高中数学常见的知识类比
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专题高中数学常见的知识类比
一、⑴类比的定义：由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
⑵类比推理的一般步骤：
⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；
⑵用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；
⑶一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；
⑷在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。
⑶类比推理的特点：
①类比是人们已经掌握了事物的属性，推测正在研究的事物的属性，它以已有认识作基础，类比出新的结果；
②类比是从一种事物的特殊属性推测出另一种事物的特殊属性；
③类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．
二、常见的几种类比：
代数方面：加→乘，减→除，乘→乘方，除→开方，实数与向量.数与式（分数对分式、整数对整式、有理数对有理式）.等式→不等式，等差数列→等比数列等等。
几何方面：平面（二维）→立体（三维），线段→面，面积→体积，平面角→二面角.
解析几何方面：圆→椭圆，椭圆→双曲线
(1) a=b?a+c=b+c; (1) a＞b?a+c＞b+c;
(2) a=b? ac=bc; (2) a＞b? ac＞bc;
(3) a=b?a2=b2;等等。 (3) a＞b?a2＞b2;等等
【3】实数系与向量系的类比：
实数系向量系
实数0、单位1
数a的相反数－a
实数a的绝对值| a |零向量0
→
、单位向量e
→向量a
→
的相反向量－a
→向量a
→
的模|a
→
|
运算规律：
①交换律：a＋b＝b＋a
②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，
(ab)c＝a(bc)
③分配律：a(b＋c)＝ab＋ac
④消去律：若ab＝ac，a≠0，则b＝c
⑤若ab＝0，则a＝0，或b＝0
⑥公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2
(a±b)2＝a2±2ab＋b2
⑦ | a·b |＝| a |·| b |运算规律：
①交换律：a
→
＋b
→
＝b
→
＋a
→
②结合律：(a
→
＋b
→
)＋c
→
＝a
→
＋(b
→
＋c
→
)
(a
→
·b
→
)c
→
≠a
→
(b
→
·c
→
)（乘法不满足）③分配律：a
→
·(b
→
＋c
→
)＝a
→
·b
→
＋a
→
·c
→
④不满足消去律：若a
→
·b
→
＝a
→
·c
→
，那么b
→
与c
→不一定相等.
⑤若a
→
·b
→
＝0，那么不一定a
→
＝0
→
或b
→
＝0
→
.
⑥公式：(a
→
＋b
→
)·(a
→
－b
→
)＝a
→2
－b
→2
(a
→
±b
→
)2＝a
→2
±2a
→
·b
→
＋b
→2
⑦|a
→
·b
→
|≤|a
→
|·|b
→
|
|| a |－| b ||≤| a±b |≤| a |＋| b |||a→|－|b→||≤|a→±b→|≤|a→|＋|b→|【4】利用平面向量的性质类比空间向量的性质
【5】平面几何与立体几何的类比：
【6】试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积
引申：试通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R”，猜测关于球的相应命题为_______________________
【7】三角形与四面体的性质类比：
【8】直角三角形与直角四面体的类比：
【9】等差数列与等比数列的类比：
【10】椭圆与双曲线的类比：