学案—— 24特殊平行四边形的综合应用

A
O
B
F
D
C
第24课时
特殊平行四边 形的综合应用
一、典例解析
例：如图1，已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是 CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF． （1）求证：△ADF≌△ABE； （2）若BE＝1，求tan∠AED的值．
F A
D
EB
C
（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB，∠ADC＝∠ABC＝ 90°．∴∠ADF＝∠ABE＝90°，又∵BE＝DF ∴△ADF≌△ABE （SAS）．
二、中考演练
（一）基础训练（A组） 1．如图2，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、
F分别是Biblioteka BaiduO、AD的中点，若AC＝10cm，则EF＝ 2.5 cm．
2．如图3，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱
形BEFD的对角线交正方形ABCD的一边CD于点P，则∠PBC
的度数是 22.5°．
形ABEF是（ B ）
A
D
O
B
C
图4
图5
5.（2018广东省）如图6，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形
沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，
连接DE．
E
（1）求证：△ADE≌△CED；
D
C
（2）求证：△DEF是等腰三角形．
F
（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴AD＝BC，
AB＝CD，由折叠可知BC＝CE，AB＝
A E
D
O C
F B
（1）用SAS可证；
（2）BE=BF，∠EBD＝∠FBD，∴BD⊥EF（三线合一）， 又∵BD⊥AC，∴EF∥AC.
（二）能力提升（B组）
7.（2020广州）如图8，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针
旋转到△AB'C，AB'，AC'分别交对角线BD于点E，F，若AE
＝4，求EF•ED的值．
A
FD
A
D
F
E
P
B 图2 C
B
C
E
图3
3.（2018哈尔滨）如图4，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相
交于点O，BD＝8，tan∠ABD= 3 ，则线段AB的长为(
4
C
)．
A. 7
B. 2 7
C. 5
D. 10
4.如图5，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG
交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，则四边
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝
∠ADB＝45°，∵把△ABC绕点A逆时针
旋转到△AB'C'，∴∠EAF＝∠BDA＝45°，
∵∠AEF＝∠DEA，∴△AEF∽△DEA，
∴
∴EF•ED＝AE2，∵AE＝4，
∴EF•ED的值为16.
（三）冲刺名校（C组）
8．（2018广州）如图9，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直
平分线，垂足为点O,CE与DA的延长线交于点E，连接AC，BE，
DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；
②∠ACD=∠BAE；③AF：BE=2：3；④ S四边形AFOE : S△COD 2 : 3； 其中正确的结论有____①__②__④_____（填写所有正确结论的序号）
E
（2）过点A作AH⊥DE于点H. 解法一：在Rt△ABE中， AB＝
BC＝3，BE＝1，∴AE＝ ，ED＝
＝5 ,∵S△AED＝
AD·BA＝ ，S△ADE＝ DE·AH＝ ，解得AH＝1.8．在Rt△AHE
中，EH＝2.6，∴tan∠AED＝
＝ ． 解法二：sin∠ADH
＝sin∠CED，即＝
，可求得AH＝1.8．后面同解法一．
AE，∴AD＝CE，AE＝CD ，又
A
∵DE=DE，∴△ADE≌CED（SSS）
B
（2）由（1）得△ADE≌CED，∴∠DEA＝∠EDC，即 ∠DEF＝∠EDF ∴EF＝DF ∴△DEF是等腰三角形．
6. (2020绥化改编) 如图7，四边形ABCD是菱形，E、F分别是
AB、BC两边上的点，AE=CF. （1）求证：△ADE ≌△CDF； （2）连接EF，求证：EF∥AC