利用导数研究函数零点问题
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1.设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a . (1)求f (x )的单调区间；
(2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．
2．函数f (x )＝13x 3
－kx ，其中实数k 为常数． (1)当k ＝4时，求函数的单调区间；
(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝k 只有一个交点，求实数k 的取值范围．
3．(优质试题·贵阳调研)已知函数f (x )＝ax －a
e x (a <0)． (1)当a ＝－1时，求函数
f (x )的极值；
(2)若函数F (x )＝f (x )＋1没有零点，求实数a 的取值范围．
4.设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2
e x . 已知曲线y ＝
f (x ) 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行． (1)求a 的值；
(2)是否存在自然数k ，使得方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由．
5．已知函数f(x)＝(x＋a)e x，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a<1时，试确定函数g(x)＝f(x－a)－x2的零点个数，并说明理由．
答案精析
1．(1)解f′(x)＝2x e x＋(1＋x2)e x＝(x2＋2x＋1)e x
＝(x＋1)2e x，∀x∈R，f′(x)≥0恒成立．
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
(2)证明∵f(0)＝1－a，f(a)＝(1＋a2)e a－a，
∵a>1，∴f(0)<0，f(a)>2a e a－a>2a－a＝a>0，
∴f(0)·f(a)<0，∴f(x)在(0，a)上有一个零点，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上递增，
∴f(x)在(0，a)上仅有一个零点，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．
2．解(1)因为f′(x)＝x2－k，
当k＝4时，f′(x)＝x2－4，
令f′(x)＝x2－4＝0，
所以x1＝2，x2＝－2.
f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)；单调递减区间是(－2,2)．
(2)令g(x)＝f(x)－k，由题意知，g(x)只有一个零点．因为g′(x)＝f′(x)＝x2－k.
当k＝0时，g(x)＝1
3x 3，
所以g(x)只有一个零点0.
当k<0时，g′(x)＝x2－k>0对x∈R恒成立，所以g(x)单调递增，所以g(x)只有一个零点．
当k>0时，令g′(x)＝f′(x)＝x2－k＝0，解得x1＝k或x2＝－k.
g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：
g (x )有且仅有一个零点等价于g (－k )<0，即23k k －k <0，解得0 4. 综上所述，k 的取值范围是k <9 4. 3．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋1e x ，f ′(x )＝x －2 e x . 由 f ′(x )＝0，得x ＝2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： 所以，函数f (x )的极小值为f (2)＝－1 e 2，函数 f (x )无极大值． (2)F ′(x )＝f ′(x )＝a e x －(ax －a )e x e 2x ＝－a (x －2) e x . 当a <0时，F ′(x )，F (x )随x 的变化情况如下表： 若使函数F (x )没有零点，当且仅当F (2)＝a