关于圆 需要分类讨论的几种类型

关于圆——需要分类讨论的几种类型

圆是对称图形，既是轴对称也是中心对称，还具有旋转不变形性，所以会有许多的分类讨论情况。尤其是当题设中未画出图像时，更有可能要分类讨论。解答这一类问题时，需要按照一定的标准（定理、模型），分成若干种情况，逐一加以讨论。

一、根据点与圆的位置关系，需要分类讨论

例一：若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则此圆的半径为

例二：P在⊙O内，距圆心O的距离为4，⊙O半径长为5，经过P点，交于⊙O的弦为整数的有多少条？

例三：如图，⊙O的半径为2.5，动点P到定点O的距离为2，动点Q到P的点的距离为1，则点P、Q与⊙O有何位置关系？

二、弦与弦的位置关系不唯一，需要分类讨论

例四：1、⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离是（）。

A.7cm

B.8cm

C.7cm或1cm

D.1cm

2、已知弓形的弦长为8cm，所在圆的半径为5cm，则弓形的高为

例五：如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出∠CAD的度数。

例六：1、油桶问题：一个横截面为圆的圆柱形油桶，放倒后油面为60cm，其半径为50cm，求油面的最大深度？

2、拱桥问题：某地有一座圆弧形拱桥圆心为O，桥下水面宽度为7.2m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD=2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面AB=2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？

三、点在直径上的位置不唯一，需要分类讨论

例七：已知⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB于点于点M。若OM：OA=3：5，则弦AC的长为多少？

四、弦所对圆周角的不唯一，需要分类讨论

例八：圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（ ）。

A.30°或60°

B.60°

C.150°

D.30°或150°

例九：半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条线所对的圆周角的度数等于 五、点与弦的相对位置时，需要分类讨论

例十：⊙O 是△ABC 的外接圆，OD ⊥BC 于D ，且∠BOD ＝48°，则∠BAC ＝_________。

例十一：在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，P 为圆周上与C 、D 不重合的任意一点。判断COB ∠与CPD ∠的数量关系，并尝试证明你的结论。

六、圆心与角的位置，需要分类讨论

例十二：在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为和，则∠BAC 的度数是____________。 七、点在弧上的位置，需要分类讨论

例十三：如下图，在平面直角坐标系中，P 是经过O （0，0），A （0，2），B （2，0）的圆上的一个动点（P 与O 、B 不重合），则∠OPB ＝_________度。

八、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一时，需要分类讨论

例十四：已知半径为4和的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为_________。 九、直线与圆的位置，需要分类讨论

例十五：两圆的半径分别为4和2，如果它们的两条公切线互相垂直，求两圆的圆心距。

十：圆和三角形的关系中，需要分类讨论

例十六：1、△ABC 内接于⊙O ，AOC ∠=1000，则ACB ∠=

2、△ABC 是半径为2cm 的园内接三角形，若BC=23cm ，则∠A 的度数为 例十七：已知△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长。

解答

一、点与圆的位置关系，需要分类讨论

例1：若所在⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a ＞b ），则此圆的半径为（ ）。

分析：P 可在园内，也可在圆外

（A ） （B ） （C ）或 （D ）a+b 或a － b

图1—1 图1—2 ⑴P 在圆内时。如图1—1。

连接O 、P 所在的直线交⊙O 于A 、B 。

则PA=a ，PB=b 直径AB=PA+PB=a+b ，半径OA=OB=AB=（a+b ）

⑵P 在圆外时。如图1—2。

此时直径AB=PA －PB=a －b ，半径OA=OB=AB=（a －b ）

由⑴⑵可知，应选（C ）。

例二：过不在⊙O 上的一点A ，作⊙O 的割线，交⊙O 于B 、C ，且AB ·AC ＝64，OA ＝10，则⊙O 的半径R 为___________。

解：依题意，点A 与⊙O 的位置关系有两种：

（1）点A 在⊙O 内，如图1，延长AO 交⊙O 于F ，则 A E R A F R =-=+1010

， 由相交弦定理得：()()R R -+=10106

4 所以R =241（负值已舍去）

（2）点A 在⊙O 外，如图2，

此时A E R A F R =-=+1010， 由割线定理得：()()

101064-+=R R

所以R 6（负值已舍去）

故⊙O的半径R为241或6。

二、弦与弦的位置关系不唯一，需要分类讨论

例3：⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离是（）。

（A）7cm （B）8cm （C）7cm或1cm （D）1cm

分析：弦AB与CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。

图2—1 图2—2

⑴弦AB与CD在圆心的同侧。如图2—1。

过O作弦AB的垂线，交AB于M，交CD于N。连接OB，OD。

∵AB∥CD，OM⊥AB，ON⊥CD

由垂径定理，BM=AB=3cm，DN=CD=4cm，又OB=OD=5cm

在Rt△BMO中，OM==4cm，同理ON=3cm

∴MN= OM－ON=4－3=1 cm

⑵弦AB与CD在圆心的异侧。如图2—2。

此时，MN=OM+ON=4+3=7cm

故选（C）。

例4：如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出∠CAD的度数。

分析：弦AC与弦AD可能在直径AB的同侧，可能在直径AB的异侧。

⑴弦AC与弦AD在直径AB的同侧。如图3—1。

连OC、OD。由OC=OD=AB=1，AC=

∴OC+OD=AC∴∠AOC=90°，∠CAO=∠ACO=45°