三角形内角平分线性质定理
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形内角平分线性质定理 张修元 20161209
1、已知：△ABC 中，∠1＝∠2，求证：
AC
AB
DC BD =
证明：（一）过D 作DE ∥AC ，交AB 于点E 。 则∠3＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴ EA ＝DE ，
∵DE ∥AC ，∴AE BE DC BD =
，∴DE BE
DC BD = ∵DE ∥AC ，∴AC AB DE
BE
=
，∴AC
AB
DC BD =。
（二）过D 作DE ∥AB ，交AC 于点E 。
则∠3＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴ EA ＝ED ，
∵DE ∥AB ，∴EC AE DC BD
=
，∴EC ED
DC BD = ∵DE ∥AB ，∴AC AB EC
DE
=
，∴AC
AB
DC BD =。
（三）过B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E 。 则∠E ＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠E ，∴ AB ＝BE ， ∵BE ∥AC ，∴AC BE DC BD =，∴AC
AB
DC BD =
（四）过B 作BE ∥AD ，交CA 的延长线于点E 。
则∠E ＝∠2，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠E ，∴ AB ＝AE ， ∵BE ∥AD ，∴AC AE DC BD =，∴AC
AB
DC BD =
（五）过C 作CE ∥AB ，交AD 的延长线于点E 。则∠E ＝∠1， ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠E ，∴ AC ＝EC ， ∵CE ∥AB ，∴CE AB DC BD =，∴AC
AB
DC BD =
（二）
B
B
(四）
D
B
C
C
（六）过C 作CE ∥AD ，交BA 的延长线于点E 。则∠E ＝∠1，∠3＝∠2， ∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠E ，∴ AC ＝AE ，
∵CE ∥AD ，∴AE AB DC BD =，∴AC
AB
DC BD =
（七）∵∠1＝∠2，∴Sin ∠1= Sin ∠2,
∵∠ADB ＝180°-∠ADC ，∴Sin ∠ADB= Sin ∠ADC,
∵S △ADB =121
∠•••Sin AD AB S △ADC =22
1
∠•••Sin AD AC
∴
AC
AB
S S ADC ABD =∆∆ ∵S △ADB =ADB Sin AD BD ∠•••2
1
S △ADC =
ADB Sin AD DC ADB Sin AD DC ADC Sin AD DC ∠⋅⋅⋅=∠-︒•••=∠•••2
1
)180(2121 ∴DC BD S S ADC ABD =∆∆ ∴AC
AB DC BD =
(八)作AP ⊥BC ，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，
∵S △ADB =DM AB ••21
S △ADC =DN AC ••2
1
∴AC AB
S S ADC ABD =∆∆ ∵S △ADB =AP BD ••21
S △ADC =AP DC ••2
1
∴
DC BD
S S ADC ABD =∆∆ ∴AC
AB
DC BD =
（六）
D
C
12
D
C
B
A
C
B
（九）过D 作DM ⊥AB ，过D 作DN ⊥AC ，过B 作BE ⊥AD ，交AD 延长线于E ，过C 作CF ⊥AD 于F ，
∵S △ADB =
DM AB ••21
S △ADC =DN AC ••2
1
∴AC AB S S ADC ABD =∆∆ ∵S △ADB =BE AD ••21
S △ADC =CF AD ••2
1
∴
CF BE S S ADC ABD =∆∆，CF BE AC AB =∵△BDE ∽△CDF ，∴CF BE DC BD =∴AC
AB
DC BD = （十）过B 作BE ⊥AD ，过C 作CF ⊥AD ，
∵∠1＝∠2，∠AEB ＝∠AFC ＝90°，∴△ABE ∽△ACF ，∴
AC
AB
CF BE =
∵∠BDE ＝∠CDF ，∠AEB ＝∠AFC ＝90°，∴△BED ∽△CFD ，
∴DC BD CF BE =∴AC
AB DC BD =
（十一）∵∠1＝∠2，∴Sin ∠1= Sin ∠2, ∵∠3＝180°-∠4，∴Sin ∠3= Sin （180°-∠4）， 在△ABD 与△ACD 中，由正弦定理得，
3
1∠=
∠Sin AB
Sin BD ,42∠=∠Sin AC Sin CD ,二式相除得，AC
AB
DC BD =
（十二）作BP ⊥AB ，BE ⊥AD ，CQ ⊥AC ，CF ⊥AD ， ∵∠1＝∠2，∠ABP ＝∠ACQ ＝90°，∴△ABP ∽△ACQ ，∴CQ
BP
AC AB =，∠P ＝∠AQC ，
∵∠1＝∠2，∠AEB ＝∠AFC ＝90°，∴△ABE ∽△ACF ，∴
CF
BE
AC AB =
， ∵∠P ＝∠AQC ，∠PEB ＝∠QFC ＝90°，∴△PBE ∽△QCF ，∴
CF
BE
CQ BP =，∴AC
AB
DC BD =
B
B
B
C
P
B