相反数与绝对值

相反数与绝对值

一、知识精讲

1、相反数

（1）只有不同的两个数叫互为相反数的数；特别的，0的相反数是。

（2）数a 的相反数是，a ＞0时，-a ；当a ＜0时，-a ；当a=0时，a.

（3）a 、b 互为相反数，那么；反之，若a+b=0，则。

（4）互为相反数的两个数在数轴上位于原点两旁，且到原点的距离。

2、绝对值

（1）一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。

a =

（2）绝对值的几何意义：

b a -在数轴上表示：

（3）互为相反数的两个数绝对值相等，即a b b a a a 22,-=--=。

（4）任意一个数的绝对值是非负数，即a 0.

注：（1）2

22a a a ==

（2）b a b a ⋅=⋅；)0(,≠=b b

a b a （2）0是绝对值最小的有理数。当0=a 时，a 取得最小值0，反过来成立。

二、典例剖析

类型1：相反数

例1、已知b a -=1，b 的相反数是1，则a=。

变式：下列说法：①有理数的绝对值一定是正数；②一个数的绝对值的相反数一定是负数；③互为相反数的两个数，必然一个是正数，一个是负数；④互为相反数的两个数绝对值相等；⑤π的相反数是-3.14；⑥任何一个数都有它的相反数。

其中正确的有（填序号）

1、n m ,互为相反数，则下列结论错误的是（ ）

A.022=+n m

B.2m mn -=

C.n m =

D.

1-=n

m 例2、如图所示，已知A ，B ，C ，D 四个点在一条没有原点的数轴上

（1）若点A 和点C 表示的两个数互为相反数，则原点为；

（2）若点B 和点D 表示的两个数互为相反数，则原点为；

（3）若点A 和点D 表示的两个数互为相反数，请在数轴上表示出原点的位置。

变式：如图，四个数q p n m ,,,在数轴上对应的点分别为Q P N M ,,,,若0=+q n ，则q p n m ,,,四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）

例3、已知数m 小于它的相反数且数轴上表示数m 的A 点与原点相距3个单位长度，将点A 向右移动5个单位长度后，点A 对应的数是。

变式：

1. 如果数轴上的点A 和点B 所表示的数互为相反数，且线段AB 的长度是16，点A 在点B 右侧，求点A 和点B 所表示的数分别是多少？

2.在数轴上点A 表示7，点B,C 表示互为相反数的两个数且C 与A 之间的距离为2，求B,C 所对应的数。

类型二：绝对值的几何意义

例4、如果022=-+-x x ，那么x 的取值范围是（ ）

A.2＞x

B.2＜x

C.2≥x

D.2≤x

变式：

1、如果)5(5--=-a a ，那么a 的取值范围是（ ）

A.5＞a

B.5＜a

C.5≥a

D.5≤a

2、若a 是有理数，则)(-a a -+值（ ）

A.一定是正数

B.一定是负数

C.可能是正数，也可能是负数

D.不可能是负数

例5、已知数轴上有A ，B 两点，A ，B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为2，则满足条件的点B 与原点O 的距离的和为。

变式：

1、已知b a ,所表示的数如图所示，下列结论正确的有（填序号）

①0＞a ； ②a b ＜； ③a b ＜； ④11--=+a a ； ⑤a b -2-2＞+

2、有理数y x ,在数轴上对应的点如图所示：

（1）在数轴上表示y x ,-；

（2）试把y x y x ,,0,,-这五个数从小到大用“＜”号连接

类型三：与绝对值有关的计算

例6、已知3,2==b a ，那么=+b a .

变式：

1、已知=--+==b a b a b a 则,5,3。

2、已知=+==+b a b a 则,9,322。

类型四：绝对值的非负性

例7、已知=-

-=++-2

1031a b b a ，则.

变式：

1、已知=-=-++a b b a 2012，则。

2、已知0=+b a ，则a ，b 的关系式。

3.若3a =，1b =，5c =，且a b a b +=+，()a c a c +=-+，求a-b+c 的值。

类型5：与绝对值有关的化简

例8、有理数y x ,在数轴上对应点如图所示：化简y x y y x +--+=

变式：

1、已知=+x x y xy 520,0-，则＜＜

2、数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简：a a b a b b a --+-++=

3、已知2202--++≤≤a a x ，化简

4、已知1227442+-+-+-m m m m m ，化简：

＞

5、数c b a ,,在数轴上对应点的位置如图所示，求ac

ab ac ab a c a c c b c b b a b a --+--+-----的值

6、已知c b a c b a b a c b a -+--++-，化简：＜＜＜0

类型六：绝对值与数轴上的动点

例9、我们知道0-55=，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离相等，又如式子3-6，它在数轴上表示的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离，如果点A ，B 在数轴上分别表示a ，b ，则A ，B 两点的距离可表示为：b a AB -=，根据以上信息，回答下列问题：

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是；在数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是；

（2）点A ，B 在数轴上分别表示数x 和-1

①用代数式表示A ，B 两点之间的距离； ②如果2=AB 求x 的值

（3）直接写出代数式41-++x x 的最小值及相应的x 的取值范围

变式：