勾股定理讲课.ppt
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，如图二 ； 3. 将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成如图三所示的图形； 4. 比较图一和图二两个多边形ABCDEF和A’B’C’D’E’F’的
面积，就可验证勾股定理。
经过我们刚才观察，猜想，验证发现了勾股定理， 那么你们会不会用它解决数学问题呢？
例：在Rt△ABC中∠C =90°，a =3，b =4，求c.
C A
B 图1-1
S正方形c
413318 2
（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
可以将C分割成4个直 角边为整数的三角形
C A
B
图1-1
S正方形c
62 4133 2
1 8（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
可以将C补成边长为6的正方形，用其 面积减去4个全等的直角三角形的面积
2
=2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2
b
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
c a
b
赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为
c2 4
ab 2
∵ (a+b)2 =
c2 4
ab 2
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
c a
b
c a
b
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
你能用两种方法表示这个梯形的面积吗？
•
2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二〇年八
印度、阿拉伯世界和欧洲的拼图验证
做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正 方形分成 4 份。
之后依照图中的颜色，将两个直角边的正方形填入斜边 正方形之中，便可完成定理的证明。
意大利著名画家达芬奇的验证方法
图一
图二
图三
1. 在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a,b的正方 形，并连接BC,FE，如图一 ； 2. 沿ABCDEFA剪下，得到两个大小相同的纸板Ⅰ和Ⅱ
A
解：∵在Rt△ABC中∠C =90°，
b
c
∴a²+b²=c²
CaB
又∵ a =3，b =4，
变式：在Rt△ABC中，∠B=90°，a
=3，b
=4，求c.
∴c=5
A
B
C
通过例题的解答，我们知道：
（1）在直角三角形中，认准直角边和斜边。 （2）在直角三角形中,已知两边,可求第三边; 结论变形为：
a c2b2 b c2 a2 c a2b2
C A
B 图1-1
（2）你们能发现图 1-1中三个正方形A， B，C的面积之间有什 么关系吗？
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
做一做
你是怎样得到
（ 表中1）的观结果察的图？ 1与-2同，伴并交填流写。 下表：
C A
B
图1-2
课堂练习：
△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b
1.若∠C=900，a=6,b=8,则c= 10 2.若∠A=900，c=9,b=12,则a= 15 3.若∠B=900，b=25,a=15,则c= 20
勾 股 定 理
二、如图,从高8米电线杆OA的顶端A点， 扯一根10米的钢丝绳固定在地面上的B点， 这根钢丝绳距线杆OA的距离OB是多少？ A
B
GOUGUDINGLI
O
勾 股 定 理
1、这节课我的收获是——
2、我最感兴趣的地方是……
3、我想进一步研究的问题——
4、我还有哪些疑惑……
GOUGUDINGLI
思维拓展：
请同学们看我们的一对三角板，想
一想若已知三角板的一边可以求另外两 边长吗？
A
A
c a
a
45°
Cb
BC
c
30°
b
B
•
1、Genius only means hard-working all one's life. (Mendeleyer, Russian Chemist) 天才只意味着终身不懈的努力。20.8.58.5.202011:0311:03:10Aug-2011:03
c
a
A
∵ △ABC为直角三角形，∠C=90°
b
C
∴ AC2+BC2=AB2.
(或a2+b2=c2)
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之 一。三千多年前，周朝数学家商高就提 出了“勾三股四弦五”的说法。
直角三角形中 较短的直角边称为 勾 ，
较长的直角边称为 股 ， 斜边称为弦 。
勾
弦
股 勾2 + 股2 = 弦2
（2）三个 正方形A， B，C的面 积之间有什 么关系？
SA+SB=SC
C A
B
图1-2
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
勾
股
定 理
①同学们，请你们用尺测量自己手中直角
边分别为6cm，8cm的直角三角形的斜
边，看看是多少？
勾 股 定 理
②我们的定理都是要经过严格的验证的，
勾股定理
这是本届大会 会徽的图案．
它是我国汉代数学家赵爽 在证明勾股定理时用到的，被 称为“赵爽弦图”．
（1）观察图1-1
①正方形A中含有 9 个
Leabharlann Baidu
C
小方格，即A的面积是
A B
图1-1
9 个单位面积。 ②正方形B的面积是
9 个单位面积。 ③正方形C的面积是
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积） 你是怎样得到上面的结 果的？与同伴交流。
你们能利用手中四个全等的直角三角形
纸片，通过将它们拼接成为一个正方形 来证明我们的猜想吗？
③试试看，有几种拼图方法，你能利用拼
出的图形，结合简明的数学表达式来证
明勾股定理吗？你是怎样想到这个拼图 的？和你的同学交流。
大正方形的面积可以表示为 c2 ；
也可以表示为
4•
ab 2
+(b-
a)2
c a
∵ c2= 4• ab +(b-a)2
a bc
c a
1 S梯 形 2(ab)(ab)
SS梯形 1 2ab 1 2ab 1 2c2
∴ a2 + b2 = c2
b
美国第二十任总统加菲尔德的证法，所以 又称这种证法为“总统”证法。
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方。
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜
边为c，那么
B
a2 + b2 = c2
图1-2
A的面积
B的面积
C的面积
（单位面积） （单位面积） （单位面积）
16
9
25
S正方形c
4 1 431 2
25
（面积单位）
C A
B
图1-2
分割成若干个直角边为 整数的三角形
S正方形c
72 4143 2
25
（面积单位）
C A
B
图1-2
可以将C补成边长为7的正方形，用其面 积减去4个全等的直角三角形的面积
面积，就可验证勾股定理。
经过我们刚才观察，猜想，验证发现了勾股定理， 那么你们会不会用它解决数学问题呢？
例：在Rt△ABC中∠C =90°，a =3，b =4，求c.
C A
B 图1-1
S正方形c
413318 2
（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
可以将C分割成4个直 角边为整数的三角形
C A
B
图1-1
S正方形c
62 4133 2
1 8（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
可以将C补成边长为6的正方形，用其 面积减去4个全等的直角三角形的面积
2
=2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2
b
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
c a
b
赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为
c2 4
ab 2
∵ (a+b)2 =
c2 4
ab 2
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
c a
b
c a
b
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
你能用两种方法表示这个梯形的面积吗？
•
2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二〇年八
印度、阿拉伯世界和欧洲的拼图验证
做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正 方形分成 4 份。
之后依照图中的颜色，将两个直角边的正方形填入斜边 正方形之中，便可完成定理的证明。
意大利著名画家达芬奇的验证方法
图一
图二
图三
1. 在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a,b的正方 形，并连接BC,FE，如图一 ； 2. 沿ABCDEFA剪下，得到两个大小相同的纸板Ⅰ和Ⅱ
A
解：∵在Rt△ABC中∠C =90°，
b
c
∴a²+b²=c²
CaB
又∵ a =3，b =4，
变式：在Rt△ABC中，∠B=90°，a
=3，b
=4，求c.
∴c=5
A
B
C
通过例题的解答，我们知道：
（1）在直角三角形中，认准直角边和斜边。 （2）在直角三角形中,已知两边,可求第三边; 结论变形为：
a c2b2 b c2 a2 c a2b2
C A
B 图1-1
（2）你们能发现图 1-1中三个正方形A， B，C的面积之间有什 么关系吗？
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
做一做
你是怎样得到
（ 表中1）的观结果察的图？ 1与-2同，伴并交填流写。 下表：
C A
B
图1-2
课堂练习：
△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b
1.若∠C=900，a=6,b=8,则c= 10 2.若∠A=900，c=9,b=12,则a= 15 3.若∠B=900，b=25,a=15,则c= 20
勾 股 定 理
二、如图,从高8米电线杆OA的顶端A点， 扯一根10米的钢丝绳固定在地面上的B点， 这根钢丝绳距线杆OA的距离OB是多少？ A
B
GOUGUDINGLI
O
勾 股 定 理
1、这节课我的收获是——
2、我最感兴趣的地方是……
3、我想进一步研究的问题——
4、我还有哪些疑惑……
GOUGUDINGLI
思维拓展：
请同学们看我们的一对三角板，想
一想若已知三角板的一边可以求另外两 边长吗？
A
A
c a
a
45°
Cb
BC
c
30°
b
B
•
1、Genius only means hard-working all one's life. (Mendeleyer, Russian Chemist) 天才只意味着终身不懈的努力。20.8.58.5.202011:0311:03:10Aug-2011:03
c
a
A
∵ △ABC为直角三角形，∠C=90°
b
C
∴ AC2+BC2=AB2.
(或a2+b2=c2)
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之 一。三千多年前，周朝数学家商高就提 出了“勾三股四弦五”的说法。
直角三角形中 较短的直角边称为 勾 ，
较长的直角边称为 股 ， 斜边称为弦 。
勾
弦
股 勾2 + 股2 = 弦2
（2）三个 正方形A， B，C的面 积之间有什 么关系？
SA+SB=SC
C A
B
图1-2
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
勾
股
定 理
①同学们，请你们用尺测量自己手中直角
边分别为6cm，8cm的直角三角形的斜
边，看看是多少？
勾 股 定 理
②我们的定理都是要经过严格的验证的，
勾股定理
这是本届大会 会徽的图案．
它是我国汉代数学家赵爽 在证明勾股定理时用到的，被 称为“赵爽弦图”．
（1）观察图1-1
①正方形A中含有 9 个
Leabharlann Baidu
C
小方格，即A的面积是
A B
图1-1
9 个单位面积。 ②正方形B的面积是
9 个单位面积。 ③正方形C的面积是
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积） 你是怎样得到上面的结 果的？与同伴交流。
你们能利用手中四个全等的直角三角形
纸片，通过将它们拼接成为一个正方形 来证明我们的猜想吗？
③试试看，有几种拼图方法，你能利用拼
出的图形，结合简明的数学表达式来证
明勾股定理吗？你是怎样想到这个拼图 的？和你的同学交流。
大正方形的面积可以表示为 c2 ；
也可以表示为
4•
ab 2
+(b-
a)2
c a
∵ c2= 4• ab +(b-a)2
a bc
c a
1 S梯 形 2(ab)(ab)
SS梯形 1 2ab 1 2ab 1 2c2
∴ a2 + b2 = c2
b
美国第二十任总统加菲尔德的证法，所以 又称这种证法为“总统”证法。
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方。
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜
边为c，那么
B
a2 + b2 = c2
图1-2
A的面积
B的面积
C的面积
（单位面积） （单位面积） （单位面积）
16
9
25
S正方形c
4 1 431 2
25
（面积单位）
C A
B
图1-2
分割成若干个直角边为 整数的三角形
S正方形c
72 4143 2
25
（面积单位）
C A
B
图1-2
可以将C补成边长为7的正方形，用其面 积减去4个全等的直角三角形的面积