三角形内角平分线性质定理
初中数学 角平分线的四等分线定理的公式是什么
初中数学角平分线的四等分线定理的公式是什么
角平分线的四等分线定理没有一个具体的公式，而是一种几何性质的描述。
该定理指出，如果在一个三角形的内角上，有一条角平分线将这个角分成四个相等的角，那么这条角平分线将把对边也分成四个相等的线段。
具体来说，设有一个三角形ABC，其中∠BAC的角平分线AD将∠BAC分成四个相等的角，即∠BAD = ∠DAE = ∠EAC = ∠CAD。
根据角平分线的四等分线定理，我们可以得出以下结论：
1. 对边等分关系：角平分线AD将边BC分成四个相等的线段，即BD = DE = EF = FC。
2. 角的等分关系：角平分线AD将∠BAC分成四个相等的角，即∠BAD = ∠DAE = ∠EAC = ∠CAD。
这些关系是角平分线的四等分线定理的要点，它们描述了角平分线将角和对边分成四等分的几何性质。
证明过程已在前面的回答中详细说明，具体包括连接边、使用全等三角形的性质、角平分线的性质以及对应边相等的性质等。
希望以上回答能够解答你的问题。
如果还有其他疑问，请随时提出。
直角三角形角平分线的性质
直角三角形角平分线的性质直角三角形是指一个三角形中存在一个内角为90度的角。
直角三角形角平分线，顾名思义，就是将直角三角形的直角角平分为两个相等的角的线段。
下面将介绍直角三角形角平分线的性质。
1. 角平分线相等性：直角三角形的角平分线将直角角等分为两个相等的角。
这意味着，当一条直角三角形的角平分线与另一条角平分线相交时，它们所形成的两个角必然相等。
2. 角平分线与斜边的关系：直角三角形的角平分线与斜边的关系很特殊，它们具有以下性质：(a) 角平分线与斜边垂直：直角三角形的角平分线与斜边垂直相交。
这意味着，角平分线与斜边所形成的两个角互为互补角，它们的和为90度。
也就是说，两个角的度数加起来等于90度。
(b) 角平分线与斜边的比例关系：在直角三角形中，角平分线与斜边的长度之比等于直角三角形的两个直角角边对斜边的比值。
这一比例关系被称为角平分线定理，它表达为：AC / AB = BC / AB = AC / BC其中，AC和BC分别为直角角边，AB为斜边。
3. 角平分线与底边的比例关系：直角三角形的角平分线与底边的长度之比等于直角三角形的两个直角角边对底边的比值。
这一比例关系也被称为角平分线定理。
4. 角平分线的交点：直角三角形的角平分线两两相交于直角的外心，也就是直角的顶点所在的点。
这个点被称为直角三角形的外心。
5. 角平分线与直角角边的关系：直角三角形的角平分线与直角角边的交点，将直角角边分割成两个部分，其长度比等于斜边与整个直角角边的比值。
这一比例关系也被称为角平分线定理。
通过研究直角三角形角平分线的性质，我们可以应用这些性质去解决一些几何问题。
例如，可以利用角平分线与斜边的垂直关系来证明直角三角形的三个内角之和为180度；也可以利用角平分线与底边的比例关系来计算直角三角形的边长等等。
总之，直角三角形角平分线具有多种性质，包括相等性、垂直性、比例关系以及与直角的外心等特点。
这些性质为解决几何问题提供了有力的工具和方法。
初中数学 什么是三角形的角平分线定理
初中数学什么是三角形的角平分线定理三角形的角平分线定理是指：一条角的平分线，把该角分成两个相等的角，同时将对立面的边分成两个比例相等的线段。
在三角形的任意一个内角上，做一条平分线，将这个角分成两个相等的角，这条平分线将对立面的边分成两个线段，且这两个线段的比例相等，即称这条线段为该角的平分线。
三角形的角平分线定理可以用来解决以下问题：1. 求角平分线的长度在已知三角形的两边和一条角平分线时，可以利用角平分线定理计算出另一条边的长度。
2. 求角的大小在已知三角形的两边和一条角平分线的长度时，可以利用角平分线定理计算出该角的大小。
3. 求三角形的面积在已知三角形的两边和一条角平分线的长度时，可以利用角平分线定理将三角形分成两个三角形，进而计算出三角形的面积。
下面是三角形的角平分线定理的详细解释：假设ABC 为三角形，其中∠BAC 的平分线交BC 边于点D，那么有以下结论：1. BD/DC = AB/AC-即角平分线分割对边成比例。
2. ∠BAD = ∠CAD-即角平分线将∠BAC 平分成两个相等的角。
3. 以AD 为直径的内切圆与三角形ABC 相切于点E-即角平分线的交点D 与内切圆的圆心E 重合。
4. BE/EC = AB/AC-即角平分线分割底边成比例。
证明：我们可以根据三角形相似、三角形内切圆的性质等来证明角平分线定理。
首先，根据相似三角形的性质，可以得出：∠ABD ~ ∠ACD（AA相似），即AB/BD = AC/CD同时，根据三角形内切圆的性质，可以得出：AE = DE = CE因此，我们可以根据比例相等，得出：BD/DC = AB/AC又因为AD 是三角形的角平分线，所以∠BAD = ∠CAD，即两个角相等。
因此，由相似三角形的性质，可以得出：∠ABD ~ ∠ACD（AAS相似），即∠ABD = ∠ACD又因为AE = DE，所以∠AED 是等腰三角形，即∠AED = ∠ADE。
因此，由角度和相等，可以得出：∠BED = ∠BDE因此，由相似三角形的性质，可以得出：∠BDE ~ ∠BEC（AA相似），即BE/EC = BD/DC = AB/AC因此，我们可以得出三角形的角平分线定理。
三角形的角平分线的定理
三角形的角平分线的定理三角形的角平分线的定理是几何学中一个重要的定理，它描述了一个角的平分线将该角分成两个相等的角。
本文将详细介绍这个定理的定义、证明以及一些相关的性质和应用。
一、定理的定义三角形的角平分线的定理是说：在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是这个角的平分线。
二、定理的证明为了证明这个定理，我们可以使用一些几何性质和定理。
首先，我们需要了解一些三角形的基本性质。
1. 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度。
2. 三角形外角和定理：三角形的一个内角和与其相邻的一个外角的和等于180度。
基于以上性质，我们可以进行如下证明：设在三角形ABC中，AD是角A的平分线，D位于BC上。
我们需要证明角BAD等于角DAC。
我们连接AC，然后延长AD，使其与BC相交于点E。
根据三角形内角和定理，角DAC + 角CAD = 角CAD + 角EAD = 180度。
因此，我们得到角DAC = 角EAD。
接下来，我们需要证明角BAD = 角EAD。
根据三角形外角和定理，角BAD + 角EAD = 角BAC。
又因为角DAC = 角EAD，所以角BAD + 角DAC = 角BAC。
由于角DAC = 角BAD + 角CAD，我们可以得到角BAD + 角BAD + 角CAD = 角BAC。
化简可得2角BAD + 角CAD = 角BAC。
又因为角CAD = 角DAC，所以2角BAD + 角DAC = 角BAC。
由于角BAC + 角BAD + 角DAC = 180度（三角形内角和定理），我们可以得到2角BAD + 角DAC + 角DAC = 180度。
化简可得2角BAD + 2角DAC = 180度，即角BAD + 角DAC = 90度。
我们可以得出结论：如果AD是角A的平分线，那么角BAD等于角DAC。
同样的证明方法可以应用于其他两个角。
三、定理的性质和应用三角形的角平分线的定理不仅仅是一个简单的定理，它还有很多重要的性质和应用。
三角形内角平分线性质定理
三角形内角平分线性质定理
三角形内角平分线性质定理有两个，其中一个是：若AD为△ABC内角平分线，则BD:DC=AB:AC；在该文中记为性质定理一。
另一个就是斯库顿定理。
斯库顿定理
斯库顿定理：若AD为△ABC内角平分线，则
AD^2=AB\cdot AC-BD\cdot CD\\
证明：作∠CDE=∠BAD=∠CAD，显然∠ADE=∠ABD，那么
△ADE∽△ABD，△DCE∽△ACD，所以
\begin{aligned} \frac{AD}{AB}&=\frac{AE}{AD}\\
\therefore\quad AD^2&=AB\cdot AE\\ \end{aligned}\\
\begin{aligned}
\frac{CE}{CD}&=\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{AB}\\
\therefore\quad BD\cdot CD&=AB\cdot CE\\
\end{aligned}\\
两个式子相加，即得所证。
推论
假设△ABC的三条边分别为a、b、c，由性质定理一可得：若AD为△ABC内角平分线，则
\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}\\
再由斯特瓦尔特定理，可知
AD^2=bc-\frac{bca^2}{(b+c)^2}\\
而斯库顿定理
\begin{aligned} AD²&=AB\cdot AC-BD\cdot CD\\ &=bc-BD\cdot CD \end{aligned}\\
所以
BD\cdot CD=\frac{bca^2}{(b+c)^2}\\。
角平分线性质定理
角平分线性质定理定理说明在几何学中，角平分线性质定理是一个重要的几何定理。
它指出：如果一条直线将一个角分成两个相等的角（即平分该角），那么这条直线就被称为该角的角平分线。
根据这个定理，我们可以得出一些有趣的推论和性质。
角平分线的性质性质一：角平分线两侧的角相等若一条直线分割一个角，并且它分成的两个角相等，那么这条直线就是该角的平分线。
以角A为例，若BD为角A的角平分线，则∠ABD = ∠CBD。
性质二：角平分线在三角形中的应用在一个三角形中，如果一条角平分线平分了一个内角，那么它将三角形分成两个相似的三角形。
我们可以利用这个性质来求解三角形内部角的度数。
性质三：角平分线长度关系两内锐角平分线的长度之比等于与这两个角的正弦比值。
性质四：角平分线与外切圆关系若角BAC的角平分线交外接圆于点D，那么∠BDC = 90°。
性质五：角平分线的唯一性对于一个给定的角，其角平分线唯一且确定。
应用和分析角平分线性质定理在几何学中有着广泛的应用。
通过合理应用这些性质，我们可以有效地解决角平分线相关的问题，从而推理出更复杂的几何问题的解决方案。
同时，深入了解角平分线的性质也有助于提高我们的几何推理能力，培养我们的数学思维和逻辑推理能力。
结论角平分线性质定理是几何学中一个基础而重要的定理，它揭示了角平分线的一些重要性质和应用。
通过深入理解和应用这个定理，我们可以更好地解决几何学中有关角平分线的问题，并且提高自己的数学分析能力。
对于学习几何学的人来说，掌握角平分线性质定理是必不可少的，它将为我们的数学学习之路增添光彩。
三角形内外角平分线性质定理优秀课件
平行线分线段成比例定理推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边
(或两边的延长线），所得的对应线段成比例
推论的基本图形:
A E B
A D
D
E
F
D
E
A
A
B
C
C B
CB
CD
E
三角形内角平分线定理：
A
在ABC中，若AD为BAC的
B
D
C
平分线，则：ABBD AC CD
• 已知：如图8-4甲所示，AD是△ABC的内角∠BAC的 平分线。
• 已知：如图8-5甲所示，AD是△ABC中 ∠BAC的外角∠CAF的平分线。
• 求证： BA/AC=BD/DC
• 思路1：作角平分线AD的平行线，用平行线 分线段成比例定理证明。
• 思路2：利用面积法来证明。
• 已知：如图8-5乙所示，AD是△ABC内角∠BAC的外角 ∠CAF的平分线。
• 求证： BA/AC=BD/DC.
结论：使用面积法时，要善于从不同的角度 去看三角形的底和高。在该证法中，我们看 △BAD和△DAC的面积时，先以BA和AC作 底，而以DF、DE为等高。然后以BD和DC为 底，而高是同高，图中并没有画出来。你学 会这种变换
1 .在 A B C中 , A D是 A B C的 平 分 线 ， A B = 5 cm ， A C = 4 cm ， B C = 7 cm ， 则 B D = _ _ _ _ _ _ _
2 . 分 线 ， A B -A C = 5 , B D -C D = 3 , D C = 8 ， 则 A B = _ _ _ _ _ _ _
• 证明2：过D作DE⊥AC于E，DF∥⊥BA的延长线于F；
• ∵ ∠DAC=∠DAF；（已知）
角平分线三个定理-概述说明以及解释
角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。
它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。
这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。
在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。
以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。
角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。
这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。
这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。
这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。
利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。
它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。
通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。
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三角形内角平分线性质定理 张修元 20161209
1、已知：△ABC 中，∠1＝∠2，求证：
AC
AB
DC BD =
证明：（一）过D 作DE ∥AC ，交AB 于点E 。
则∠3＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴ EA ＝DE ，
∵DE ∥AC ，∴AE BE DC BD =
，∴DE BE
DC BD = ∵DE ∥AC ，∴AC AB DE
BE
=
，∴AC
AB
DC BD =。
（二）过D 作DE ∥AB ，交AC 于点E 。
则∠3＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴ EA ＝ED ，
∵DE ∥AB ，∴EC AE DC BD
=
，∴EC ED
DC BD = ∵DE ∥AB ，∴AC AB EC
DE
=
，∴AC
AB
DC BD =。
（三）过B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E 。
则∠E ＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠E ，∴ AB ＝BE ， ∵BE ∥AC ，∴AC BE DC BD =，∴AC
AB
DC BD =
（四）过B 作BE ∥AD ，交CA 的延长线于点E 。
则∠E ＝∠2，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠E ，∴ AB ＝AE ， ∵BE ∥AD ，∴AC AE DC BD =，∴AC
AB
DC BD =
（五）过C 作CE ∥AB ，交AD 的延长线于点E 。
则∠E ＝∠1， ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠E ，∴ AC ＝EC ， ∵CE ∥AB ，∴CE AB DC BD =，∴AC
AB
DC BD =
（二）
B
B
(四）
D
B
C
C
（六）过C 作CE ∥AD ，交BA 的延长线于点E 。
则∠E ＝∠1，∠3＝∠2， ∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠E ，∴ AC ＝AE ，
∵CE ∥AD ，∴AE AB DC BD =，∴AC
AB
DC BD =
（七）∵∠1＝∠2，∴Sin ∠1= Sin ∠2,
∵∠ADB ＝180°-∠ADC ，∴Sin ∠ADB= Sin ∠ADC,
∵S △ADB =121
∠•••Sin AD AB S △ADC =22
1
∠•••Sin AD AC
∴
AC
AB
S S ADC ABD =∆∆ ∵S △ADB =ADB Sin AD BD ∠•••2
1
S △ADC =
ADB Sin AD DC ADB Sin AD DC ADC Sin AD DC ∠⋅⋅⋅=∠-︒•••=∠•••2
1
)180(2121 ∴DC BD S S ADC ABD =∆∆ ∴AC
AB DC BD =
(八)作AP ⊥BC ，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，
∵S △ADB =DM AB ••21
S △ADC =DN AC ••2
1
∴AC AB
S S ADC ABD =∆∆ ∵S △ADB =AP BD ••21
S △ADC =AP DC ••2
1
∴
DC BD
S S ADC ABD =∆∆ ∴AC
AB
DC BD =
（六）
D
C
12
D
C
B
A
C
B
（九）过D 作DM ⊥AB ，过D 作DN ⊥AC ，过B 作BE ⊥AD ，交AD 延长线于E ，过C 作CF ⊥AD 于F ，
∵S △ADB =
DM AB ••21
S △ADC =DN AC ••2
1
∴AC AB S S ADC ABD =∆∆ ∵S △ADB =BE AD ••21
S △ADC =CF AD ••2
1
∴
CF BE S S ADC ABD =∆∆，CF BE AC AB =∵△BDE ∽△CDF ，∴CF BE DC BD =∴AC
AB
DC BD = （十）过B 作BE ⊥AD ，过C 作CF ⊥AD ，
∵∠1＝∠2，∠AEB ＝∠AFC ＝90°，∴△ABE ∽△ACF ，∴
AC
AB
CF BE =
∵∠BDE ＝∠CDF ，∠AEB ＝∠AFC ＝90°，∴△BED ∽△CFD ，
∴DC BD CF BE =∴AC
AB DC BD =
（十一）∵∠1＝∠2，∴Sin ∠1= Sin ∠2, ∵∠3＝180°-∠4，∴Sin ∠3= Sin （180°-∠4）， 在△ABD 与△ACD 中，由正弦定理得，
3
1∠=
∠Sin AB
Sin BD ,42∠=∠Sin AC Sin CD ,二式相除得，AC
AB
DC BD =
（十二）作BP ⊥AB ，BE ⊥AD ，CQ ⊥AC ，CF ⊥AD ， ∵∠1＝∠2，∠ABP ＝∠ACQ ＝90°，∴△ABP ∽△ACQ ，∴CQ
BP
AC AB =，∠P ＝∠AQC ，
∵∠1＝∠2，∠AEB ＝∠AFC ＝90°，∴△ABE ∽△ACF ，∴
CF
BE
AC AB =
， ∵∠P ＝∠AQC ，∠PEB ＝∠QFC ＝90°，∴△PBE ∽△QCF ，∴
CF
BE
CQ BP =，∴AC
AB
DC BD =
B
B
B
C
P
B
（十三）作∠ADE ＝∠C ，
∵∠1＝∠2，∠C ＝∠3，∴△ADE ∽△ACD ，
DE
AD
DC AC =
∵∠5+∠3＝∠2+∠C ，∠1＝∠2，∠C ＝∠3，∴∠5＝∠1.
∵∠5＝∠1，∠B ＝∠B ，∴△BDE ∽△BAD ，DE
AD
DB AB =
∴BD AB DC AC =∴AC
AB DC BD =
（十四）作∠ACE ＝∠B ，
∵∠1＝∠2，∠B ＝∠3，∴△ABD ∽△ACE ，
CE
BD
AC AB =
∵∠4＝∠2+∠3，∠5＝∠1+∠B ，∠1＝∠2，∠B ＝∠3，∴∠4＝∠5，∴CE ＝CD ，∴AC
AB
DC BD =
（十五）作∠ABE ＝∠C ，
∵∠1＝∠2，∠ABE ＝∠C ，∴△ABE ∽△ACD ，CD
BE
AC AB =
∵∠E ＝180°-∠1-∠ABE ，∠5＝∠1+∠3＝180°-∠2-∠C ，
∵∠1＝∠2，∠ABE ＝∠C ，∴∠E ＝∠5，∴BE ＝BD ，∴AC
AB
DC BD =
（十六）作∠ACE ＝∠ADB ，交AD 延长线于点E ，
∵∠1＝∠2，∠ACE ＝∠ADB ，∴△ACE ∽△ADB ，∴CE AE
DB AB =
，∠1＝∠3， ∵∠1＝∠3＝∠2，∠E ＝∠E ，∴△ECD ∽△EAC ，∴CE AE CD AC =，∴CD
AC DB AB =∴AC
AB
DC BD =
（十七）把△ACD 沿AD 反射得到△AED ，则因∠1＝∠2，点E 在AB 上，△ADC ≌△ADE ，DE ＝DC ， ∠AED ＝∠C ，以D 为圆心，DE 为半径作弧，交AB 于点F ，∴FD ＝DC ＝DE ，则∠3＝∠4＝∠C ， ∵∠4＝∠C ，∠B ＝∠B ， ∴△BDF ∽△BAC ，∴FD DB AC AB =，∴CD
DB
AC AB =。
（十三）B
B
B
（十七）
B
（十八）作∠ADE ＝∠B ，交AC 于点E ， ∵∠1＝∠2，∠B ＝∠4，∴△ABD ∽△ADE ，∴
DE
AD
BD AB =
∵∠3＝∠2+∠4＝∠1+∠B ，∠ADC ＝∠B+∠1，∴∠3＝∠ADC ，∠C ＝∠C ，
∴△CDE ∽△CAD ，∴DE AD CD AC =，∴DC AC BD AB =，∴AC
AB DC BD =
（十八）
B
C。