圆：垂径定理

·

O

A

B

C M

24.1.2垂直于弦的直径

主备：张乃建 审核：

一、导学目标：

1．理解圆的对称性（轴对称）及有关性质. 2．理解垂径定理并运用其解决有关问题.

二、导学过程

【导入新课】

1.前面学习了圆，你会画圆吗？确定一个圆需要那几个要素？请同学叙述圆的集合定义？

2.连结圆上任意两点的线段叫圆的________，圆上两点间的部分叫做_____________， 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做______________。

3.课本P80页有关“赵州桥”问题。

【自主学习】

问题一、圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?

你能找到多少条对称轴? （你是用什么方法解决上述问题的?大家互相讨论一下．）

操作：①在圆形纸片上任画一条直径；

②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？ 结论： 问题二、按下面的步骤做一做:

1．在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合． 2．得到一条折痕CD ．

3．在⊙O 上任取一点A ，过点A 作CD 折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M 是两条折痕的交点，即垂足．

4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B ，如右图． 【合作探究】 （一）、在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧? 为什么呢? AM ＝_______，AC ＝_______，AD =________， （二）、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）

（三）．在上述操作过程中，你会得出什么结论?

垂径定理：

分析：给出定理的推理格式

A

O

B

C

D

M

（四）辨析下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？

推论：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且

【精讲点拨】

例1.如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D.AC 与BD 相等吗？为什么？

例2：如图，已知在圆O 中，弦AB 的长为8㎝，圆心O 到AB 的距离为3 ㎝，求圆O 的半径。

变式1:在半径为5 ㎝的圆O 中，有长8 ㎝的弦AB ，求点O 与AB 的距离。

变式2：在半径为5 ㎝的圆O 中，圆心O 到弦AB 的距离为3 ㎝，求AB 的长。

☆、拓展思考

在圆柱形油内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=80cm,油的最大深度为20cm ，求油罐的直径.

A B C D O E A B O E

A B O E D A B O

E D O

A B

D ·

O A B C

E

【自主评价】 （一）课堂反馈：

1、⊙O 的半径是5，P 是圆内一点，且OP ＝3，过点P 最短弦、最长弦的长为 .

2、如右图所示，已知AB 为⊙O 的直径，且AB ⊥CD ，垂足为M ，CD ＝8，AM ＝2，则OM ＝ .

3、AB 、CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，若⊙O 的半径为5，AB=8,CD=6，则AB 与CD 之间的距离为_____________

4、如图，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，求证四边形ADOE 是正方形．

5、已知一段弧AB ，请作出弧AB 所在圆的圆心。

6、如图，OA=OB ，AB 交⊙O 与点C 、D ，AC 与BD 是否相等？为什么？

C

N

M E

H F

B

D

（二）课后作业：

1.如图所示，CD 是⊙O 的直径，过弦AB 两端分别作FA ⊥AB ， EB ⊥AB ，交CD 所在直线于F 、E. 求证：CE ＝FD.

2.一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求： (1)桥拱半径,

(2)若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米，求水面涨高了多少？

3. 某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为7.2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D ， 交圆弧于C ，CD=2.4m ， 现有一艘宽3m ，船舱顶部为方形并高出水面（AB ）2m 的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？

A

B

F

M D

O