冲刺2020年高考满分数学(理)离散型随机变量的分布列、期望与方差纠错专辑解析版

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冲刺2020年高考满分数学(理)离散型随机变量的分布列、

期望与方差纠错专辑解析版

易错点1:二项式展开式的通项公式、n 次独立重复试验中事件A 发

生k 次的概率与二项分布的分布列三者易记混;

通项公式:1r n r r r n T C a b -+= (它是第r+1项而不是第r项); 事件A 发生k 次的概率:()(1)k k n k n n P k C p p -=-;

()=,0,1,2,3,01,1k k n k n p k C p q k n p p q 且ξ-==<<+=;

易错点2:混淆二项分布和超几何分布的期望和方差;

题组一

1.(2018全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,

各成员的支付方式相互独立,设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, 2.4DX =,(4)(6)P X P X =<=,则p =

A .0.7

B .0.6

C .0.4

D .0.3

【解析】由题意,X~B(10,p),所以DX=10×p×(1-p)=2.4,p=0.4或0.6,

又(4)(6)P X P X =<=,即()()644466101011C p p C p p -<-,得

1,0.62

p p >=所以

2.(2017新课标Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,表示抽到的二等品件数,则DX = .

【解析】由题意,X~B(100,0.02),所以DX=100×0.02×(1-0.02)=1.96 题组二

3.(2019全国I 理21)为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,

希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得1-分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得1-分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X .

(1)求X 的分布列;

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,(0,1,,8)i p i =表示“甲

药的累计得分为i 时, 最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则00p =,

81p =,11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =,其中(1)a P X ==-,(0)b P X ==,(1)c P X ==.假设0.5α=,0.8β=.

(i)证明:1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列;

(ii)求4p ,并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性.

【解析】(1)解:X 的所有可能取值为﹣1,0,1.

(1)1P X ,(0)11P X ,(1)1P X

∴X 的分布列为:

X

﹣1 0 1

P 1 11 1

(2)(i )证明:∵α=0.5,β=0.8,

∴由(1)得,a =0.4,b =0.5,c =0.1.

因此p i =0.4p i ﹣1+0.5p i +0.1p i +1(i =1,2,…,7),

故0.1(p i +1﹣p i )=0.4(p i ﹣p i ﹣1),即(p i +1﹣p i )=4(p i ﹣p i ﹣1),

又∵p 1﹣p 0=p 1≠0,

∴{p i +1﹣p i }(i =0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p 1的等

比数列;

(ii )解:由(i )可得,

88188776

1001p 1441143p p p p p p p p p ∵p 8=1,∴183

=41p

∴P 4=(p 4﹣p 3)+(p 3﹣p 2)+(p 2﹣p 1)+(p 1﹣p 0)+p 0=4413p 1=1257

. P 4表示最终认为甲药更有效的概率.

由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为41p 0.0039257,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.

4.(2018全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每

一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为)10(<

相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为)

f的最大

(p

(p

f,求)值点

p.

(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中

确定的

p作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有

不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?

【解答】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C202p2(1-p)18.

因此f′(p)= C202[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2 C202p(1-p)17(1-10p) 令f′(p)=0,得p=0.1.当p∈(0,0.1)时,f′(p)>0;当p∈

(0.1,1)时,f′(p)<0.

所以f(p)的最大值点为p0=0.1.

(2)由(1)知,p=0.1.

(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=40+25Y,

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×180×0.1=490.

(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验

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