第13讲 周期信号的频谱及其特点
周期信号及其频谱
50
2A
2 2A 2A
T O T2 2
2
2
30 0周O 期0三角3波0 50
2A t 2 70
(a)
(b)
2
a0 T
T 2 0
A
2A T
t
dt
A 2
4
an T
T 2 0
A
2A T
tcosn0tFra bibliotekt4A
n2
2
0
其幅频谱（单边谱）如图(a)所示。
n 1，3，5， n 2，4，6，
aanAn
(傅a) 里叶级数
可x知(tA) ，a0=0，an=0，Abnn=
2A n
1
cos
n
T
T
2
2
O
t
A
O 0 30 50 70 90
30 50 70 9 (b)
x(t)
4A
sin 0t
1 3
sin
30t(a)
1 5
sin
50t
1 7
sin
70t
(幅b)频谱
1.4 复数形式的傅里叶级数
傅里叶级数也可以表示成复指数形式的展开式。根据欧拉公式
若用复数形式表示，则根据
Cn
Cn
1 2
an
C0 a0
可求得如图(b)所示的幅频谱（双边谱）。
通过以上例题可以看出，周期信号有以下几个特点： （1）周期信号的频谱是由无限多条离散谱线组成的，每一条谱线 （单边谱）代表一个谐波分量。 （2）各次谐波的频率只能是基波频率的整数倍。 （3）谱线的高度表示了相应谐波分量的幅值大小。对于工程中常见 的周期信号，其谐波幅值的总趋势是随着谐波次数的增高而减小。当谐 波次数无限增高时，其幅值就趋于零。
信号课件§4.3周期信号的频谱.ppt
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽 度为的周期矩形脉冲，其周 期为T，如图所示。求频谱。
T 2 T 2
1
f(t) 0 … T t
2
-T
1 12 jn t jn t F f ( t ) e d t e d t n T T 2
n n sin( ) j n t sin 1e 2 2 2 2 T j n 2 T n T n
3．系统的通频带>信号的带宽，才能不失真
§4.3
周期信号的频谱
• 信号频谱的概念 • 周期信号频谱的特点 • 频带宽度
■
第 1页
一、信号频谱的概念
从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变 化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信 号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、 相位随频率的变化关系，即 将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平 面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频 谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn 为实数，也可直接画Fn 。 图示
谱线的结构与波形参数的关系 T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之 间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。
一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号）， 那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过 渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近 于无穷小。
2
2
令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
n n F Sa ( ) Sa ( )
§4.3 周期信号的频谱共15页PPT资料
1cos t
2 4 3
是f(t)的(π/4)/(π/12 )=3次谐波分量；
14cos3t
2
3
是f(t)的(π/3)/(π/12
)=4次谐波分量；
画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图
An
A0 1
2
n
3
1
21
4
o
12
6
4
3
ω
(a)
P111211237 22 24 32
T
2π
O 2
(1)包络线形状：抽样函数 (2其 ) 最大n 值 0处 在， 。 为
(3)离散谱（谐波性）
当ωnΩ时 取
值（令 4)第 n 2一个 零 点坐n 标＝ 2π2 ： π
T
（5）Fn是复函数（此 函数 处） 为， 实幅度/相
F n0 ，相 0 ， F 位 n0 ,相 为 位 π。 为 ▲
面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频 谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。
也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn
为实数，也可直接画Fn 。
▲
■
第 2页
频谱图示（单边）
幅度频谱
An ~ 或 Fn ~ 曲线
An A1
A0
2
A3
O 3
相位频谱
n
n ~曲线
■
第 10 页
周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
谱线的结构与波形参数的关系 T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之 间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。
4.3 周期信号的频谱及特点
4.3
周期信号的频谱及特点
2）、周期矩形脉冲的频谱
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 频谱。 T τ
−
τ
2
τ
2
Fn =
1 T
∫
2
T − 2
f (t ) e
− jnΩt
E e− jnΩt = T − jnΩ
τ
2 −
τ
2
E 2 − jnΩt dt = dt τ e ∫ − T 2 nΩτ sin( ) Eτ sin nΩτ 2E 2 2 = = T nΩτ T nΩ
1）、定义
依据复傅立叶系数Fn随nΩ的变化关系所画的图称为 双边频谱图，简称双边谱； |Fn|~ nΩ为双边幅度谱，见图4.3-1（b）；其 以纵轴对称。 θn~ nΩ为双边相位谱。见图4.3-1（d）图。其 以原点对称。
第 第23 23-8 8页 页
■
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信号与系统 电子教案 电子教案
, n = 0,1,2,..., φ0 = 0.
Fn ~ nΩ
θ n ~ nΩ
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随 频率的变化关系。
第 第23 23-3 3页 页
■
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4.3
A0 f (t ) = + 2
∞
周期信号的频谱及特点
ω1
T τ = = 2π Ω τ T
2π
见课本P131 页图4.3-4。
增多。
(b)、 τ 一定，T增大，谱线间隔 Ω 减小，频谱谱 线密度增大。谐波幅度减小：
§4.3 周期信号的频谱
§4.3 周期信号的频谱•信号频谱的概念•周期信号频谱的特点•频带宽度一、信号频谱的概念从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将An~ω和ϕn~ω的关系分别画在以ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。
因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。
也可画|Fn |~ω和ϕn~ω的关系，称为双边谱。
若F n为实数，也可直接画Fn 。
图示单边频谱图例1例：周期信号f (t ) =试求该周期信号的基波周期T ，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图，并求f (t ) 的平均功率P 。
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--63sin 41324cos 211ππππt t 解首先应用三角公式改写f (t )的表达式，即⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=263cos 41324cos 211)(ππππππt t t f 显然1是该信号的直流分量。
⎪⎭⎫ ⎝⎛+34cos 21ππt 的周期T 1= 8⎪⎭⎫⎝⎛-323cos 41ππ的周期T 2= 6所以f (t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T = π/12⎪⎭⎫ ⎝⎛+34cos 21ππt 是f (t)的(π/4)/(π/12 )=3次谐波分量；⎪⎭⎫ ⎝⎛-323cos 41ππt 是f (t)的(π/3)/(π/12 )=4次谐波分量；画出f (t )的单边振幅频谱图、相位频谱图如图(a)(b)oA n12π6π4π3π2A 2141ωoω3π3π4π6π12π32π-nϕ137111122⎫⎛⎫⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=323cos 4134cos 211)(ππππt t t f频谱概念演示)(t fOtTT-11-2/T 频谱概念演示既是奇函数又是奇谐函数只含奇次谐波,且为正弦波.例1例2对于双边频谱，负频率，只有数学意义，而无物理意义。
4.2周期信号的频谱
2A ( n 1, 3, 5,) n 90o ( n 1,3,5,) n o ( n 1, 3, 5,) 90 Fn
信号与系统
周期矩形脉冲信号的频谱
对于周期矩形脉冲，在一个周期内为
A t t
4.2-5
f (t )
0
2 2
4A (n 1,3,5,...) nπ
矩形波：
图1
n 90o (n 1,3,5,...)
谱 线
相位值 振幅 图2 角频率
信号与系统
4.2
周期信号的频谱
4.2-3
4.2.1 周期信号频谱的特点
频谱特点：
•
离散性：每根谱线代表一个谐波分量， 称为离散谱线。 谐波性：基波1的整数倍频率 收敛性：高次谐波幅度渐小，当谐波次 数无限增多时，谐波分量的振幅趋于无 穷小。
4.2 周期信号的频谱
信号与系统
4.2-1
4.2.1 周期信号频谱的特点
将周期信号分解为傅里叶级数(简称傅氏级数)，为在频域 中认识信号特征提供了重要的手段。由于在时域内给出的 不同信号，不易简明地比较它们各自的特征，而当周期信 号分解为傅氏级数后，得到的是直流分量和无穷多正弦分 量的和，从而可在频域内方便地予以比较。为了直观地反 映周期信号中各频率分量的分布情形，可将其各频率分量 的振幅和相位随频率变化的关系用图形表示出来，这就是 信号的“频谱图”。频谱图包括振幅频谱和相位频谱。前 者表示谐波分量的振幅An随频率变化的关系；后者表示谐 波分量的相位φn 随频率变化的关系。习惯上常将振幅频谱 简称为频谱。
奇谐函数
偶谐函数
注：指交流分量
信号与系统
第13讲 周期信号的频谱及其特点
号的调制与解调等等。
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2
本章主要内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
周期信号的分解与合成 周期信号的频谱及特点 非周期信号的频谱 傅氏变换的性质与应用（1） 傅氏变换的性质与应用（2）
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3
本章主要内容
3.6 周期信号的频谱 3.7 系统的频域分析 3.8 无失真传输系统与理想低通滤波器 3.9 取样定理及其应用 3.10 频域分析用于通信系统
0 0 20 30 40 50
0.15
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14
周期信号的单边频谱
已知周期信号 f(t)11c o ts2 1s in t
2 4 3 4 3 6
求其基波周期T，基波角频率0，画出它的单边频谱图。
解：将f(t)改写为： f(t) 1 1 c o t s2 1 c o t s 2 4 3 4 3 62
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13
周期信号的单边频谱
画出周期信号 f(t) 的振幅频谱和相位频谱。
f(t) 1 si0 n t 2 co 0 t sco 20 ts ( 4 )
f(t) 1 5 co 0 ts 0 .( 1) 5 c o 20 s t 4
Ak 5
k
0.25
1
1
0
0
20 30 40 50
相位频谱图描述各次谐波的相位与频率的关系。
根据周期信号展开成傅里叶级数的不同形式，频谱图又分 为单边频谱图和双边频谱图。
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8
周期信号的单边频谱
周期信号 f ( t ) 的三角函数形式的傅里叶级数展开式为
f(t)A0 Ancos(n1tn) n1
A n 与 n 1 的关系称为单边幅度频谱；
信号与系统 §4.3 周期信号的频谱
（4)第一个零点坐标：2π T
当ω nΩ时取值 （5）Fn是复函数（此
处
令 n n＝ 2π
为实函2数），幅度/相位
Fn 0，相位为 0，Fn 0, 相位为π 。 ▲
■
第5页
周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn
为实数，也可直接画Fn 。▲■第2页频谱概念演示
T
f (t)
1
O T /2 T
t
1
方波
既是奇函数又是奇谐函数
例1
例2
只含奇次谐波,且为正弦波.
对于双边频谱，负频率，只有数学意义，而无物
理意义。为什么引入负频率？ f(t)是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对ejnΩt和
e-jnΩt，才能保证f(t)的实函数的性质不变。
▲
■
第3页
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽
f(t) 1
度为的周期矩形脉冲，其周
0
期为T，如图所示。求频谱。
-T
Fn
1 T
T
2 T
2
f (t) e d jnt t
1 T
2
e
jnt
dt
2
2
2
1 e jnt T jn
2
2
2
从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变
化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信 号的频谱图。
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、 相位随频率的变化关系，即
将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平
§4.3 周期信号的频谱
n
Fn
2
2
P5n
F02
F1 F2 F3 F4 F1 F2 F3 F4
1 P T
T
2
2222来自 0.181而总功率 二者比值
0
f 2 (t )dt 0.2
P5 n 90.5% P
▲ ■ 第 13 页
2．频带宽度
在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围 的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。 一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： 2π 1 B 或B f ，带宽与脉宽成反比。 对于一般周期信号，将幅度下降为0.1|Fn|max 的频率 区间定义为频带宽度。
2
2
T
t
1 Fn T
T 2 T 2
f (t ) e
2
jnt
1 e jnt T jn
2
n n sin( ) sin 2 2 2 T n T n
2
1 2 jnt dt e dt T 2
令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
第 10 页
周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
谱线的结构与波形参数的关系 T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之 间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。
一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号）， 那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过 渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近 于无穷小。
§4.3 周期信号的频谱
A0
A2
21
1
O 1 21
n
0.25π
1
O
2 1
0.15π
A0 1 2 A1 5 2.236 A2 1
0 0 1 0.15π 2 0.25π
■
第9页
双边频谱图
f (t) 1
1
e j1t e j1t
2 e j1t e j1t
1
2 e
j1t
π 4
2
e
jn1t
4
t
3
的周期T1
=
8
1 4
cos
3
2
3
的周期T2
=
6
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T = π/12
■
第6页
f
(t)
1
1 2
cos
4
t
3
1 4
cos
3
t
2
3
1 cos t
2 4 3
是f(t)的(π/4)/(π/12 )=3次谐波分量；
1 cos
4 3
t
2
3
是f(t)的(π/3)/(π/12
)=4次谐波分量；
画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图
An
A0 1
2
n
3
1
21
4
o
12
6
4
3
ω
(a)
P 1 1 1 2 1 1 2 37 2 2 2 4 32
o
ω
12 6 4
3
2 3
(b)
▲
■
第7页
例2
已知f
周期信号的频谱ppt课件
当 T t , t T
2
22 2
f (t)
A
－T
－
T 2
－τ 2o
τ 2
T 2
T
2T t
10
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
•
复系数
Fn
1 T
T 2
T 2
f (t)e jn1t dt
1 T
2 Ae jn1t dt
2
A 1 (e jn1 2 e jn1 2 ) 2 A sin( n1 )
5
3.3.1 周期信号频谱的特点
• 振幅频谱
n
0 1
2
31 51 71
• 相位频谱
n 0
6
3.3.1 周期信号频谱的特点
• 例 f (t) 1 3cos(t 10) 2 cos(2t 20)
0.4 cos(3t 45) 0.8cos(6t 30),
试画出 f (t) 的振幅谱和相位谱。 解： f(t)为周期信号，题中所给的 f(t) 表达式可视为 f(t) 的
信号f1(t)和f2(t)的波形如图所示，设 f(t)=f1(t)*f2(t),则f(0)等于( )。
卷积练习
1
3.3 周期信号的频谱
2
3.3 周期信号的频谱 • 3.3.1 周期信号频谱的特点 • 3.3.2 双边频谱与信号的带宽 • 3.3.3 周期信号的功率
3
3.3.1 周期信号频谱的特点
以相位为纵坐标所得到的谱线图
4
3.3.1 周期信号频谱的特点
• 试画振幅谱和相位谱
矩形波
f
(t)
4A
[cos(1t
2
)
1 3
cos(31t
周期信号的频谱
例题：O tf (t )T /31-TT如右图所示的周期性矩形脉冲信号（周期为T ）经过一个低通滤波器，求其响应及响应的平均功率。
已知该滤波器的传递函数为()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<-≤=--时时时T T e T T e j H j j ωππωππωπωωωτωτ6,063,3/23,分析：周期信号可以分解成直流、基波、高次谐波等分量每个分量经过滤波器 复数解法解：求傅立叶系数：⎰-=3/001T tjn n dt eTC ωO tf (t )T /31-TT令ω0=2π/T3/0001T t jn eTjn ωω--=3/3sin 31ππjn e n c -⎪⎭⎫ ⎝⎛=3100==C A 2nj n n A eC ϕ=~基波和n 次谐波的复数表示低通滤波器只通过低于3ω0的信号，因此信号中只有直流、基波和二次谐波分量通过。
输出信号中的直流分量为：()3100==ωωj H A解：输出信号中的基波分量的复数表示为：()()τωπωωφπω0013/13sin 32+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=j j e c j H eA 输出信号中的二次谐波分量的复数表示为：()()τωπωωφπω00223/22232sin 94+-=⎪⎭⎫⎝⎛=j j e c j H e A 输出信号的时域表达式为：⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+τωπωπτωπωπ00002322cos 32sin 943cos 3sin 3231t c t c 输出信号的平均功率为：280.02sin 41sin 211222≈⎥⎤⎢⎡⎪⎫⎛+⎥⎤⎢⎡⎪⎫ ⎛+⎪⎫ ⎛=ππc c P out第三章：信号的频谱§3-1 周期信号的频谱§3-2 非周期信号的频谱密度 傅立叶变换与频谱密度信号的频谱分布与带宽基本信号的频谱密度§3-3 频谱分析的基本定理§3-4 采样定理傅立叶变换的引出如何从频域描述一个非周期信号？tf (t )傅立叶级数？——显然不行怎么办？退而求其次，先考虑描述函数在有限区间[a,b)上的一段吧tf a,b (t )a btf T (t )a b考虑有限区间周期扩展再扩展成周期T =b -a 的函数f T (t )f T (t ):周期函数~可以用傅立叶级数表示在区间[a,b)上与f (t ) 相同傅立叶变换的引出tf T (t )a b()(),1100dt et f Tdte tf T C tjn bat jn ba T n ωω--⎰⎰==()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++∈-++=∑∞-∞=b a t b f a f b a t t f t f eC n tjn n或,2)0(0,,2)0(00ω傅立叶级数只在区间(a,b ) 上收敛于f (t )，因此C n 并不是f (t ) 的复频谱如果f T (t ) 满足狄利克雷条件，则可以展开成傅立叶级数：定义：则：ω0=2π/T傅立叶变换的引出进一步，选取对称区间[-T /2,T /2)。
3.3周期信号的频谱
τ
4π
－τ 2 o τ 2
T
2T
t (a)
o
Ω
τ
ω
f(t) E E 10 o －τ 2 τ 2 T t (b)
Fn
Ω＝
2π T 2π
τ
4π
o Ω
τ
ω
3.3 周期信号的频谱
• T 不变，Ω 不变： 不变， 不变：
即谱线的疏密不变
若τ • 若
↓
τ
： 则 F 收敛速度变慢， 幅度减小， n 收敛速度变慢， 幅度减小， 包络零点间隔增大。 包络零点间隔增大。
取样函数定义为： 取样函数定义为：
sin x Sa ( x ) = x
偶函数
x→0时，Sa(x)=1
Sa(x) 1
当x=kπ时，Sa(kπ)=0
－3π －2π
－π
o
π
2π
3π
x
∫
∞
0
Sa ( x)dx =
π
2
∫
∞
−∞
Sa ( x)dx = π
3.3 周期信号的频谱
因此： 因此： 可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式， 可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
不变： 包络零点间隔不变。 不变： 包络零点间隔不变。
T↑
Ω
即谱线变密， 即谱线变密，
幅度减小， 幅度减小，
• 当
T →∞
时：谱线无限密集， 幅度趋于无穷小， 谱线无限密集， 幅度趋于无穷小，
周期信号趋于非周期信号
连续谱
3.3 周期信号的频谱
周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线， 周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线， 周期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。 即：周期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。 实际工作中， 实际工作中，要求传输系统将信号中的主要频率分量传输过去 周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内， 周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内， 因而，常常将 ω = 0 ~ 因而， 的频带宽度。记为 频带宽度。 或
周期信号频谱的特点
周期信号频谱的特点在结构施工测量中，按装修工程要求将装饰施工所需要的控制点、线及时弹在墙、板上，作为装饰工程施工的控制依据。
1.地面面层测量在四周墙身与柱身上投测出100cm水平线，作为地面面层施工标高控制线。
根据每层结构施工轴线放出各分隔墙线及门窗洞口的位置线。
2.吊顶和屋面施工测量以1000m线为依据，用钢尺量至吊顶设计标高，并在四周墙上弹出水平控制线。
对于装饰物比较复杂的吊顶，应在顶板上弹出十字分格线，十字线应将顶板均匀分格，以此为依据向四周扩展等距方格网来控制装饰物的位置。
屋面测量首先要检查各方向流水实际坡度是否符合设计要求，并实测偏差，在屋面四周弹出水平控制线及各方向流水坡度控制线。
3.墙面装饰施工测量内墙面装饰控制线，竖直线的精度不应低于1/3000，水平线精度每3m两端高差小于±1mm，同一条水平线的标高允许误差为±3mm。
外墙面装饰用铅直线法在建筑物四周吊出铅直线以控制墙面竖直度、平整度及板块出墙面的位置。
4.电梯安装测量在结构施工中，从电梯井底层开始，以结构施工控制线为准，及时测量电梯井净空尺寸，并测定电梯井中心控制线。
测设轨道中心位置，并确定铅垂线，并分别丈量铅垂线间距，其相互偏差（全高）不应超过1mm。
每层门套两边弹竖直线，并保证电梯门坎与门前地面水平度一致。
5. 玻璃幕墙的安装测量结构完工后，安装玻璃幕墙时，用铅垂钢丝的测法来控制竖直龙骨的竖直度，幕墙分格轴线的测量放线应以主体结构的测量放线相配合，对其误差应在分段分块内控制、分配、消化，不使其积累。
幕墙与主体连接的预埋件，应按设计要求埋设，其测量放线偏差高差不大于±3mm，埋件轴线左右与前后偏差不大于10mm。
精度要求轴线竖向投测精度不低于1/10000。
平面放线量距精度不低于1/8000，标高传递精度主楼、裙房分别不超过±15mm、±10mm。
仪器选用该工程测量选用TOPCON电子全站仪一台，2"级经纬仪两台，DS3水准仪两台，50m 钢卷尺两把。
3[1]2周期信号的频谱共33页
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• 3.2.1 周期信号频谱的特点 • 3.2.2 双边频谱与信号的带宽 • 3.2.3 周期信号的功率
3.2.1 周期信号频谱的特点
• 周期信号的两种展开式：
f(t)A0 Ancon s1t(n) n1
f (t) Fnejn1t n
Fn
1 2
An
1 2
Ane
jn
Fn ejn
❖离散性：
由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以
此频谱称为不连续谱或离散谱；每条谱线间的距离为 1
❖谐波性：
2
T
每一条谱线只能出现在基波频率 1 的整数倍频率上，即含 有 1 的各次谐波分量，而决不含有非 1 的谐波分量。
❖收敛性：
各次谐波分量的振幅虽然随 n1 的变化有起伏变化，但总的 趋势是随着 n1 的增大而逐渐减小。
振幅谱
相位谱
3.2.2 双边频谱与信号的带宽
• 周期矩形脉冲信号
A f (t) 0
当t
2
当 T t , t T
2
22 2
f (t)
A
－T
－
T 2
－τ 2o
τ 2
T 2
T
2T t
3.2.2 双边频谱与信号的带宽
•
复系数
Fn T1
T 2
T2
f(t)ejn1tdt 1 T
2
2
Aejn1tdt
f(t)13cots1 (0 )2co2st (20 )
0.4co3st (45 )0.8co6st (30 ),
A0 1
0 0
A1 3
1 10
A2 2
A3 0.4 A6 0.8
第13讲周期信号的频谱及其特点
第13讲周期信号的频谱及其特点
周期信号是指具有重复性的信号，它可以分解成一系列有限的数值原理的和。
它们具有重复的时域特性，但可以有不同的振幅和不同的频率。
当我们讨论周期信号的频谱时，我们保持它们的相同频率的不同振幅（相移），以及相同的振幅，而它们的相位是随机的。
理论上，任何一个周期信号都可以被分解为一系列不同幅值的基频和谐波。
比如，当我们将电压看作是一种周期信号的时候，它的频谱就是一系列不同的电压值，有最高的基波，每个谐波的振幅都比它的前一个谐波的振幅要低。
周期信号的频谱特点主要有以下几点：
1）一个给定的周期信号的频谱会有一个最高幅值的基波和一系列谐波，这些谐波的振幅会越来越低；
2）一个周期信号的特征频率会是他的最高幅值基波的频率；
3）一个周期信号的频谱不会包含极低频率的分量；
4）随着频率的增加，周期信号的有效带宽也会逐渐增加；
5）随着频率的增加，一个周期信号越来越容易受到干扰；
6）一个周期信号的频谱图会有一个中心点，这个中心点代表了这个信号的中心频率和振幅；
7）周期信号的频谱图会显示出它的基波的相位，而不同的谐波的相位会有所不同。
一文看懂周期信号的频谱特点
一文看懂周期信号的频谱特点周期信号概念是周期信号瞬时幅值随时间重复变化的信号。
常见的周期信号有：正弦信号、脉冲信号以及它们的整流、微分、积分等。
这类可称为简单信号。
它们的特点是在一个周期内的极值点不会超过两个且周期性特征明显。
对于这类已明确具有周期特性的信号，周期与否的判别相对简单，周期测量的方法也很成熟完善，如：过零检测法，脉冲整形法等。
x（t）=x（t+kT），k=1，2.。
式中t表示时间，T表示周期。
频谱的概念频谱是频率谱密度的简称，是频率的分布曲线。
复杂振荡分解为振幅不同和频率不同的谐振荡，这些谐振荡的幅值按频率排列的图形叫做频谱。
频谱广泛应用于声学、光学和无线电技术等方面。
频谱将对信号的研究从时域引入到频域，从而带来更直观的认识。
把复杂的机械振动分解成的频谱称为机械振动谱，把声振动分解成的频谱称为声谱，把光振动分解成的频谱称为光谱，把电磁振动分解成的频谱称为电磁波谱，一般常把光谱包括在电磁波谱的范围之内。
分析各种振动的频谱就能了解该复杂振动的许多基本性质，因此频谱分析已经成为分析各种复杂振动的一项基本方法。
周期信号频谱的特点（1）离散性：频谱谱线是离散的。
（2）收敛性：谐波幅值总的趋势随谐波次数的增加而降低。
（3）谐波性：谱线只出现在基频整数倍的频率处。
周期信号的有效频谱宽度在周期信号的频谱分析中，周期矩形脉冲信号的频谱具有典型的意义，得到广泛的应用。
下面以图3-8所示的周期矩形脉冲信号为例，进一步研究其频谱宽度与脉冲宽度之间的图3-8关系。
图3-8所示信号）（tf的脉冲宽度为，脉冲幅度为E，重复周期为T，重复角频率为若将）（tf展开为式（3-17）傅里叶级数，则由式（3-18）可得。
周期信号的频谱的特点
图 3-10 给出了脉冲宽度 相同而周期 T 不同的周期矩形脉冲信号的频谱。 由 图可见， 这时频谱包络线的零点所在位置不变， 而当周期 T 增大时， 频谱线变密， 即在信号占有频带内谐波分量增多，同时振幅减小。当周期无限增大时， f (t ) 变 为非周期信号，相邻谱线间隔趋近于零。相应振幅趋于无穷小量，从而周期信号 的离散频谱过渡到非周期信号的连续频谱，这将在下一节中讨论。
故
PB 0.1806 0.9 P 0.2
从上式可以看出，在所给出的周期矩形脉冲情况下，包含在有效频谱宽度内 的信号平均功率约占整个信号平均功率的 90%。
关系图形反映，如图 3-7 所示。
Fn
0.25
7 5 - 4 - 3 - 0
ͼ 3 - 7
3
5 7
3 图 3-7 反映了周期矩形信号 f (t ) 频谱的一些性质，实际上它也是所有周期信 号频谱的普遍性质，这就是： (1) 离散性。指频谱由频率离散而不连续的谱线组成，这种频谱称为离散频 谱或线谱。
T 8
£® £® £®
-T
0 Fn
T
t
E / T 2 / 2 / 0
ͼ 3 - 10
w
如果保持周期矩形信号的周期 T 不变，而改变脉冲宽度 ，则可知此时谱线
间隔不变。若减小 ，则信号频谱中的第一个零分量频率
2
增大，即信号
的频谱宽度增大， 同时出现零分量频率的次数减小，相邻两个零分量频率间所含 的谐波分量增大。并且各次谐波的振幅减小，即振幅收敛速度变慢。若 增大， 则反之。 四、 周期信号的功率谱 周期信号 f (t ) 的平均功率可定义为在 1 电阻上消耗的平均功率，即
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f(t)A0 Ancos(n1tn) n1
A n 与 n 1 的关系称为单边幅度频谱；
n 与 n 1 的关系称为单边相位频谱。
.
周期信号的单边频谱
对称方波的傅里叶级数展开式为
f(t)4 A (sin 1 t1 3sin3 1 t1 5sin5 1 t1 7sin7 1 t L ) 4 A [co s( 1 t 2)1 3co s(3 1 t 2)1 5co s(5 1 t 2)7 1co s(7 1 t 2) L ]
s in k 0
2
T k0
E T
sin k 0 2
k 0
2
.
•
Fk
E
T
Sa
( k0 )
2
E
T
Sa ( k
T
)
（ k = 0 ,±1，±2，…）
Ak
E T
£ 2π
0 0 20 30 2π
4π
.
周期矩形信号的双边频谱
周期矩形脉冲信号的傅立叶系数为
Fn
2 0
(a)
2
4
n
2 0
2 4
(b)
E
cos ( 0 t
) 2
1 2
cos (2
0t
) 2
1 3
cos (3
0t
) 2
1 4
cos (4
0t
) 2
.
周期锯齿脉冲信号的频谱
f
(t )
E
[cos ( 0 t
) 2
1 2
cos
(2
0t
) 2
Ak
1 3
cos (3 0 t
2
)
1 4
cos (4 0 t
2
)
]
E
振幅频谱
0 0 20 30 40 50 相位频谱
f(t)11c o ts 1c o ts2
2 4 3 4 3 3
f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如下图：
Ak
k
A0
.
周期信号的双边频谱
周期信号 f ( t ) 展开为指数形式的傅里叶级数
f (t) Fnejn1t n
Fn Fn ejn
幅度 F n 与 n 1 的关系称为双边幅度频谱
k
2
0
0
30
50
20
40
2.
周期信号的单边频谱
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
f ( t ) A 2 A [ c o s ( 1 t 2 ) 1 2 c o s ( 2 1 t 2 ) 1 3 c o s ( 3 1 t 2 ) 1 4 c o s ( 4 1 t 2 ) L ]
同样，一个复指数分量完全由其幅度和相位决定。 可以不必画出周期信号所含有的各次谐波的波形，而只用所 含各次谐波的振幅、频率和相位信息描述这个周期信号。
.
周期信号从时域到频域的表示
.
周期信号频谱的概念
为方便和明确地表示一个周期信号所含有的频率分量以及 各频率分量所占的比重，常画出周期信号各次谐波的分布 图形，这种图形称为信号的频谱图。
第3章 信号与系统的频域分析
•本章首先以正弦、余弦或复指数函数为基本信号，通过傅里叶级 数将信号分解为这些基本信号之和，引出周期信号频谱，并讨论 其特点。
•通过讨论周期信号周期趋于无穷大时频谱的变化，引出傅里叶变 换定义，并学习常用基本信号的频谱密度函数（频谱）。
•傅里叶变换建立了信号时域与频域表示之间的联系，而傅里叶变 换的性质则揭示了信号时域变化相应地引起频域变化关系。
n0 n0
Fn
ASa(n0)
T
2
若把相位为零的分量的幅度看作 正值，而把相位为 的分量的幅 度看作负值，那么左图即可合二 为一，如下图所示
Fn
2 0
2
4
n0
.
周期信号的频谱的特点
(1) 离散性：谱线是离散的而不是连续的，因此称为离散频谱。单边谱中 一条谱线代表了一个谐波分量，而双边谱中左右对称的两条谱线代表了 一个谐波分量。离散频谱中每个频率分量在频谱图中都是用一根线来表 示，所以有时又称为线谱。
(2) 谐波性：谱线所在频率轴上的位置只能是基频的整数倍，其实谐波性 已经说明了离散性。
(3) 收敛性：谱线幅度随 n而衰减到零。
.
频谱的有效宽度-频带宽度
Fn
在右图中，连接各谱线顶点的曲线
称为谱线包络线，它反映了各分量的幅
度变化规律。如果把按抽样函数规律变
化的频谱包络线看成一个个起伏的山峰 和山谷，其中最高峰称为主峰。
Fn e jn0t
n
.
( k0 )
周期信号频谱的特点
频谱由不连续的线条组成，每个线条代表一个 正弦分量，因此这样的频谱称为离散频谱； （离散性）
离散频谱的每条谱线，都出现在基波频率0的 整数倍上；（谐波性）
各条谱线的高度，即各次谐波的振幅，总的趋 势是随着谐波次数的增高而逐渐减小的。（收 敛性）
相位 n 与 n 1 的关系称为双边相位频谱
.
周期矩形信号的频谱
f (t) E
指数形式的傅里叶系数：
F •kT 1 T 2 T 2f(t)ejk0tdtT E 2 2ejk0tdt T
2 0 2
T
t
T Ej k 1 0ej k0t 2 2jE k0 T (ej k02ej k02)
2E
E
f1 (t )
0
f(t)
E
(t )
2
(t )
2
-T
2
0
2
Tt
.
f (t)
Fnejn1t
n
1
F n T1
2
Ee
jn 1 t dt
2
E
( e jn 1 / 2 e ) jn 1 / 2
T 1 ( jn 1 )
E
sin (
n 1 )
2
T1
n 1
2
.
Sa ( n )
0 Fn
2
T 8
0
2
当脉冲宽度 保持不变，增大周期 T
(1) 离散谱线的间隔隔
1
2 T
变小
t 即谱线变得更加密集
A
(2) 各谱线的幅度 T
因 T 的增大而变小
包络线变化缓慢，即振幅收敛速度变慢
t (3) 因 不变，第一个零分量频率
2 不变，即有效频谱宽度不变 t .
周期矩形脉冲信号的频谱
0.15
.
周期信号的单边频谱
已知周期信号 f(t)11c o ts2 1s in t
2 4 3 4 3 6
求其基波周期T，基波角频率0，画出它的单边频谱图。
解：将f(t)改写为： f(t) 1 1 c o t s2 1 c o t s 2 4 3 4 3 62
显然，1为该信号的直流分量。
.
思考与练习
1 如何理解双边频谱，实际中存在“负频率”吗？
2 周期信号的频谱具有（ ）、（ ）、（ ） 的特点。
3 已知信号 f ( t ) 的频带宽度为 ，则 f (3t 2)
的频带宽度为（
）。
.
.
周期信号的单边频谱
画出周期信号 f(t) 的振幅频谱和相位频谱。
f(t) 1 si0 n t 2 co 0 t sco 20 ts 4 ()
f(t) 1 5 co0 ts 0 ( .15 ) c o 20 s t 4
Ak 5
k
0.25
1
1
0
0
20 30 40 50
0 0 20 30 40 50
1cos t 2 4 3
周期为8；
1cos t 2 周期为6；
4 3 3
.
周期信号的单边频谱
解： 所以，f(t)的周期T=24，基波频率0=2/T = /12 1cos t 是f(t)的3次谐波分量；
2 4 3
1cos t 2 是f(t)的4次谐波分量。
4 3 3
.
周期信号的单边频谱
Sa( x) sin x x
(2) 频谱具有离散性、谐波性和衰减性
(3) 不变，T 增大时，相邻谱线的间隔变小；同频率分 量的谱线幅度减小。
(4)
频带宽度：第一个零分量频率：
B
2
.
周期矩形信号的频谱特点
(5) 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱 线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期 信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。
.
本章主要内容
3.6 周期信号的频谱 3.7 系统的频域分析 3.8 无失真传输系统与理想低通滤波器 3.9 取样定理及其应用 3.10 频域分析用于通信系统
.
第 13 讲
周期信号的频谱及其特点
.
周期信号从时域到频域的表示
上一讲对周期信号的分解与合成仍然是在时间域进行的。 只要周期信号满足狄里赫利条件，都可分解为一系列谐波分 量之和，而一个余弦分量由振幅、频率和相位确定，即一个 余弦分量波形由这三个参数完全决定。
2 0
2
4
n0
A
上图的主峰高度 F0 T
，包络主峰两侧第一个零点为
2
通常把包含信号主要频谱分量的 0 ~ 2 这段频率范围，称为矩形脉冲信号
的有效频带宽度或带宽，即矩形脉冲的频带宽度为
B
2
或
B .f
1
周期矩形脉冲的频谱随脉宽的变化而变化的关系
Fn T 2
0 2
Fn T 4
0
2
(6) 减小时，频带宽度增大。当 趋近于无穷小，频带宽 度也无限增大，此时信号能量不再集中于低频分量中， 而是均匀分布在整个频段。