画法几何—曲线曲面
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2 5(6) 9(10)
SV ⑷连点并判别可见性。 ⑸补全投影轮廓线。
6
10 4
8
2
1
7 3
9 5
49
【例2】求作两圆柱的相贯线。
3
5
2
1 6 4
(1)全贯,未惯出,一组相贯线。 (2)直立圆柱的H面投影积聚。 (3)求一系列特殊点及一般点。 (4)连点并判别可见性。 (5)补全投影轮廓线。
2 SH
点都画出一个垂直于 轴的圆。
上底圆
正面轮
m
廓素线
n
喉圆 M
纬圆
n
赤道圆
特性:
V
m
1. 经过轴的平面和曲面相交于以轴为对称的两条素线;
2. 垂直轴的平面必和曲面相交于一个纬圆。
5
§6-2 曲面的形成及表示法
有导线导面的直纹曲面
a(d)
D
Ⅱ
M
A
2 m
1
C
Ⅰ
E
c
B
b
e
立体图
c2
d
e
m 导线:垂直于H面的直线AB
• 辅助面的选择:
–辅助面应与两曲面都相交成最简单的截交线(直线和圆); –辅助面的位置使所求的公共点最好是相贯线上的特殊点(如两曲 面外形轮廓线上的点,也是相贯线投影的虚实分界点)。
48
【例1】求圆锥与圆柱的相贯线。
1 7(8) PV
RV 3(4)
⑴互贯,一组相贯线。 ⑵水平圆柱的V面投影积聚。 ⑶求一系列特殊点及一般点。
根据截平面的不同位置有三种情况:
P
P
P
椭圆
圆
素线
15
【例1】求圆柱切割体的投影。
8(9) 4(5) 2(3) 6(7) 1
9
8
5
4
3 7
2
6 1
3
7
9(5)
1
yy
yy
6
8(4)
2
16
【例2】已知圆柱切割体的正面投影,求其它两投影。
1'
6'
7'8' 4'百度文库'
2'3'
53 8 6
1
4 27
1" 6"
b
b1
13
§6-4 平面与曲面立体相交
学习要点 掌握体的截交线的特性及投影的求法、可见性判别
• 截交线为封闭的平面曲线(含直素线),或平面曲线与直线组成。 • 求解的方法:素线法,纬圆法 • 特殊点:轮廓线上的点、椭圆的长短轴的端点等
P
特殊点
P
14
§6-4 平面与曲面立体相交
一、 平面与圆柱相交
8"5"
4"7"
3"
2"
注意:
必须求出截交 线上的形状控制点, 以便准确确定截交 线的形状。
17
§6-4 平面与曲面立体相交
二、平面与圆锥相交
根据截平面的不同位置有五种情况:
P
P P
圆
椭圆
P
两条素线 P
P平行于圆锥上一 条素线——抛物线
P平行于圆锥上两条 素线——双曲线
18
【例3】求正垂面P截割圆锥的截交线。
• 两曲面立体的相贯线: 是两曲面的公共点的连线 一般情况是封闭的空间曲线;某些特殊情况是平面曲线。
39
§6-7 两曲面立体相贯
• 两曲面立体的相贯线: 是两曲面的公共点的连线 一般情况是封闭的空间曲线;某些特殊情况是平面曲线。
• 特殊情况 当两个回转体具有公共轴线时,其表面的相贯线为圆
40
§6-7 两曲面立体相贯
44
§6-7 两曲面立体相贯
• 特殊情况
45
【例1】求作大、小两圆柱导管的接管及其表面交线。
n
o1
m
a
c
e(f ) o2
d
b
f
m o1 n
o2
a (d )
c (b )
e
解题步骤:
1.作出各导管的内 切球面;
2.作圆锥面接管与 这两个球面相切;
3.求出接管与两导 管交线的投影。
46
【例2】求由两个半圆柱面组成的屋顶的交线。
b"
a
d
PHb
20
【例5】求圆锥切割体的投影。
10
8(9) 4(5) 6(7) 1 2(3)
10
7 9 5
8 6 4
3
2
1
3 57 9
1
10
2 46 8
步骤:
1、求截交线的投影。 2、求相邻截平面之交线。 3、判别可见性。
21
§6-4 平面与曲面立体相交
三、 平面与球相交
截交线为圆,但其投影可能是圆、椭圆或直线(积聚)。
o
AC
B
l
56
§6-8 有导线导面的直纹曲面
2 锥面:一直线沿着一条曲线滑动,并始终通过一固定的点。
S
AC B
锥面构成的壳体建筑
57
§6-8 有导线导面的直纹曲面
2 锥面:一直线沿着一条曲线滑动,并始终通过一固定的点。
s
S
o
AC B
o s
58
§6-8 有导线导面的直纹曲面
3 柱状面 :一直线沿着两条曲线滑动,并始终平行于一个平面。
D
E
F
A
B
P
C d
e
f
PH a
b c
导线:曲线ABC、DEF 导面:P面 母线:直线AD
柱状面构成的拱门
59
§6-8 有导线导面的直纹曲面
4 锥状面 :一直线沿着一条曲线和一条直线滑动,并始终平行于一个平面。
a(b)
b
D
导线:垂直于V 面的直线AB
平行于H面的圆
导面:V面 母线:AD
a
60
§6-8 有导线导面的直纹曲面
• 椭圆的画法——已知椭圆的长短轴
E C
F O4
O1
O3
A
B
O2 D
四心圆弧法
3
§6-2 曲面的形成及表示法
➢ 曲面可以看成是线运动的轨迹。运动的线叫做母线。 • 回转曲面:
母线(直线或曲线)绕一条固定的直线(轴)回转, 所形成的曲面。要素:母线和轴。
• 有导线导面的直纹曲面:
母线(直线)在固定的直线和曲线上滑动,又始终平行于某一固定 的平面,所形成的曲面。要素为母线、导线和导面。
➢曲面投影的绘制:
确定曲面各要素的投影,画出曲面各外形轮廓线的投影。
➢曲面的外形轮廓线:
该曲面在某一投影方向上的最大范围线。不同的投影方向其外形轮 廓线不同。曲面的外形轮廓线是曲面可见和不可见的分界线。
4
§6-2 曲面的形成及表示法
回转曲面
• 母线只有一条 • 素线:母线运动的每
一个位置(无数条) • 纬圆:母线上的每一
c b
a
(c) (b)
a
c ab
8
§6-3 曲面立体的投影
3 圆球 在球表面上取点
m
m
M m
注 纬圆法求点。
9
【例2】已知球体表面的点M、N,完成其投影。
m (n)
m (n)
y
n
m
y
球体表面 的特殊点 可利用轮 廓素线的 投影直接 求出。
10
§6-3 曲面立体的投影
4 圆环
m
注 纬圆法求点。
m
3
35
【例3】求棱柱与正圆锥的相贯线。
4'
3' 1'
5'
6'
2'
4" 3" 1"
2" 5"
6"
7"
6 4
3 1
52
36
37
【例4】求棱柱与圆柱的相贯线。
7 5(6) 3(4) 1(2)
6" 4"
2"
7" 5" 3"
1"
已知相贯线的 两投影求第三
投影
46 2
7
1 35
38
§6-7 两曲面立体相贯
• 特殊情况
– 公切于同一球面的圆柱相交时,其相贯线为两条平面 曲线——椭圆
41
§6-7 两曲面立体相贯
• 特殊情况
42
§6-7 两曲面立体相贯
• 特殊情况
公切于同一 球面的圆柱 相交时,其 相贯线为两 条平面曲线 ——椭圆
43
§6-7 两曲面立体相贯
• 特殊情况
公切于同一球 面的圆锥相交时 ,其相贯线为两 条平面曲线—— 椭圆。
辅助平面的选择:应使截交线为圆、直素线等简单图形 • 特殊情况(有积聚性)可直接求出贯穿点。 • 可见性的判别:直线穿进形体内部的那一段线不需要画出,其余与
形体重影的线段应判别可见性,不可见的画虚线。
27
【例1】求直线AB与圆柱的贯穿点。
b' n' m' a'
b n
m a
28
【例2】求直线AB与圆锥的贯穿点。
7
5
3
8
2
7
PH
5
QH
3
SH
RH 2
8
1 6 4
1 6 4
6 4
52
【例5】求作圆柱与半球的相贯线。
相贯线上的最高 点与最低点位于 公共对称平面上。
7 1 3
9
6 10 8 4
5 2
6 1 7 3
9 5
10 8
YH TH
4
SH
2 RH
PH QH
8 4
53
【例6】求直立圆柱与水平半圆柱的相贯线
1
2
2 PV
3(4) 5(6)
1 7(8)
2
4
3
6
5
8
7
1
86 4
1
2
75 3
注意:
必须求出截交 线上的形状控制点, 以便准确确定截交 线的形状。
19
【例4】求平面P与圆锥的截交线。
PV
a'
d'(e')
b'(c') c
e
a"
e"
d"
c"
分析: 圆锥的表面没
有积聚性,必须 通过素线法或纬 圆法求解截交线 上的各点。
47
§6-7 两曲面立体相贯
• 两曲面立体的相贯线,是两曲面的公共点的连线,
在一般情况下,是封闭的空间曲线;
• 求解方法为辅助平面法和辅助球面法:
– 第一步,加辅助截平面; – 第二步,分别求出此辅助截平面与两曲面的截交线; – 第三步,确定所求截交线的交点。 求出一系列的公共点,用曲线依次光滑地连接起来。
平行于V面的半圆CDE
1
导面:H面 母线:BC
a(b)
投影图
6
§6-3 曲面立体的投影
学习要点 曲面立体的投影特性及在形体表面上取点的方法
曲面立体
圆柱 圆锥 圆球 圆环 单叶回转双曲面
由曲面或曲面与平面共同 围成的立体。
S
• 在曲面立体表面上取点的方法:
E
素线法
纬圆法
7
【 】 例1 已知圆锥表面的点A、C的V面投影及B点的H面投影,完成其它投影。
a' m'
n' b' PV
a
m
n
b
29
【例3】求直线AB与圆锥的贯穿点。
a'(b') (m'n') b n
m a
30
【例4】求直线AB与球的贯穿点。
a'
m'
PV
n' b'
a m
n b
31
【例5】求直线AB与球的贯穿点。
b'
m'
n'
X a'
O
虚线
m
b
n
a
X1
a'1
n'1
m'1
b'1
32
§6-6 平面立体和曲面立体相贯
PV
RW
RH
22
【例6】求正垂面PV与球面的截交线。
2'
7'8' 3'4' 5'6'
1'
PV
8" 4"
6"
4 6
8
2"
7"
3"
5" 1"
分析: 通过纬圆法求
解,必须求出截 交线——椭圆中 各投影的长短轴, 及最外轮廓线上 的点。
1
2
5 37
23
【例7】补全圆球切割体的H、W投影。
24
【例8】已知薄壳屋面的H投影为正六边形,完成其它投影。
• 连点原则和相贯线可见性的判别方法同上
33
【例1】求平面立体与曲面立体的相贯线。
3' 1' 6'
4' 7' 2'
5'
利用在棱锥表面上 取点的方法求解
1
2
3
4
67
5
34
【例2】求圆锥与三棱柱的相贯线。
利用在圆锥 表面上取点 的方法求解
PV 1
2
RV
4
5
QV
3
1"(2") 4"(5")
3"
1
2
4
5
5 双曲抛物面:一直线沿着两条交叉直线滑动,并始终平行于一个平面。
a
c
1 2
3 4
包络线(抛物线)
m
7
6 5 4
5
3
6
2
7
1
a (c )
7 1
6
2
5
3
4
4
3
m
5
2
6
1
7
b (d )
d
C b
d
PH
1
2 3
QH
4
5
a
m
67
c
1 2 3
4 5 6
1
2
3 4
1
2
1
4
2
3
25
【例9】已知圆锥表面的曲线ABC的V面投影,完成其它投影。
c 1
a b
c 1
a b
y
a
c
y
b1
26
§6-5 直线与曲面立体相交
学习要点 掌握体的贯穿点的特性及其投影的求法
可见性的判别 • 贯穿点的求解方法:辅助平面法
1. 经过已知直线作一个辅助截平面; 2. 求出此辅助截平面与已知立体的截交线; 3. 确定所求截交线与已知直线的交点。
1
第六章 曲线 曲面
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6 §6-7 §6-8 §6-9
曲线的形成及投影 曲面的形成及表示法 曲面立体的投影 平面和曲面立体相交 直线和曲面立体相交 平面立体和曲面立体相交 两曲面立体相交 有导线导面的直纹曲面 螺旋线和螺旋面
2
§6-1 曲线的形成及投影
3(4) 5(6)
y
RH QH
1
PH
50
【例3】求作圆柱与半球的相贯线。
1 5(7) 3(4) 6(8) 2
7
1
5
4 RH
8 TH
2 QH
6
SH
PH
3
51
【例4】求圆柱与球的相贯线。
公共对称平面:
两回转体相贯其 轴线所决定的平面为 公共对称平面。它把 相贯体分割成对称的 两部分。
特性:
1. 相贯线对称于该 对称平面; 2. 最高点和最低点 在该对称平面上。
• 平面立体与曲面立体相交,其相贯线由若干平面曲线(或 与直线段)组成的空间曲线。
• 求解相贯线一般是求作:
1. 平面与曲面立体的截交线; 2. 棱线与曲面立体的贯穿点或曲面立体的素线与
平面立体棱面的贯穿点。
• 特殊情况:
1. 若两个投影有积聚性时可直接求出第三投影。 2. 若立体的一个投影有积聚性时可借助在另一立体的表面上取点、取 线的方法求出。
4 3
5
1"(2") 4"(5") 3"
1
2
4
5
3
54
【例7】求圆锥与圆柱的相贯线。
1' 4'
3' 5' 2'
PV
QV RV
1"
4" PW QW
3" RW
5" 2"
yy
yy
2
1
4 5
3
55
§6-8 有导线导面的直纹曲面
1 柱面:一直线沿着一曲线滑动,并始终平行于另一固定的直线。
l
o
L A1
C1
B1
11
§6-3 曲面立体的投影
5 单叶回转双曲面
形成一:以双曲线为母 线,绕其虚轴旋转而成。
12
§6-3 曲面立体的投影
5 单叶回转双曲面
a1
c
a a0
形成二:以交叉两直线中的一条 为母线,另一条为轴线旋转而成。
b
a1
m
m0
d b1 b0
c(d) m0 m
a0 b0 a
特点:
1. 曲面上有 两族直线 2. 第一族直 线与第二族 直线相交 3. 同一族的 任何两条直 线必交叉