线性代数3方阵的行列式

72
72
3(1)13 0 1 6 0 21 27.
77
注意到第二行零元素较多，按第二行展开，得
D
0A21 (1)(1)22
3 7
0 27 0 27.
3 2 0A23
5 3 1 2 0
1 7 2 52 例2 计算行列式 D 0 2 3 0 0
0 4 1 0 0
0 2 3 50
定义
a11 a12
对任意n阶方阵A
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
,用记号
ann
a11 a12 a1n
A a21 a22 a2n 表示一个与矩阵 A相联系
an1 an2 ann 的数或表达式 , 常称 A为A的行列式(或记为det A )
行列式按行（列）展开法则
a24 a34 ,
a41 a42 a43 a44
a41 a43 a44
A12 112 M12 M12 .
a11 a12 a13
M44 a21 a22 a23 , A44 1 44 M44 M44 .
a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一
个代数余子式.
二、n阶行列式的定义
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
注意 分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
3 2
D
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2
3 12
1 14, D2 2 1
21,
x1
D1 D
14 2, 7
a12 a22
a11a22
a12a21.
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11 副对角线 a12
a12 a11a22 a12a21.
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D a11 a12 , a21 a22
预备知识
补充 行列式 二阶行列式
一、二阶行列式的引入 二、三阶行列式 三、小节、思考题
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
记 Aij 1i j Mij，叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如对
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
, M 23
a11 a31 a41
a12 a32 a42
a14 a34 a44
a41 a42 a43 a44
A23 1 23 M 23 M23 ,叫做元素 a23的代数余子式.
5 3 1 2 0
5 3 1 2
1 7 2 52
解D 0 2
3
0
0
2
1 25
0 0
2 4
3 1
0 0
0 4 1 0 0
02 35
定理1 n 行列式等于它的任一行（列）的各元
素与其对应的代数余子式乘积之和，即
a11 a12 a1n D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
n
ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain aik Aik
i 1,2, ,n
k 1
事实上，n 阶行列式也可以按第 i 列展开：
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D2
a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11 a12 a1n D a21 a22 a2n
an1 an2 ann n
a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj akj Akj
k 1
i 1,2, ,n
3 5 3
例 1 计算行列式 D 0 1 0
7 72
解 按第一行展开，得
D 3(1)11 1 0 (5) (1)12 0 0
x2
D2 D
21 3. 7
行列式
第二节 n 阶行列式的展开公式
一、n阶行列式、余子式和代数余子式
二、行列式按行（列）的展开法则 三、小节、思考题
一、余子式与代数余子式
定义 1 对 n 阶行列式 a11 a1 j a1n
ai1 aij ain
an1 anj ann
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的矩阵：
a11 a12
a21
a22
(4)
称表达式 a11a22 a12a21为矩阵（4）所确定的二阶
行列式，并记作
a11 a12
(5)
a21 a22
即
D a11 a21
注意：一个元素的代数余子式只与该元素所处位置
相关；而与该元素等于多少无关！
比如上例中，即便把a23的值换成 a33，它的
代数余子式仍然不变！亦即仍有 A23 M23
a11 a12 a13 a14
D a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24 , a34
a21 M12 a31
a23 a33