 x . 2
(2 x ) = 8. 原式 = lim x→0 1 → 2 x 2
2
ln 1+ x2 ) ( 例3 求lim . x→ xarcsin 3x 0
解 当 x → 0时 , ln( 1 + x 2 ) ~ x 2 ,
意义
求两个无穷小之比的极限时， 求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子 或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单 的无穷小代替，以简化计算。具体代换时， 的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代 换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。 换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。