控制图

当λ≥5时，缺陷数C近似地服从正态 分布N（λ，λ），故单位缺陷数u=C/n近 似服从正态分布N（λ/n，λ/n2）。
由3σ原理，u图的中心线和控制界限分别为
λ/n和 3 。
n
n2
k
Ci
• λ/n可以用平均单位缺陷数
u
i 1 k
估计，
ni
i 1
CL u
X
Xi
x1
x2
x3 n
xn
式中 X i ——第i个子组的样本平均值
xi ——第i个子组中观测值
n ——子组的大小
各子组样本的极差R的计算公式为
Ri max{ xi} min{ xi}
式中 Ri ——第i个子组的极差
分别为
本例第一组样本的平均值和极差
X1
3.0
4.2
4
3.5
3.8
3.62
1 k
n
k
ni
i 1
不论是Pn控制图还是P控制图，实际 上起控制作用的只是上控制界限、中心 线。因此，实际工作中有的Pn图和P图不 画下控制线。
（三）缺陷数控制图（C控制图）
缺陷数控制图的控制对象是一定单 位（长度、面积、体积）n上面的缺陷 数。
一定单位上的缺陷数c服从泊松分布 P（x），有 P(x) e x
布为N（μ，σ2/n） 按3σ原理，控制界限如下：
的分
CL=μ
UCL 3
n
UCL 3
n
由
x
得
R d2
R
d2
所以有
CL x
UCL x 3 R d2 n
LCL x 3 R d2 n
取
A2
3 d2
n
CL x
得
UCL x A2 R
LCL x A2 R
A2是与试样大小n有关的系数，可查表。
的形式。
1）、 x -R控制图的原理。 （1） x 的分布
平均值 x 的分布可以表示为N（μ，σ2/n）
（2）极差R的分布 如果总体分布服从正态分布N（μ，
σ2），极差R的分布也趋于正态分布， 并且有
N R, R2 N d2,d32 2
（3）中心线和上下控制限的确定
① x 控制图 当总体服从正态分布N（μ，σ2）时， x
, D3
1 3 d3 d2
CL R
UCL D4 R LCL D3 R
D3，D4是与试样大小n有关的系数，可查表。 当n≤6时，D3为负值，但R不可能为负值，这时 LCL不存在。
2、x -R控制图的作法
例 某制药厂片剂车间生产某种药品对
颗粒水分的数据如下表所示，试做 x -R
控制图。
x -R控制图数据
实践证明，能使两类错误总损失最 小的控制限幅度大致为 3σ。因此选取 μ±3σ作为上下控制限是经济合理的。
三、控制图的种类
按统计量可以分为两大类： • 计量控制图 • 计数控制图。
பைடு நூலகம்
控制 图类 型
计量 值控 制图
计数 值控 制图
控制图名 称
平均值-极差
平均值-标 准偏差 中位值-极 差 单值-移动 极差 不合格品 率 不合格品 数 单位缺陷 数 缺陷数控 制图
1.028
4)计算 X 图的参数 本例中n=4，查表得A2=0.729，计算结果如下：
CLX = X =3.861
UCLX = X + A2 R =3.861+0.729×1.028=4.610
LCLX= X -A2R =3.861-0.729×1.028
=3.112
5)计算R图的参数 本例中n=4，查表,得D4=2.282，因n小于6，D3=0， 所以下控制限可以不考虑，计算结果如下：
CLR = R =1.028
UCLR = D4 R =2.282×1.028=2.346
6)画控制图
用普通方格纸或控制图专用纸来画， 上面安排 X 控制图，下面安排R控制图， 横轴表示组号，纵轴表示值 X 或R值。
各中心线用实线表示，控制限用虚线表 示，在相应的控制限上标以CL，UCL， LCL符号和数值如图所示。
1 k
k
xi
i 1
2)、计算移动极差平均数：
R
Rs1
Rsk1 k 1
1 k 1
k 1
Rsi
i1
3、计算控制界限： （1）x控制图
CL
UCL 3
x
LCL 3
因为=μ，
R
d2 ,所以,
R d2
则
CL x
UCL x 3 Rs d2
LCL x 3 Rs d2
CL x
令
B3s
4、单值与移动极差控制图（x-Rs控制图）
• 移动极差是指一个测定值xi与相邻的测 定值xi+1之差的绝对值，即
Rs xi xi1
• 单值控制图不进行分组，所以测定值的 个数就是组数K。K个测定值有K-1个移 动极差。
确定x-Rs控制图的控制界限的步骤如下：
1)、计算总平均数
x
x1 xk k
UCL(Upper Control Limit) 上控制限 – LCL(Lower Control Limit) 下控制限 – CL (Central Line)中心线 – 按时间顺序或样本号抽取的样品统计量数值的
描点序列
3、3σ原理。
设 当 生 产 不 存 在 系 统 性 原 因 时 ， X~N（μ， σ2），则P（μ-3σ<X <μ+3σ）=0.9973。X落在 两条虚线外的概率之和只有0.27%。
2) ~x R 控制图的作法(略）
3、平均值和标准偏差控制图
x ~ N
x
,
2 x
x ~ N
x
,
2 x
N
x,
2 x
n
S ~ N
s
,
2 s
N
c4
x
,
c52
2 x
平均值控制图控制界限
UCLx
x
3 x
x
3
x
n
CLx x x
LCLx
x
3 x
x
3 x
n
S
UCLx
x
3 c4
4、两类错误。
（1）虚发警报。这类错误是将正常判为 异常，既生产仍处于统计控制状态，但 由于随机性原因的影响，使得点子超出 控制限，虚发警报而将生产误判为出现 了异常，把犯这类错误的概率称为第Ⅰ 类风险，记作α。
（2）漏发警报。这类错误是将异常判为 正常，生产已经变化为非统计控制状态， 但点子没有超出控制限，而将生产误判 为正常，把犯这类错误的概率称为第Ⅱ 类风险，记作β。
应用范围
控制尺寸、重量、时间、强度、成分等。 样本稍大时.
计算平均值不易等情况.
用于数据不能分组时的情况。
不合格率、合格率、材料利用率、缺 勤率等。 不合格品数、出勤人数等。
用于单位面积、单位长度上缺陷数的 控制。 气孔、砂眼数、疵点等。
四、计量值控制图
1、平均值-极差控制图（ x -R控制图） x -R控制图是 x 控制图与R控制图并用
x!
当λ≥5时，C还近似地服从正态分布N（λ， λ）。
• 按照3σ原理，C控制图的中心线和控制 界限应为λ和λ±3λ1/2。此时λ不知道，可 以用K个样本中的缺陷数C1，…，Ck的 平均值估计λ。则
CL C
UCL C 3 c
LCL C 3 c
（四）单位缺陷数控制图（u控制图）
当样本的单位数n不固定时，采用单 位缺陷数控制图。
• 按照3σ原理，不合格品数控制图中的控 制界限为：
CL np
UCL np 3 np1 p LCL np 3 np1 p
此时，平均不合格品数np就是K个样 本的不合格品数的平均值，即
k
pni
pn
i 1
k
又 因 为 等 于 不 合 格 品 率 P 乘 以 样 本 总 数 n,
即 pn np
如果从处于统计控制状态的生产中任抽一 个样品X，可以认为X一定在分布范围μ±3σ 之中，而认为出现在分布范围之外是不可能 的，这就是3σ原理。
根据3σ原理，在一次试验中，如果样 品出现在分布范围（μ-3σ，μ+3σ）的外
面，则认为生产处于非控制状态。我们 把 μ-3σ 定 为 LCL，μ+3σ 定 为 UCL，μ 定 为CL，这样得到的控制图称为3σ原理的 控制图，也即称为休哈特控制图。
限。因n<6，所以不考虑控制下限。 当n=2时，D4=3.267 所以Rs控制图的控制界限为：
CL Rs
UCL D4 Rs 3.267Rs
五 、计数值控制图
（一）不合格品数控制图（Pn控制图）
大小为n的样本中的不合格品数，是一 个服从二项分布b(n, p)的随机变量（P 为不合格品率）。并且当np≥5时不合 格品数近似服从正态分布N（np, np(1p)）。
SPC的作用 • 预防： 判断过程的异常，及时告警。 SPC的缺点
• 不能告知异常是由什么因素引起的和发 生于何处，即不能进行诊断。
（2）SPCD。（Diagnosis）
SPCD是统计过程控制与诊断。 1982年我国的张公绪首创两种质量诊断 理论，突破了传统的美国休哈特质量控 制理论，开辟了统计质量诊断的新方向。 从此SPC上升为SPCD，也是SPC的第二 个发展阶段。
因为，
CL
UCL
3m3
x
n
LCL
3m3
x
n
~x
x
R d2
所以有
CL x
R
UCL x 3m3
d2 n
x m3 A2R
R
LCL x 3m3
d2 n
x m3 A2R
3
A2 d 2 n ，是与试样大小n有关的系数，可查表。
R控制图的控制界限与xˉ-R控制图中的R控制图的控制 界限一致。
n x A3S
CLx x x
S
LCLx
x
3 c4
n x A3S
标准偏差控制图控制界限
UCLs s 3 s c4 x 3c5 x
CLs s s
LCLs s 3 s c4 x 3c5 x
UCLs
c4
3c5 c4
s
B4 s
CLs s s
LCLs
c4
3c5 c4
s
E2
3 d2
有 UCL x E2 Rs LCL x E2 Rs
E2 是 与 样 本 大 小 n 有 关 的 系 数 ， 当 n=2 时 ， E2=2.66
将E2值代入得
CL x UCL x 2.66Rs LCL x 2.66Rs
（2）Rs控制图 Rs控制图相当于n=2时的R控制图的控制界
所以有
p pn n
则有
CL Pn
UCL Pn 3
Pn 1
Pn n
LCL Pn 3
Pn 1
Pn n
（二）、不合格品率控制图（P控制图）
当np≥5时，不合格品数Pn近似地服从 正态分布N（np, np(1-p)），故不合格品 率P近似服从正态分布N（P, p(1-p)/n）。
按照3σ原理，P控制图的控制界限为：
药品颗粒水分控制图
2、中位数与极差控制图（控制图）
1)、 ~x R 控制图控制界限的确定
中位值，是把数据由小到大进行排列位于中
央位置的那个数称为中位数。中位数也服从 正态分布，且分布的特征数为：
，
x
x
m3
x
n
即服从正态分布N（
，
m32
x2
n
）
m3是由样本大小n所决定的系数。
按照3σ原理， ~x R控制图的控制界限为：
控制图
• 统计过程控制 • 控制图概述 • 控制图的类型 • 计量值控制图 • 计数值控制图 • 控制图的观察分析
一、统计过程控制（SPC） （Statistical Process Control）
SPC发展简史
（1）SPC SPC是美国休哈特在20世纪20年代
所创造的理论，它能科学地区分出生产 过程中产品质量的偶然波动与异常波动， 从而对过程的异常及时告警，以便人们 采取措施，消除异常，恢复过程的稳定。
CL p
UCL p 3 p1 p
n
LCL p 3 p1 p
n
• 不合格品率P一般用平均不合格品率近 似估计，即 则
CL p UCL p 3 LCL p 3
p1 p
n
p1 p
n
实际工作中，n一般是不相等的，为 简化计算，用样本大小的平均数 代替各个ni，将控制界限拉直。
R1 4.2 3.0 1.2
3)计算所有样本总平均值和平均极差，总平均 值 X 的计算公式为
X X1 X2 Xi Xn K
1 K
K i1
Xi
样本平均极差 R 的计算公式为
R R1 R2 Ri Rk K
1 K
K i1
Ri
X 96.53 25
3.861
R 25.7 25
（3）SPCDA。（diagnosis and Adjustment） 统计过程控制、诊断与调整。是SPC的 第三个发展阶段。这方面国外刚刚起步， 目前尚无实用性的成果。
二、控制图概述
1、概念 控制图是对过程质量加以测定、描
点从而进行控制的一种用科学方法设计 的图形工具(休哈特控制图)。
2、控制图的组成
②R控制图 当总体服从正态分布N（μ，σ2）时，R的分布 为N（ R,d32σ2）。
按按3σ原理，控制界限如下：
CL R
UCL R 3d3 LCL R 3d3
由于
R
d2
CL R
则
UCL
R
3 d3 d2
R
1
3
d d
3 2
R
LCL
R
3 d3 d2
R
1
3
d d
3 2
R
取 则有
D4
1 3 d3 d2